Funktioner

Vi sätter in x = 0 och beräknar. Kom ihåg att multiplikation ska beräknas före subtraktion.

När x = 0 är y = -2. Vill vi kan vi tolka detta som att linjen skär y-axeln i punkten (0,-2).

Vi beräknar funktionsvärdet när x = -2.

När x = -2 är y = -8. Detta kan vi tolka som att linjen går igenom punkten (-2,-8).

Att lösa ekvationen y = 7 innebär att vi ska ersätta y med 7 och bestämma x-värdet när funktionsvärdet är 7.

När x = 3 är y = 7. Detta betyder att linjen går igenom punkten (3,7).

Vi bestämmer funktionsvärdet f(1) genom att först sätta in x=1 och beräkna.

f(1) är alltså lika med 3.

På samma sätt som i den förra deluppgiften beräknar vi f(0) genom att byta ut x mot 0.

Vi fortsätter på samma sätt och ersätter x med - 3.

f(3) betyder funktionens värde när x=3. Vi beräknar det genom att sätta in x=3 i funktionsuttrycket.

Funktionsvärdet f(3) är alltså 26.

Vi bestämmer funktionsvärdet f(3) genom att byta ut x mot 3 och beräkna värdet av funktionsuttrycket.

Funktionsvärdet f(3) är alltså lika med 8.

På samma sätt som i den förra deluppgiften sätter vi in x=0 i f(x).

f(0) är lika med 5.

Vi fortsätter på samma sätt som i föregående deluppgifter och ersätter x med - 3.

f(- 3) är alltså lika med 20.

När man sätter in ett x-värde i en funktion kan man endast få ett y-värde. Men för vår graf ger de flesta x-värden två y-värden. Om vi t.ex. tittar på x=4 ser vi att y kan vara både -2 och 2.

Kurvan beskriver alltså inte en funktion.

Att dra en lodrät linje genom grafen för att se om varje x-värde kan ge mer än ett y-värde är ett bra test för att grafiskt avgöra om grafen representerar en funktion eller inte. Det kallas ibland för vertikaltestet.

Vi ska ange de x-värden där y = 0, dvs. där grafen till f(x) skär x-axeln. Dessa x-värden kan vi läsa av direkt.

De sökta punkternas x-koordinater är alltså x = -2, x = 1 och x = 5, vilket är samma sak som funktionens nollställen.

Nollställen är de x-värden där y-värdet är noll. Eftersom y är 0 längs hela x-axeln ska vi hitta alla skärningspunkter med x-axeln för att bestämma nollställena. Dessa skärningspunkter kan vi läsa av i koordinatsystemet.

Funktionens nollställen är alltså x = -5 och x = 1.

Värdemängd är de y-värden som funktionen antar. Vi vet från uppgiften att det har något med 3 att göra. Tittar vi i grafen ser vi att 3 är det största y-värdet som grafen kan anta.

Vi ser att alla andra värden som funktionen antar är mindre än 3. Grafen fortsätter hur långt ned som helst, så det finns inget minsta värde.

Det betyder att värdemängden är f(x) ≤ 3, dvs. alla funktionsvärden mindre än eller lika med 3.

Definitionsmängden är de x-värden som är tillåtna för funktionen. I figuren kan vi alltså läsa ut definitionsmängderna som de x-värden där graferna är utritade. Graf A har inga ändpunkter, vilket innebär att den finns för alla x och hör ihop med definitionsmängd iii. Graf B är ritad mellan x=- 6 och x=2.

Detta kan skrivas som - 6 ≤ x ≤ 2, vilket är definitionsmängd ii. Graf C är ritad mellan x=- 2 och x=3, där punkten vid x=- 2 inte är ifylld. Det innebär att funktionen är definierad fram dit, men själva punkten finns inte med. x ska därför vara större än - 2 och mindre än eller lika med 3.

