{{ 'ml-label-choose-chapter' | message }} {{ courseTrack.signature }} {{ 'ml-label-choose-course' | message }}

Algebra och aritmetik

Välj kurs
Matte 2a
Algebra och aritmetik
Faktorisering

Faktorisering

{{ 'ml-heading-theory' | message }}
Att faktorisera ett tal eller uttryck betyder att man skriver det som en multiplikation. Detta kan innebära att man delar upp det i faktorer, t.ex. 30=2⋅3⋅530 = 2 \cdot 3 \cdot 5 eller 4x3=2⋅2⋅x⋅x⋅x4x^3 = 2 \cdot 2 \cdot x \cdot x \cdot x. Man kan också mena att man skriver om en summa som en produkt, t.ex. 2+2+2=3⋅22 + 2 + 2 = 3 \cdot 2.
Uppgift

Faktorisera uttrycket 20x2y320x^2y^3 så långt det går.

Lösning

Uttrycket är en produkt som består av en koefficient och två olika typer av variabler. När vi faktoriserar detta delar vi upp koefficienterna och variablerna i så små faktorer som möjligt.

20x2y320x^2y^3
a3=a⋅a⋅aa^3=a\cdot a\cdot a
20x2⋅y⋅y⋅y20x^2 \cdot y\cdot y\cdot y
a2=a⋅aa^2=a\cdot a
20⋅x⋅x⋅y⋅y⋅y20 \cdot x \cdot x \cdot y\cdot y\cdot y
Skriv 2020 som 4⋅54\cdot 5
4⋅5⋅x⋅x⋅y⋅y⋅y4\cdot 5\cdot x\cdot x \cdot y\cdot y\cdot y
Skriv 44 som 2⋅22\cdot 2
2⋅2⋅5⋅x⋅x⋅y⋅y⋅y2\cdot 2\cdot 5\cdot x\cdot x \cdot y\cdot y\cdot y
Visa lösning Visa lösning
Metod

Bryta ut

Om alla termer i ett uttryck innehåller en gemensam faktor kan denna brytas ut. Detta innebär att faktorn plockas ut ur alla termerna och sätts framför en parentes som innehåller det som finns kvar av termerna. Exempelvis innehåller alla termer i uttrycket x2+2xx^2 + 2x variabeln xx. Bryts den ut får man resultatet x(x+2)x(x + 2). Man kan se detta som motsatsen till att multiplicera in något i en parentes.

4x+2y4x+2y

3a2−9a3a^2-9a

7ab+4b7ab+4b

6x+606x+60

-4x+4\text{-} 4x+4

12x+24y12x+24y


I de ovanstående exemplen bryts alla gemensamma faktorer ut ur uttrycken, men man måste inte göra det. Om den största gemensamma faktorn är 2x2x kan man bryta ut 22, xx eller båda.
Uppgift

Bryt ut 2x2x ur uttrycket 4x3+8x2.4x^3+8x^2.

Lösning

Vi börjar med att bestämma vad som blir kvar av varje term i uttrycket om vi plockar ut 2x2x ur dem. Det gör vi genom att faktorisera termerna på lämpligt sätt. I första termen finns en 44:a, som kan skrivas 2⋅2,2\cdot2, samt x3,x^3, som kan skrivas x⋅x2.x\cdot x^2. Vi resonerar på liknande sätt för den andra termen och sammanställer faktoriseringarna i tabellen.

Term Faktorisera
4x34x^3 2x⋅2x2{\color{#0000FF}{2x}}\cdot 2x^2
8x28x^2 2x⋅4x{\color{#0000FF}{2x}}\cdot 4x

Om vi bryter ut 2x2x ur termerna återstår alltså 2x22x^2 respektive 4x.4x. Det ger resultatet 2x(2x2+4x). 2x\left(2x^2+4x\right).

Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Bryt ut största möjliga faktor ur 4x3+8x2.4x^3+8x^2.

Lösning

Vi faktoriserar termerna i uttrycket och identifierar de faktorer som är gemensamma. Produkten av dessa är den största möjliga faktorn som kan brytas ut.

