Logga in
| 8 sidor teori |
| 27 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
Skriv om varje potens som en produkt. Vad är primtalsfaktoriseringen av 20?
Uttrycket är en produkt som består av en koefficient och två olika typer av variabler. När vi faktoriserar detta delar vi upp koefficienterna och variablerna i så små faktorer som möjligt.
a3=a⋅a⋅a
a2=a⋅a
Skriv 20 som 4⋅5
Skriv 4 som 2⋅2
Vi börjar med att bestämma vad som blir kvar av varje term i uttrycket om vi plockar ut 2x ur dem. Det gör vi genom att faktorisera termerna på lämpligt sätt. I första termen finns en 4:a, som kan skrivas 2⋅2, samt x3, som kan skrivas x⋅x2. Vi resonerar på liknande sätt för den andra termen och sammanställer faktoriseringarna i tabellen.
Term | Faktorisera |
---|---|
4x3 | 2x⋅2x2 |
8x2 | 2x⋅4x |
Hitta den största gemensamma faktorn mellan båda termerna i det givna uttrycket.
Vi faktoriserar termerna i uttrycket och identifierar de faktorer som är gemensamma. Produkten av dessa är den största möjliga faktorn som kan brytas ut.
Term | Faktorisera |
---|---|
4x3 | 2⋅2⋅x⋅x⋅x |
8x2 | 2⋅2⋅2⋅x⋅x |
Båda termer innehåller två 2:or och två x. Den största möjliga faktorn som kan brytas ut är alltså 2⋅2⋅x⋅x eller skrivet som en produkt: 4x2.
Dela upp i faktorer
Omarrangera faktorer
Multiplicera faktorer
Bryt ut 4x2
a2−b2=(a+b)(a−b)
a2±2ab+b2=(a±b)2
Faktorisera det givna kvadratiska uttrycket antingen som konjugerade binom eller som kvadraten av ett binom. Parenteserna och kvadratpotensen kan skrivas med ( , ) , och x2.
Förenkla bråket så långt som möjligt genom att faktorisera.
Termerna 11b och b^2 delar faktorn b. Vi kan alltså bryta ut ett b i nämnaren och stryka ett b i täljaren.
Faktorn 10a^2 kan skrivas om som 5a* 2a. Vi kan alltså bryta ut 5a i täljaren och förkorta jämnt mot 5a i nämnaren.
Eftersom 64 kan skrivas som produkten 8* 8 kan vi bryta ut 8 i täljaren. I nämnaren kan första termen skrivas som produkten 2* 8 och därför kan 2 brytas ut.
Faktorn (8+x) finns i både täljaren och nämnaren så denna kan förkortas. Vi kan även förkorta 8 med 2.
Nedan står ett uttryck som har utvecklats med konjugat- eller kvadreringsreglerna. Vad ska stå istället för symbolerna?
Uttrycket liknar faktorisering med konjugatreglen: a^2-b^2=(a+b)(a-b). Vi löser uppgiften enklast genom att titta på uttrycket och resonera oss fram: y^2-△=(◊ +7)(y-♡). Eftersom högerledet är konjugat måste termerna vara samma, dvs. första termen ska vara y och andra 7. Det ger oss att ◊=y och ♡=7. Triangeln motsvarar första termen i kvadrat, så eftersom 7^2=49 får vi att △ &→ 49 ◊ &→ y ♡ &→ 7
Här har vi ett uttryck som påminner om första kvadreringsregeln baklänges: a^2+2ab+b^2=(a + b)^2. Vi resonerar oss fram till en symbol i taget.
9x^2+△+25=(◊+♡)^2.
Vi ser med hjälp av första termen i vänsterledet att a^2=9x^2, så ◊=sqrt(9x^2)=3x eftersom rutan står för a. Tredje termen i vänsterledet ger oss att b^2=25, vilket innebär att b=♡=5. Nu kan vi bestämma triangeln, eftersom vi vet att den står för 2ab.
Sammanfattningsvis blir symbolerna △ &→ 30x ◊ &→ 3x ♡ &→ 5
Slutligen har vi något som liknar andra kvadreringsregeln, a^2-2ab+b^2=(a - b)^2:
64z^2-32z+△=(◊-♡)^2.
Vi börjar med att ta reda på a, genom att vi vet att 64z^2=a^2. Det ger oss att a=sqrt(64z^2)=8z. Nu vet vi att ◊=8z. Med hjälp av detta kan vi ta reda på b, eftersom vi vet att 2ab=32z.
