body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Mitt konto

Kurs 1b Visa detaljer

2. Funktioner

Fortsätt till nästa lektion

Lektion

Övningar

Tester

eKurser /

( Ma 1b , Ma 1c ) /

Kapitel 6

Funktioner

Funktioner är en central del av matematiken och används för att beskriva samband mellan variabler. En funktion kan ses som en maskin som tar in ett värde och ger ut ett annat. Det inmatade värdet kallas för argumentet och det utmatade värdet kallas för funktionsvärdet. Funktioner kan representeras på olika sätt, till exempel genom formler, tabeller eller grafer. Att förstå funktioner och hur man arbetar med dem är en viktig del av matematikundervisningen. Detta inkluderar att kunna rita grafer, läsa av värden och förstå hur olika funktioner påverkar varandra.

Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	14 sidor teori
	36 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Funktioner

Sida av 14

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Funktion
Definitionsmängd
Värdemängd
Funktionsvärde
Rita grafer på räknare
Nollställe

Teori

Funktion

En funktion är en regel som tar ett inputvärde och kopplar det till exakt ett outputvärde. Inputvärdet betecknas vanligtvis med x medan outputvärdet betecknas med y. I detta fall sägs det att y är en funktion av x eller att y beror på x. Betrakta till exempel följande funktion. y = x+3_(regel) Regeln här är att addera 3 till varje input. Om input är x=2, är output y=2+3=5. Funktioner brukar vanligtvis kallas f, g, och h, men vilken bokstav som helst kan användas.

Det tidigare uttrycket läses som f av x är lika med y. Detta sätt att skriva en funktion kallas funktionsnotation. En funktion kan representeras med hjälp av en ekvation, en tabell, eller en graf.

Representationer av en funktion (Ekvation, tabell, graf)

Teori

Oberoende och beroende variabel

Variabeln x är ofta en oberoende variabel och y är beroende variabel. I en funktion som y=x^6+4x-4^x är utvärdet, y, en beroende variabel eftersom det beror på invärdet, x. Invärdet är oberoende eftersom den inte beror på y. En tumregel för att skilja på begreppen är att den oberoende variabeln oftast kommer före i tid. Om funktionen y=24x

beskriver kostnaden för x kg clementiner är x den oberoende variabeln eftersom man först tar så mycket clementiner man ska ha och sedan betalar för det. Kostnaden beror alltså på vikten och inte tvärtom.

Teori

Definitionsmängd

Definitionsmängden, D_f, är alla de tal som är tillåtna att sätta in i en funktion f. Det finns framförallt två skäl till att tal är förbjudna och utesluts ur definitionsmängden.

Talet ger en otillåten beräkning, t.ex. sqrt(-1) eller 20.
Funktionen beskriver en viss situation. Om den exempelvis beskriver priset för x äpplen fyller det inget syfte att beräkna vad -5 äpplen kostar.

Definitionsmängden är ofta ett intervall.

Det gäller exempelvis för funktionen f(x)=sqrt(x) som har definitionsmängden x ≥ 0 eftersom man inte kan dra kvadratroten ur ett negativt tal.

Exempel

Vad är funktionens definitionsmängd?

Ange definitionsmängden för funktionen f(x)=4x/x-1. Skriv svaret som en olikhet.

Ledtråd

Är rationella funktioner definierade när deras nämnare är lika med noll?

Lösning

Definitionsmängden är alla x man kan sätta in i funktionen. Eftersom det inte är tillåtet att dividera med 0 är funktionen definierad för alla x utom det som gör att x-1 blir 0. Eftersom x-1=0 för x=1 betyder det att funktionen är definierad för alla x utom 1, vilket skrivs D_f: x≠ 1.

Teori

Värdemängd

Värdemängden, V_f, är alla y-värden som kan skapas av en funktion f.

Vissa funktioner, t.ex. y=2x, kan bilda alla funktionsvärden och har därför alla tal som värdemängd. Andra funktioner kan bara bilda vissa funktionsvärden. Exempelvis har funktionen y = x^2 värdemängden y ≥ 0 eftersom kvadraten av ett tal aldrig blir negativ.

Exempel

Vad är funktionens värdemängd?

Bestäm värdemängden för funktionen y=x^2-7. Skriv svaret som en olikhet.

Ledtråd

Vilket är det minsta värde som x^2 kan anta när x är ett reellt tal?

