Utforska Faktorisering i Matte 2a med Mathleaks

Term	Faktorisera
$4 x^{3}$	$2 x \cdot 2 x^{2}$
$8 x^{2}$	$2 x \cdot 4 x$

Term	Faktorisera
$4 x^{3}$	$2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot x$
$8 x^{2}$	$2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x$

Förenkla bråket så långt som möjligt genom att faktorisera.

\frac{9 9 b ^{2}}{1 1 b + b ^{2}}

\frac{1 0 a ^{2} + 5 a}{5 a}

\frac{6 4 + 8 x}{1 6 + 2 x}

Termerna 11b och b^2 delar faktorn b. Vi kan alltså bryta ut ett b i nämnaren och stryka ett b i täljaren.

Faktorn 10a^2 kan skrivas om som 5a* 2a. Vi kan alltså bryta ut 5a i täljaren och förkorta jämnt mot 5a i nämnaren.

Eftersom 64 kan skrivas som produkten 8* 8 kan vi bryta ut 8 i täljaren. I nämnaren kan första termen skrivas som produkten 2* 8 och därför kan 2 brytas ut.

Faktorn (8+x) finns i både täljaren och nämnaren så denna kan förkortas. Vi kan även förkorta 8 med 2.

Nedan står ett uttryck som har utvecklats med konjugat- eller kvadreringsreglerna. Vad ska stå istället för symbolerna?

y^{2} - △ = (♢ + 7) (y - ♡)

9 x^{2} + △ + 25 = (♢ + ♡)^{2}

64 z^{2} - 32 z + △ = (♢ - ♡)^{2}

Uttrycket liknar faktorisering med konjugatreglen: a^2-b^2=(a+b)(a-b). Vi löser uppgiften enklast genom att titta på uttrycket och resonera oss fram: y^2-△=(◊ +7)(y-♡). Eftersom högerledet är konjugat måste termerna vara samma, dvs. första termen ska vara y och andra 7. Det ger oss att ◊=y och ♡=7. Triangeln motsvarar första termen i kvadrat, så eftersom 7^2=49 får vi att △ &→ 49 ◊ &→ y ♡ &→ 7

Här har vi ett uttryck som påminner om första kvadreringsregeln baklänges: a^2+2ab+b^2=(a + b)^2. Vi resonerar oss fram till en symbol i taget. 9x^2+△+25=(◊+♡)^2. Vi ser med hjälp av första termen i vänsterledet att a^2=9x^2, så ◊=sqrt(9x^2)=3x eftersom rutan står för a. Tredje termen i vänsterledet ger oss att b^2=25, vilket innebär att b=♡=5. Nu kan vi bestämma triangeln, eftersom vi vet att den står för 2ab.

Sammanfattningsvis blir symbolerna △ &→ 30x ◊ &→ 3x ♡ &→ 5

Slutligen har vi något som liknar andra kvadreringsregeln, a^2-2ab+b^2=(a - b)^2: 64z^2-32z+△=(◊-♡)^2. Vi börjar med att ta reda på a, genom att vi vet att 64z^2=a^2. Det ger oss att a=sqrt(64z^2)=8z. Nu vet vi att ◊=8z. Med hjälp av detta kan vi ta reda på b, eftersom vi vet att 2ab=32z.

Eftersom △=b^2=4 får vi alltså △ &→ 4 ◊ &→ 8z ♡ &→ 2

Faktorisera uttrycket

25 + y^{2} + 10 y .

När man faktoriserar brukar man oftast bryta ut en gemensam faktor. Vårt uttryck har dock inga gemensamma faktorer, men tittar vi närmare på det ser vi att y^2+10y+25 liknar a^2+2ab+b^2. Om vi kan skriva om vårt uttryck på formen a^2+2ab+b^2 kan vi faktorisera det genom att använda första kvadreringsregeln baklänges: a^2+2ab+b^2=(a+b)^2. Vi skriver upp uttrycken under varandra och jämför: & y^2+10y+ 25 & a^2+2ab+ b^2. Första och sista termen stämmer med första kvadreringsregeln, eftersom 25 kan skrivas som 5^2. Alltså är a=y och b=5. Men, kan mittentermen 10y skrivas som 2ab? Ja, stoppar vi in uttrycken för a och b får vi 2ab=2 * y * 5 = 10y. Nu när vi konstaterat att uttrycket är skrivet på samma form som första kvadreringsregeln behöver vi bara utföra själva faktoriseringen genom att sätta in a och b. Uttrycket kan faktoriseras till (y+5)^2.

