Deriveringsregler: Lär dig Använda dem Effektivt

{"codehash":"d5303b22731fb54bd018050daf96afaa"}

{"codehash":"db03e8db7993ad5da543d81da45646a5"}

Uppgift

Nämn en vinkel med hörn $Q$ som verkar spetsig.

Facit

$∠ 4$

Ledtråd

Spetsiga vinklar har mått mellan $0^{\circ}$ och $9 0^{\circ} .$

Lösning

För att namnge en vinkel med sitt vertex vid $Q,$ måste vi först lokalisera den punkten i figuren.

Spetsiga vinklar har mått mindre än $9 0^{\circ} .$ Den enda som ser ut att passa den beskrivningen vid vertex $Q$ är $∠ 4 .$

Svarsalternativ

Regel

Derivatan av en konstant

Derivatan av en konstant är alltid $0 .$ Exempelvis är derivatan av funktionerna $f (x) = 7$ och $g (x) = - 18$ lika med $0 .$

Härledning

D (a) = 0

Det finns olika sätt att visa att denna regel gäller.

Deriveringsregeln för potensfunktioner

Man kan bl.a. motivera regeln genom att skriva om funktionen

f (x) = a

som

f (x) = a \cdot 1,

och sedan använda deriveringsregeln för potensfunktioner. Kom ihåg att en potens med exponenten

0

är

1 .

f (x) = a \cdot 1

Rewrite

Skriv $1$ som $x^{0}$

f (x) = a \cdot x^{0}

Derive

Derivera funktion

f^{'} (x) = D (a \cdot x^{0})

DeriveMonomCo

$D (a x^{n}) = a \cdot n x^{n - 1}$

f^{'} (x) = a \cdot 0 \cdot x^{- 1}

Multiply

Multiplicera faktorer

f^{'} (x) = 0

Alltså är derivatan av

f (x) = a

lika med

0,

oavsett värdet på

a .

Grafiskt

Ytterligare ett sätt att förklara regeln är att gå tillbaka till vad konceptet derivata innebär: lutningen i en punkt. Funktionen $f (x) = a$ är en horisontell linje med $k$ -värdet $0,$ dvs. lutningen är $0$ för alla punkter längs linjen.

Därför är derivatan $0$ i alla punkter, dvs. $f^{'} (x) = 0 .$

Regel

Derivatan av en summa

När man deriverar en summa, t.ex. $y (x) = x^{2} + 3 x,$ deriveras varje term för sig.

Härledning

D (f + g) = D (f) + D (g)

Man kan visa varför regeln gäller genom att derivera summan

f (x) + g (x)

med derivatans definition. I täljaren får man då differensen mellan

f (x + h) + g (x + h)

och

f (x) + g (x) :

D (f (x) + g (x)) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) + g ( x + h ) - ( f ( x ) + g ( x ) )}{h} .

Med lite omskrivningar kan högerledet formuleras som två gränsvärden som representerar derivatan av varsin funktion, dvs. ett gränsvärde som motsvarar

f^{'} (x)

och ett som motsvarar

g^{'} (x) .

D (f (x) + g (x)) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) + g ( x + h ) - ( f ( x ) + g ( x ) )}{h}

RemoveParSigns

Ta bort parentes & byt tecken

D (f (x) + g (x)) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) + g ( x + h ) - f ( x ) - g ( x )}{h}

RearrangeTerms

Omarrangera termer

D (f (x) + g (x)) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x ) + g ( x + h ) - g ( x )}{h}

WriteSumFrac

Dela upp bråk

D (f (x) + g (x)) = h \to 0 lim (\frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} + \frac{g ( x + h ) - g ( x )}{h})

WriteSumLim

Dela upp gränsvärde

D (f (x) + g (x)) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} + h \to 0 lim \frac{g ( x + h ) - g ( x )}{h}

LimToDerivative

$h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} = f^{'} (x)$

D (f (x) + g (x)) = f^{'} (x) + g^{'} (x)

I detta fall är det variabel

x

man deriverat med avseende på men egentligen spelar det ingen roll vilken variabel som används. Formeln kan därför anges utan variabel:

D (f + g) = D (f) + D (g) .

Exempel

Derivera polynomfunktionen

Bestäm

f^{'} (3)

för

f (x) = 2 x^{3} - 15 x^{2} + 3^{2} .

Ledtråd

En summa deriveras term för term.

Lösning

Vi ska derivera en polynomfunktion som är en summa, så vi deriverar varje term för sig.

f (x) = 2 x^{3} - 15 x^{2} + 3^{2}

Derive

Derivera funktion

f^{'} (x) = D (2 x^{3}) - D (15 x^{2}) + D (3^{2})

DeriveMonomCo

$D (a x^{n}) = a \cdot n x^{n - 1}$

f^{'} (x) = 2 \cdot 3 x^{2} - 15 \cdot 2 x + D (3^{2})

Multiply

Multiplicera faktorer

f^{'} (x) = 6 x^{2} - 30 x + D (3^{2})

DeriveConst

$D (a) = 0$

f^{'} (x) = 6 x^{2} - 30 x

Nu kan vi sätta in

x = 3

i uttrycket för derivatan och beräkna värdet.

f^{'} (x) = 6 x^{2} - 30 x

Substitute

$x = 3$

f^{'} (3) = 6 \cdot 3^{2} - 30 \cdot 3

CalcPow

Beräkna potens

f^{'} (3) = 6 \cdot 9 - 30 \cdot 3

Multiply

Multiplicera faktorer

f^{'} (3) = 54 - 90

SubTerm

Subtrahera term

f^{'} (3) = - 36

f^{'} (3)

blir alltså

- 36 .

Övning

Träna på derivator av polynomfunktioner

Använd deriveringsreglerna för polynomfunktioner för att bestämma den efterfrågade derivatan. Skriv svaret i enklaste form.

Generella deriveringsregler

Uppgift

Facit

Ledtråd

Lösning

Svarsalternativ

Derivatan av en konstant

Härledning

Deriveringsregeln för potensfunktioner

Grafiskt

Derivatan av en summa

Härledning

Derivera polynomfunktionen

Ledtråd

Lösning

Träna på derivator av polynomfunktioner

Generella deriveringsregler

Rekommenderade uppgifter

	7 sidor teori
	19 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.