Lösning

Värdemängden är de y-värden funktionen kan ge. Vi undersöker det minsta och största möjliga funktionsvärdet. Eftersom en kvadrat aldrig kan vara negativ kan x^2 minst bli 0. Det leder till att det minsta värde som y=x^2-7 kan anta är y=0-7=-7. En kvadrat har däremot inga övre begränsningar så y kan bli hur stort som helst. Det betyder att V_f: y≥ -7.

Exempel

Bestäm definitions- och värdemängd grafiskt

Bestäm definitions- och värdemängd för funktionen f(x) grafiskt, dvs. genom avläsningar i figuren.

Ledtråd

Definitionsmängden är alla de tal som är tillåtna att sätta in i en funktion f. Värdemängden är alla y-värden som kan skapas av en funktion f.

Lösning

Eftersom man inte kan göra ett oändligt stort koordinatsystem kan man inte alltid rita ut hela grafer. Däremot är det rimligt att anta att grafen fortsätter på samma sätt utanför det ritade koordinatsystemet och att det inte händer något oväntat där. I det här fallet betyder det att grafen kommer att fortsätta oändligt långt till höger och oändligt högt upp, så definitions- och värdemängden saknar övre gränser. De undre gränserna kan vi läsa av.

Grafen till funktionen börjar där x är -2, så definitionsmängden är alla tal större än eller lika med -2. Det skrivs x≥-2.

På samma sätt kan vi se att det minsta y-värdet är 0, så värdemängden är alla tal större än eller lika med 0. Vi sammanfattar: D_f: x≥-2 och V_f: y≥0.

Teori

Funktionsvärde

Ett funktionsvärde är utvärdet (y-värdet) man får från en funktion, givet ett visst invärde. Man kan t.ex. beräkna det genom att sätta in ett x-värde i en funktion. I en graf kan man läsa av funktionsvärdet på y-axeln.

Exempel

Vad är funktionsvärdet?

Nedan syns grafen till funktionen g(x)=2x-5.

Bestäm g(4) och g(300).

Ledtråd

Ersätt 4 och 300 för x i funktionsregeln och förenkla.

Lösning

För att bestämma g(4) utgår vi från x=4 på x-axeln och går rakt uppåt till vi når grafen. Där läser vi av funktionsvärdet på y-axeln.

Funktionsvärdet är 3 när x=4, så g(4)=3. Grafen är enbart uppritad för relativt små x så vi kan inte bestämma g(300) grafiskt. Istället räknar vi ut det genom att sätta in x=300 i funktionsuttrycket.

g(x)=2x-5

Substitute

x= 300

g( 300)=2* 300-5

Multiply

Multiplicera faktorer

g(300)=600-5

SubTerm

Subtrahera term

g(300)=595

De två funktionsvärdena är alltså g(4)=3 och g(300)=595.

Teori

Rita grafer på räknare

Följ dessa steg för att rita grafer på räknaren.

Ange funktionsregeln

Tryck först på knappen Y= och skriver sedan in funktionsuttrycken på raderna Y_1, Y_2 osv. Använd knappen X,T,θ,n för att skriva x. Om en funktion börjar med ett minustecken måste man trycka på (-) och inte -.

Rita grafen

För att rita upp grafen trycker man på GRAPH. Om grafen inte syns kan man behöva ändra inställningarna för koordinatsystemet.

Utforska grafen

Genom att trycka på TRACE kan man läsa av x- och y-värde för någon punkt på grafen. Om man vill flytta markören och läsa av andra punkter använder man höger- och vänsterpilarna. Med uppåt- och nedåtpilarna byter man graf om det finns fler än en inritad.

Man kan också själv sätta in ett x-värde och låta räknaren beräkna y-värdet genom att trycka på 2ND och TRACE och välja value.

Nu kan man välja vilket x-värde man är intresserad av.

Trycker man på ENTER visas funktionens y-värde för detta x-värde och markören ställer sig även där.

Extra

Rita flera grafer

Om man vill rita fler grafer går man tillbaka till funktionsfönstret Y= och skriver in dem på nya rader. Byt rad med ENTER.

Om man nu trycker på GRAPH kommer alla funktioner man skrivit in att ritas upp.

Man kan också välja bort funktioner genom att flytta markören till likhetstecknet och trycka på ENTER.

Om man nu trycker på GRAPH kommer endast Y_1 och Y_3 att ritas upp i koordinatsystemet.