Vilket uttryck är inte ekvivalent med

81 x + 54 ?

Vi vill hitta vilket av de givna uttrycken som inte är ekvivalent med 81x+54. A.& 27(3x+2) &B. 3(27x+18) C.& 9(9x+6) &D. 6(13x+9 ) För att göra det kan vi komma ihåg den distributiva lagen. a( b ± c) &= a* b ± a* c [1ex] ( b ± c) a &= a* b ± a* c Låt oss tillämpa denna egenskap på varje uttryck för att se vilket som är ekvivalent. Vi börjar med uttryck A.

Detta är samma uttryck som 81x+54. Då är de ekvivalenta. Låt oss göra samma sak för de andra uttrycken och konstruera en tabell med resultaten!

Uttryck	Distributiv lag	Förenkla	Är ekvivalent med 81x+54?
27(3x+2)	27* 3x + 27 * 2	81x+54	Ja
3(27x+18)	3* 27x + 3 * 18	81x+54	Ja
9(9x+6)	9* 9x + 9 * 6	81x+54	Ja
6(13x+9)	6* 13x + 6 * 9	78x+54	Nej

Därför är det korrekta alternativet D.

Du säljer soppor för en insamling. För varje soppa du säljer får företaget som tillverkar soppan

x

dollar, och du får det återstående beloppet. Du säljer

16

soppor för totalt

(16 x + 96)

dollar. Hur mycket pengar får du för varje soppa du säljer?

Tänk på att vi säljer soppmixer för en insamling. För varje soppmix får företaget som tillverkar soppan x dollar, och vi får det återstående beloppet. Vi sålde 16 soppmixer för totalt 16x+96 dollar. För att beräkna hur mycket pengar vi får kan vi skriva primtalsfaktoriseringen av varje term i uttrycket. 16x&= x * 2 * 2 * 2* 2 96&= 2 * 2 * 2* 2 * 2 * 3 Observera att den största gemensamma primtalsfaktorn är 2 * 2 * 2 * 2=2^4. Då kan vi skriva om termerna med hjälp av den största gemensamma faktorn mellan termerna. 16x=2^4(x) 96=2^4(6) Vi kan sätta in detta i det givna uttrycket och faktorisera uttrycket. Låt oss göra det!

Eftersom x är pengarna som företaget får för varje soppmix, måste vår förtjänst vara den adderade kvantiteten. Därför får vi 6 dollar för varje soppmix som vi säljer.

Du säljer äppelmust för en insamling. För varje liter must du säljer, får företaget som tillverkar musten

x

kronor, och du får det återstående beloppet. Du säljer

15

liter must för totalt

(15 x + 180)

kronor. Hur mycket pengar får du för varje liter must som du säljer?

Antag att vi säljer äppelcider för en insamling. För varje gallon cider vi säljer får företaget som tillverkar cidern x kronor och vi får det återstående beloppet. Uttrycket 15x+180 representerar den totala kostnaden för att sälja 15 liter. Vi kan faktorisera detta uttryck genom att skriva primtalsfaktoriseringen av varje term. 15x=& x * 5 * 3 180=& 5 * 3* 4* 3 Observera att den största gemensamma primtalsfaktorn mellan termerna är 5* 3 = 15. Sedan kan vi använda den största gemensamma faktorn för att skriva om uttrycket. 15(x)+15(12) Nu ska vi förenkla detta uttryck genom att faktorisera ut den största gemensamma faktorn. Låt oss göra det!

Eftersom x är det belopp som företaget får per liter, måste den adderade termen vara vår förtjänst. Därför får vi 12 kronor för varje såld liter.

Faktorisering

Förkunskaper

Faktorisering

Bryta ut

Faktorisera uttryck

Ledtråd

Lösning

Bryt ut given faktor

Ledtråd

Lösning

Bryt ut största möjliga faktor

Ledtråd

Lösning

Faktorisering med konjugat- och kvadreringsreglerna

Faktorisera de kvadratiska uttrycken

Faktorisering

Rekommenderade uppgifter

	8 sidor teori
	27 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.