Term Faktorisera
4x34x^3 2⋅2⋅x⋅x⋅x{\color{#0000FF}{2}}\cdot {\color{#0000FF}{2}}\cdot {\color{#0000FF}{x}}\cdot {\color{#0000FF}{x}}\cdot x
8x28x^2 2⋅2⋅2⋅x⋅x{\color{#0000FF}{2}}\cdot {\color{#0000FF}{2}}\cdot 2\cdot {\color{#0000FF}{x}}\cdot {\color{#0000FF}{x}}

Båda termer innehåller två 2:or och två xx. Den största möjliga faktorn som kan brytas ut är alltså 2⋅2⋅x⋅x2\cdot 2\cdot x\cdot x eller skrivet som en produkt: 4x2.4x^2.

4x3+8x24x^3+8x^2
Dela upp i faktorer
2⋅2⋅x⋅x⋅x+2⋅2⋅2⋅x⋅x2\cdot 2\cdot x\cdot x\cdot x+2\cdot 2\cdot 2\cdot x \cdot x
Omarrangera faktorer
2⋅2⋅x⋅x⋅x+2⋅2⋅x⋅x⋅22\cdot 2\cdot x\cdot x \cdot x+2\cdot 2\cdot x\cdot x \cdot 2
Multiplicera faktorer
4x2⋅x+4x2⋅24x^2 \cdot x+4x^2\cdot 2
Bryt ut 4x24x^2
4x2(x+2)4x^2\left(x+2\right)
Visa lösning Visa lösning
Regel

Faktorisering med konjugat- och kvadreringsreglerna


Konjugat- och kvadreringsreglerna är inte bara användbara för att multiplicera ihop parenteser utan kan även användas för att dela upp uttryck i faktorer. I uttrycket x2−16x^2 - 16 kan man identifiera båda termerna som kvadrater, alltså x2−42x^2 - 4^2, och använda konjugatregeln baklänges för att få faktoriseringen

x2−42=(x+4)(x−4). x^2 - 4^2 = (x+4)(x-4).

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Utgå från uttrycket 12x3+28x12x^3+28x för att lösa följande uppgifter.

a

Faktorisera båda termerna så långt som möjligt. Bryt sedan ut faktorn 4x.4x.

b

Faktorisera uttrycket endast så mycket som behövs för att kunna bryta ut 4x.4x.

c

Vilken metod föredrar du?

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bryt ut den största gemensamma faktorn.

a

4x+104x + 10

b

20x2+12x20x^2 + 12x

c

5x2−2x+3xy5x^2 - 2x + 3xy

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bryt ut största möjliga faktor i uttrycken.


a

5x+255x+25

b

4a+4b4a+4b

c

81x−27y81x-27y

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bryt ut största möjliga faktor.


a

x3−5xx^3 - 5x

b

9x−6y+129x - 6y +12

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Bryt ut största möjliga faktor i uttrycket -3x2+9x.\text{-} 3x^2+9x.

b

Beräkna uttryckets värde när x=-5.x=\text{-}5.

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Bryt ut 5 ur 10x+510x + 5.

b

Bryt ut xx ur x−x2x - x^2.

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Nedan står några uttryck som har utvecklats med konjugat- eller kvadreringsreglerna. Vad ska stå istället för symbolerna?

a

y2−△=(♢+7)(y−♡)y^2-\triangle=(\diamondsuit+7)(y-\heartsuit)

b

9x2+△+25=(♢+♡)29x^2+\triangle+25=(\diamondsuit+\heartsuit)^2

c

64z2−32z+△=(♢−♡)264z^2-32z+\triangle=(\diamondsuit-\heartsuit)^2

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ange alla gemensamma faktorer som kan brytas ut ur nedanstående uttryck.


a

12a2b+30ab−20a312a^2b+30ab-20a^3

b

50x2−75xy+42y250x^2-75xy+42y^2

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bryt ut den största möjliga faktorn ur uttrycken.