För att välja tillbaka Y_2 trycker man på likhetstecknet en gång till.

Exempel

Hitta skärningspunkten med en räknare

Använd en grafräknare för att hitta skärningspunkten för följande funktioner. f(x) &= 0,25x^2-10 g(x) &= sqrt(x-3) Avrunda svaret till två decimaler.

Ledtråd

Använd funktionen intersect på en grafräknare.

Lösning

Börja med att skriva in båda givna funktionerna i räknaren. Tryck på Y= och mata in båda funktionerna. I detta fall låt f(x) vara Y_1 och g(x) vara Y_2.

Tryck sedan på GRAPH för att rita graferna för båda funktionerna.

För att hitta skärningspunkten, tryck på 2ND och CALC och välj det femte alternativet, intersect. Välj sedan den första och andra kurvan. Eftersom rotfunktionen börjar vid x=3, kan det vara nödvändigt att flytta markören åt höger för att välja den. Slutligen, uppskatta skärningspunkten nära x=7, och tryck på enter.

Detta innebär att funktionerna skär varandra ungefär vid punkten (6,92;1,98).

Teori

Nollställe

En funktions nollställen anger de x-värden som gör att funktionsvärdet blir 0. Nollställen kan bestämmas algebraiskt genom att man sätter funktionsuttrycket lika med 0 och löser ekvationen. f(x)=0 Grafiskt motsvarar det de x-värden där grafen skär x-axeln, eftersom y är 0 längs hela x-axeln. Exempelvis har funktionen y=x^2-4 två nollställen eftersom dess graf skär x-axeln två gånger.

Exempel

Bestäm nollställen algebraiskt

Vilka nollställen har funktionen y=x^2-4?

Ledtråd

Sätt y=0 och lös den resulterande andragradsekvationen.

Lösning

Nollställen är de x-värden där y är lika med 0. Det betyder att vi sätter y=0 och löser ekvationen.

y=x^2-4

Substitute

y= 0

0=x^2-4

▼

Lös ut x

AddEqn

VL+4=HL+4

4=x^2

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

x^2=4

SqrtEqn

sqrt(VL)=sqrt(HL)

x=±sqrt(4)

CalcRoot

Beräkna rot

x=±2

Funktionen har alltså två nollställen: x=-2 och x=2, eller om man skriver ihop dem: x=±2.

Funktioner

Övningar

En linjär funktion beskrivs av funktionsuttrycket y = 3x - 2.

Beräkna y när x = 0.

Beräkna y när x = -2.

Lös ekvationen y = 7.

Vi sätter in x = 0 och beräknar. Kom ihåg att multiplikation ska beräknas före subtraktion.

När x = 0 är y = -2. Vill vi kan vi tolka detta som att linjen skär y-axeln i punkten (0,-2).

Vi beräknar funktionsvärdet när x = -2.

När x = -2 är y = -8. Detta kan vi tolka som att linjen går igenom punkten (-2,-8).

Att lösa ekvationen y = 7 innebär att vi ska ersätta y med 7 och bestämma x-värdet när funktionsvärdet är 7.

När x = 3 är y = 7. Detta betyder att linjen går igenom punkten (3,7).

En funktion f(x) beskrivs av f(x) = 5x - 2. Beräkna följande.

f(1)

f(0)

f(-3)

Vi bestämmer funktionsvärdet f(1) genom att först sätta in x=1 och beräkna.

f(1) är alltså lika med 3.

På samma sätt som i den förra deluppgiften beräknar vi f(0) genom att byta ut x mot 0.

Vi fortsätter på samma sätt och ersätter x med - 3.

Bestäm f(3) om f(x)=3x^2-2x+5.

f(3) betyder funktionens värde när x=3. Vi beräknar det genom att sätta in x=3 i funktionsuttrycket.

Funktionsvärdet f(3) är alltså 26.

En funktion f(x) ges av f(x) = x^2 - 2x + 5. Beräkna följande.

f(3)

f(0)

f(-3)

Vi bestämmer funktionsvärdet f(3) genom att byta ut x mot 3 och beräkna värdet av funktionsuttrycket.

Funktionsvärdet f(3) är alltså lika med 8.

På samma sätt som i den förra deluppgiften sätter vi in x=0 i f(x).

f(0) är lika med 5.

Vi fortsätter på samma sätt som i föregående deluppgifter och ersätter x med - 3.

f(- 3) är alltså lika med 20.