Eftersom △=b^2=4 får vi alltså △ &→ 4 ◊ &→ 8z ♡ &→ 2
När man faktoriserar brukar man oftast bryta ut en gemensam faktor. Vårt uttryck har dock inga gemensamma faktorer, men tittar vi närmare på det ser vi att y^2+10y+25 liknar a^2+2ab+b^2. Om vi kan skriva om vårt uttryck på formen a^2+2ab+b^2 kan vi faktorisera det genom att använda första kvadreringsregeln baklänges: a^2+2ab+b^2=(a+b)^2. Vi skriver upp uttrycken under varandra och jämför: & y^2+10y+ 25 & a^2+2ab+ b^2. Första och sista termen stämmer med första kvadreringsregeln, eftersom 25 kan skrivas som 5^2. Alltså är a=y och b=5. Men, kan mittentermen 10y skrivas som 2ab? Ja, stoppar vi in uttrycken för a och b får vi 2ab=2 * y * 5 = 10y. Nu när vi konstaterat att uttrycket är skrivet på samma form som första kvadreringsregeln behöver vi bara utföra själva faktoriseringen genom att sätta in a och b. Uttrycket kan faktoriseras till (y+5)^2.
Vi vill hitta vilket av de givna uttrycken som inte är ekvivalent med 81x+54. A.& 27(3x+2) &B. 3(27x+18) C.& 9(9x+6) &D. 6(13x+9 ) För att göra det kan vi komma ihåg den distributiva lagen. a( b ± c) &= a* b ± a* c [1ex] ( b ± c) a &= a* b ± a* c Låt oss tillämpa denna egenskap på varje uttryck för att se vilket som är ekvivalent. Vi börjar med uttryck A.
Detta är samma uttryck som 81x+54. Då är de ekvivalenta. Låt oss göra samma sak för de andra uttrycken och konstruera en tabell med resultaten!
Uttryck | Distributiv lag | Förenkla | Är ekvivalent med 81x+54? |
---|---|---|---|
27(3x+2) | 27* 3x + 27 * 2 | 81x+54 | Ja |
3(27x+18) | 3* 27x + 3 * 18 | 81x+54 | Ja |
9(9x+6) | 9* 9x + 9 * 6 | 81x+54 | Ja |
6(13x+9) | 6* 13x + 6 * 9 | 78x+54 | Nej |
Därför är det korrekta alternativet D.
Tänk på att vi säljer soppmixer för en insamling. För varje soppmix får företaget som tillverkar soppan x dollar, och vi får det återstående beloppet. Vi sålde 16 soppmixer för totalt 16x+96 dollar. För att beräkna hur mycket pengar vi får kan vi skriva primtalsfaktoriseringen av varje term i uttrycket. 16x&= x * 2 * 2 * 2* 2 96&= 2 * 2 * 2* 2 * 2 * 3 Observera att den största gemensamma primtalsfaktorn är 2 * 2 * 2 * 2=2^4. Då kan vi skriva om termerna med hjälp av den största gemensamma faktorn mellan termerna. 16x=2^4(x) 96=2^4(6) Vi kan sätta in detta i det givna uttrycket och faktorisera uttrycket. Låt oss göra det!
Eftersom x är pengarna som företaget får för varje soppmix, måste vår förtjänst vara den adderade kvantiteten. Därför får vi 6 dollar för varje soppmix som vi säljer.
Antag att vi säljer äppelcider för en insamling. För varje gallon cider vi säljer får företaget som tillverkar cidern x kronor och vi får det återstående beloppet. Uttrycket 15x+180 representerar den totala kostnaden för att sälja 15 liter. Vi kan faktorisera detta uttryck genom att skriva primtalsfaktoriseringen av varje term. 15x=& x * 5 * 3 180=& 5 * 3* 4* 3 Observera att den största gemensamma primtalsfaktorn mellan termerna är 5* 3 = 15. Sedan kan vi använda den största gemensamma faktorn för att skriva om uttrycket. 15(x)+15(12) Nu ska vi förenkla detta uttryck genom att faktorisera ut den största gemensamma faktorn. Låt oss göra det!
Eftersom x är det belopp som företaget får per liter, måste den adderade termen vara vår förtjänst. Därför får vi 12 kronor för varje såld liter.