a

7x2y2−28xy2+49x3y7x^2y^2-28xy^2+49x^3y

b

4nm2−12n2−16nm4nm^2-12n^2-16nm

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Luigi sitter och räknar på uppgifter om faktorisering. Plötsligt hör han hur hans kompis Mario som sitter bredvid honom frågar läraren: "Går det att faktorisera så här?". Läraren svarar: "Jo, det går, men oftast vill vi ha heltal och det har du ju inte här." Luigi skymtar delar av det som Mario skrivit: 2x2+5x+10= 2x^2+5x+10= Luigi funderar på vad hans kompis kan ha skrivit. Ge ett exempel på vilket sätt som Mario kan ha utfört faktoriseringen!

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Använd faktorisering för att bestämma vilka konstanter som ska stå istället för AA och BB.


a

4x+8=A(x+B)4x+8=A(x+B)

b

9x2−12x+21=3(3x2+Ax+B)9x^2-12x+21=3\left(3x^2+Ax+B\right)

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Faktorisera uttrycket 25+y2+10y.25+y^2+10y.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla bråken så långt som möjligt genom att faktorisera.


a

99b211b+b2\dfrac{99b^2}{11b+b^2}

b

10a2+5a5a\dfrac{10a^2+5a}{5a}

c

64+8x16+2x\dfrac{64+8x}{16+2x}

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du har uttrycket 6(a−b+8)−40−5a+5b. 6(a-b+8)-40-5a+5b.

a

Förenkla uttrycket genom att multiplicera in sexan.

b

Förenkla uttrycket genom faktorisering.

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Nedanstående band är av olika längd. Till höger om banden står uttryck som beskriver bandens längd.

Excersise505 1.svg


a

Beräkna hur många procent längre det gröna bandet är jämfört med det blå.

b

Beräkna hur många procent kortare det blå bandet är jämfört med det röda.

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förkorta bråken så långt det går.


a

8x2−12x2x2−3x\dfrac{8x^2-12x}{2x^2-3x}

b

18a3b−12ab212a4b2−8a2b3\dfrac{18a^3b-12ab^2}{12a^4b^2-8a^2b^3}

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla följande bråk så långt det är möjligt. 2x2(x+2)−(4x2+x5)2−x2 \dfrac{2x^2(x + 2) - \left(4x^2+x^5\right)}{2 - x^2}

3.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vi byter plats på siffrorna i ett godtyckligt tvåsiffrigt tal och adderar det ursprungliga talet med det nya talet, dvs. XY+YXXY+YX där XX och YY är siffror 0-9. Vilket tal kan vi alltid dela denna summa med oavsett vilka siffror som gömmer sig bakom XX och Y?Y?

3.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vi har ett godtyckligt tresiffrigt tal XYZ.XYZ. Om vi byter plats på hundratalssiffran och entalssiffran får vi ett nytt tal ZYX.ZYX. Differensen mellan dessa tal är XYZ−ZYX. XYZ-ZYX. Vilket tal kan vi alltid dela denna differens med oavsett vilka siffror vi sätter in?

3.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För talen xx och yy gäller sambandet x2+2xy+y2=9.x^2+2xy+y^2=9.

Visa algebraiskt att samtliga lösningar till sambandet kan beskrivas av två räta linjer.

Nationella provet HT13 2a
 Nivå 4
4.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Faktorisera 2x2+2x+3x+3.2x^2+2x+3x+3.

4.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla 5b(a−b)+b(b−a)5b(a-b)+b(b-a) så långt det går genom att använda faktorisering.

4.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bryt ut 144144 ur uttrycket 12v7+6w5+288.\dfrac{12v}{7}+\dfrac{6w}{5}+288.

4.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Bryt ut 12\dfrac{1}{2} ur uttrycket 8x2−20x+100.8x^2-20x+100.

b

Bryt ut 23\dfrac{2}{3} ur uttrycket 60x3−4x+10.60x^3-4x+10.

c

Bryt ut 18\dfrac{1}{8} ur uttrycket 0.5x2−0.25x+1.0.5x^2-0.25x+1.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace {{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}