Detta skrivs - 2 < x ≤ 3, vilket är definitionsmängd i. Vi har nu parat ihop alla grafer med deras definitionsmängder och fick svaret i.&→ C ii.&→ B iii.&→ A

Vi kan läsa ut funktionernas värdemängder som de y-värden där deras grafer är utritade. Graf A har inga begränsningar, varken i x- eller y-led, och hör därför ihop med definitionsmängd iii. Graf B har sitt högsta funktionsvärde i vänstra ändpunkten, där y=4 och sitt lägsta i den andra ändpunkten, där y=- 3.

Då får vi - 3 ≤ y ≤ 4, vilket är definitionsmängd i. Graf C har sitt högsta värde i den högra ändpunkten, där y=6, och sitt lägsta i minimipunkten, där y=- 3.

Värdemängden blir då - 3 ≤ y ≤ 6, som är samma som definitionsmängd ii. Svaret blir alltså: i.&→ B ii.&→ C iii.&→ A

Uttrycket g(5) innebär att vi ska beräkna funktionsvärdet när x=5. Vi ersätter alltså x med 5 och förenklar.

När x=5 är funktionsvärdet -1.

Ekvationen g(x)=5 innebär att vi ska bestämma vilket x som ger funktionsvärdet 5. Vi likställer alltså funktionsuttrycket med 5 och löser ut x.

g(x)=5 när x=20.

Grafen skär y-axeln då x=0, dvs. den skär i (0, ?). Om vi sätter in x=0 i funktionsuttrycket får vi reda på y-koordinaten.

Funktionens graf skär alltså y-axeln i punkten (0,-3).

Nu ska vi beräkna några värden, så därför skriver vi om 25 till 0,4: g(x)=2/5x-3 ⇔ g(x)=0,4x-3. Vi sätter in några x-värden med avståndet 1, t.ex. 0,1,2,3.

Sammanfattningsvis ser vi alltså att funktionsvärdet ökar med 25 eller 0,4 för varje steg i x-led.

Börja med att trycka på knappen Y= för att skriva in funktionerna på räknaren.

För att rita graferna trycker man på knappen GRAPH. Om graferna inte syns kan du behöva ändra koordinatsystemets inställningar.

För att rita endast en av funktionerna ska vi avmarkera likhetstecknet i plot-listan för alla grafer utom den vi vill rita. Vi gör det genom att först trycka på knappen Y= så att vi ännu en gång kommer till plotlistan. Där placerar vi markören på de likhetstecken som finns på raderna med funktioner som inte ska ritas ut och trycker på ENTER.

Vi trycker på GRAPH igen, och ser att endast y=x^2+3x-6 ritas ut.

Vi går ännu en gång in i plot-listan, men denna gång ska endast y=x^2+3x-6 vara avmarkerad.

Tryck på GRAPH.

Vi börjar med att rita grafen på räknaren och trycker då på knappen Y=, där funktionen skrivs in.

Sedan trycker vi på GRAPH.

För att beräkna funktionsvärdet då x=1 trycker vi nu på CALC (2nd + TRACE) och väljer value.

Nu kan vi välja vilket x-värde vi är intresserad av.

Trycker vi på ENTER visas funktionens y-värde för detta x-värde och markören ställer sig också där.

Vi ser alltså att funktionsvärdet är 3 när x=1.

Vi gör på samma sätt som i föregående deluppgift och ser att funktionsvärdet är 12,5625.

Även nu använder vi value-funktionen.

Vi ser att funktionsvärdet är 5,0625.

f(2) är det y-värde som funktionen antar när x=2. Vi kan läsa av det genom att utgå från 2 på x-axeln, gå upp till grafen och läsa av funktionsvärdet.

y-värdet är 4 när x=2 vilket betyder att f(2)=4.

Lösningen till ekvationen f(x)=2 är det x-värde som ger funktionsvärdet 2. Det betyder att vi utgår från 2 på y-axeln och läser av x-värdet från grafen.

Funktionsvärdet är 2 när x är 6. Det betyder att lösningen till ekvationen är x=6.