Kan kurvan beskrivas med en funktion?

grafen till en parabel som inte är en funktion

När man sätter in ett x-värde i en funktion kan man endast få ett y-värde. Men för vår graf ger de flesta x-värden två y-värden. Om vi t.ex. tittar på x=4 ser vi att y kan vara både -2 och 2.

Kurvan beskriver alltså inte en funktion.

Att dra en lodrät linje genom grafen för att se om varje x-värde kan ge mer än ett y-värde är ett bra test för att grafiskt avgöra om grafen representerar en funktion eller inte. Det kallas ibland för vertikaltestet.

I koordinatsystemet är grafen till funktionen f(x) ritad.

graf över en tredjegradsfunktion som skär x-axeln i -2, 1 och 5

För vilka värden på x är f(x) = 0?

Vi ska ange de x-värden där y = 0, dvs. där grafen till f(x) skär x-axeln. Dessa x-värden kan vi läsa av direkt.

De sökta punkternas x-koordinater är alltså x = -2, x = 1 och x = 5, vilket är samma sak som funktionens nollställen.

Grafen till andragradsfunktionen f(x) är ritad i koordinatsystemet.

en andragradare med nollställen i x=-5 och x=1

Vilka är funktionens nollställen?

Välj rätt tecken mellan f(x) och 3 i uttrycket f(x) 3 för att beskriva funktionens värdemängd. Välj mellan: ≤, = eller ≥.

Nollställen är de x-värden där y-värdet är noll. Eftersom y är 0 längs hela x-axeln ska vi hitta alla skärningspunkter med x-axeln för att bestämma nollställena. Dessa skärningspunkter kan vi läsa av i koordinatsystemet.

Funktionens nollställen är alltså x = -5 och x = 1.

Värdemängd är de y-värden som funktionen antar. Vi vet från uppgiften att det har något med 3 att göra. Tittar vi i grafen ser vi att 3 är det största y-värdet som grafen kan anta.

Vi ser att alla andra värden som funktionen antar är mindre än 3. Grafen fortsätter hur långt ned som helst, så det finns inget minsta värde.

Det betyder att värdemängden är f(x) ≤ 3, dvs. alla funktionsvärden mindre än eller lika med 3.

I figuren nedan finns graferna till tre funktioner utritade.

Para ihop graferna med följande definitionsmängder. i.& - 2 < x ≤ 3 ii.& - 6 ≤ x ≤ 2 iii.& Alla x

Para ihop graferna med följande värdemängder. i.& - 3 ≤ y ≤ 4 ii.& - 3 ≤ y ≤ 6 iii.& Alla y

Definitionsmängden är de x-värden som är tillåtna för funktionen. I figuren kan vi alltså läsa ut definitionsmängderna som de x-värden där graferna är utritade. Graf A har inga ändpunkter, vilket innebär att den finns för alla x och hör ihop med definitionsmängd iii. Graf B är ritad mellan x=- 6 och x=2.

Detta kan skrivas som - 6 ≤ x ≤ 2, vilket är definitionsmängd ii. Graf C är ritad mellan x=- 2 och x=3, där punkten vid x=- 2 inte är ifylld. Det innebär att funktionen är definierad fram dit, men själva punkten finns inte med. x ska därför vara större än - 2 och mindre än eller lika med 3.

Detta skrivs - 2 < x ≤ 3, vilket är definitionsmängd i. Vi har nu parat ihop alla grafer med deras definitionsmängder och fick svaret i.&→ C ii.&→ B iii.&→ A

Vi kan läsa ut funktionernas värdemängder som de y-värden där deras grafer är utritade. Graf A har inga begränsningar, varken i x- eller y-led, och hör därför ihop med definitionsmängd iii. Graf B har sitt högsta funktionsvärde i vänstra ändpunkten, där y=4 och sitt lägsta i den andra ändpunkten, där y=- 3.

Då får vi - 3 ≤ y ≤ 4, vilket är definitionsmängd i. Graf C har sitt högsta värde i den högra ändpunkten, där y=6, och sitt lägsta i minimipunkten, där y=- 3.

Värdemängden blir då - 3 ≤ y ≤ 6, som är samma som definitionsmängd ii. Svaret blir alltså: i.&→ B ii.&→ C iii.&→ A

En funktion beskrivs av g(x)=2x/5-3

Bestäm g(5).

Lös ekvationen g(x)=5.

I vilken punkt skär funktionens graf y-axeln?

Hur mycket ökar funktionsvärdet om x-värdet ökar med 1?

Uttrycket g(5) innebär att vi ska beräkna funktionsvärdet när x=5. Vi ersätter alltså x med 5 och förenklar.

När x=5 är funktionsvärdet -1.

Ekvationen g(x)=5 innebär att vi ska bestämma vilket x som ger funktionsvärdet 5. Vi likställer alltså funktionsuttrycket med 5 och löser ut x.

g(x)=5 när x=20.

Grafen skär y-axeln då x=0, dvs. den skär i (0, ?). Om vi sätter in x=0 i funktionsuttrycket får vi reda på y-koordinaten.

Funktionens graf skär alltså y-axeln i punkten (0,-3).

Nu ska vi beräkna några värden, så därför skriver vi om 25 till 0,4: g(x)=2/5x-3 ⇔ g(x)=0,4x-3. Vi sätter in några x-värden med avståndet 1, t.ex. 0,1,2,3.

x	0,4x-3	g(x)	Ökning
0	0,4 * 0-3	-3
1	0,4 * 1-3	-2,6	0,4
2	0,4 * 2-3	-2,2	0,4
3	0,4* 3-3	-1,8	0,4

Sammanfattningsvis ser vi alltså att funktionsvärdet ökar med 25 eller 0,4 för varje steg i x-led.

Använd räknaren.

Rita funktionerna y& =x^2+3x-6, y& =-0,7x-2, y& =5x y& =4 i samma koordinatsystem.

Rita endast funktionen y=x^2+3x-6 i koordinatsystemet, utan att radera övriga funktioner från plot-listan.

Rita alla funktioner utom y=x^2+3x-6, men radera inte denna från plot-listan.

Börja med att trycka på knappen Y= för att skriva in funktionerna på räknaren.

För att rita graferna trycker man på knappen GRAPH. Om graferna inte syns kan du behöva ändra koordinatsystemets inställningar.

För att rita endast en av funktionerna ska vi avmarkera likhetstecknet i plot-listan för alla grafer utom den vi vill rita. Vi gör det genom att först trycka på knappen Y= så att vi ännu en gång kommer till plotlistan. Där placerar vi markören på de likhetstecken som finns på raderna med funktioner som inte ska ritas ut och trycker på ENTER.

Vi trycker på GRAPH igen, och ser att endast y=x^2+3x-6 ritas ut.

Vi går ännu en gång in i plot-listan, men denna gång ska endast y=x^2+3x-6 vara avmarkerad.

Tryck på GRAPH.

Bestäm funktionsvärdet y för följande x-värden för funktionen y=x^2+2. Använd räknarens value-funktion. Svara med alla decimaler.

x=1

x=3,25

x=-1,75

Vi börjar med att rita grafen på räknaren och trycker då på knappen Y=, där funktionen skrivs in.

Sedan trycker vi på GRAPH.

För att beräkna funktionsvärdet då x=1 trycker vi nu på CALC (2nd + TRACE) och väljer value.

Nu kan vi välja vilket x-värde vi är intresserad av.

Trycker vi på ENTER visas funktionens y-värde för detta x-värde och markören ställer sig också där.

Vi ser alltså att funktionsvärdet är 3 när x=1.

Vi gör på samma sätt som i föregående deluppgift och ser att funktionsvärdet är 12,5625.

Även nu använder vi value-funktionen.

Vi ser att funktionsvärdet är 5,0625.

I figuren nedan visas grafen till funktionen y = f(x).

Bestäm f(2) med hjälp av grafen.

Nationella provet HT16 1b/1c

Lös ekvationen f(x) = 2 med hjälp av grafen.

Nationella provet HT16 1b/1c

f(2) är det y-värde som funktionen antar när x=2. Vi kan läsa av det genom att utgå från 2 på x-axeln, gå upp till grafen och läsa av funktionsvärdet.

y-värdet är 4 när x=2 vilket betyder att f(2)=4.

Lösningen till ekvationen f(x)=2 är det x-värde som ger funktionsvärdet 2. Det betyder att vi utgår från 2 på y-axeln och läser av x-värdet från grafen.

Funktionsvärdet är 2 när x är 6. Det betyder att lösningen till ekvationen är x=6.

Funktioner

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

≤

■2

■▢

e▢

÷■1

=

√▢

▢√

∫▢▢

−

≤

log

log▢

()

∣

sin

cos

tan