body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

1a

Kurs 1a Visa detaljer

Innehållsförteckning

Kapitel 6

4.

Exponentialfunktioner

Denna lektion kommer lära dig teorin för att helt förstå ämnet, och det finns både uppgifter och självtester för att kontrollera din förståelse.

Inställningar & verktyg för lektion

	8 sidor teori
	0 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Exponentialfunktioner

Sida av 8

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Exponentialfunktion
Exponentiell ökning och minskning

Förkunskaper

Funktion
Linjär funktion

Utforska

Undersöka funktioner genom tabeller

Funktioner kan vid första anblick verka likadana. Till exempel kan båda ha ökande värden — ändå kan den ena växa mycket snabbare än den andra. Att undersöka en funktionsvärden hjälper till att visa hur de kan skilja sig åt. Betrakta följande värdetabeller som tillhör två funktioner härledda från olika situationer.

Hur förändras

y -

värdena för Funktion

1

och Funktion

2

i förhållande till deras motsvarande

x -

värden? Hur ser graferna för dessa funktioner ut? Är Funktion

1

en linjär funktion? Vilka slutsatser kan dras om Funktion

2

?

Teori

Exponentialfunktion

Funktioner som innehåller uttryck på formen $a^{x},$ alltså där variabeln $x$ finns i exponenten, kallas exponentialfunktioner. Generellt skrivs en exponentialfunktion på följande sätt.

$y = C \cdot a^{x}$

Koefficienten $C$ anger det $y -$ värde där funktionens graf skär $y -$ axeln, vilket också kan tolkas som funktionens startvärde. Basen $a$ i potensen kan tolkas som en förändringsfaktor. För båda dessa konstanter finns det villkor som anger vilka värden de får anta.

C a - startv \ddot{a} rde - f \ddot{o} r \ddot{a} ndringsfaktor

Koefficienten $C$ får inte vara noll eftersom det skulle ge en vågrät linje linje längs med $y = 0$ , vilket då inte längre skulle vara en exponentialfunktion. Multipliceras $a^{x}$ med $0$ blir ju produkten $0$ oavsett potensens värde.

Graph of y=C*2^x where the value of 'C' can be changed from -2.5 to 2.5

Konstanten

a

får inte vara negativ eftersom funktionen då ger odefinierade resultat för vissa

x -

värden. T.ex. skulle det inte gå att upphöja ett negativt

a

till

x = \frac{1}{2},

eftersom det är samma sak som att dra kvadratroten ur

a,

vilket inte går för ett negativt tal. Det ger villkoret

a \geq 0 .

Vidare ger

a = 0

och

a = 1

inte exponentialfunktioner utan vågräta linjer. När

a = 0

är funktionen alltid lika med

0,

vilket ger en vågrät linje vid

y = 0,

och när

a = 1

får man en vågrät linje längs med startvärdet

C

eftersom

1^{x} = 1,

oavsett exponentens värde. Det ger villkoren

a \neq = 0 och a \neq = 1 .

Dessa villkor kan sammanfattas som

a > 0

och

a \neq = 1 .

Graph of y=2*a^x where the value of 'a' can be changed from 0.1 to 2

Grafen för en exponentiell funktion är alltid ökande eller minskande, beroende på värdena av $C$ och $a .$

Graph of y=a*b^x for a-values less than and greater than 0, and for b-values less than and greater than 1.

Övning

Identifiera funktioner

Betrakta definitionerna av en exponentialfunktion och en linjär funktion. Identifiera nu funktionerna som ges av följande värdetabell.

Identifiera funktioner

Teori

Exponentiell ökning och minskning

För en exponentialfunktion gäller:

Om förändringsfaktorn $a > 1$ är det en exponentiell ökning. Funktionen kallas då växande eftersom $y -$ värdet ökar när $x$ ökar.

Graph of exponential growth functions

Om förändringsfaktorn $0 < a < 1$ är det en exponentiell minskning. Funktionen kallas då avtagande eftersin $y -$ värdet minskar när $x$ ökar.

Exponential Decay Applet

Exempel

Beräkning av lönen

Den månatliga lönen för en viss anställd i ett företag, i kr, beskrivs av den exponentiella funktionen $y = 32, 000 \cdot 1, 0 3^{x},$ där $x$ är antalet år de har arbetat i företaget.

a Vad är den månatliga lönen för en nyanställd?

b Med hur många procent ökar den månatliga lönen per år?

c Vad är den månatliga lönen för någon som har arbetat i företaget i

4

år? Avrunda svaret till närmaste heltal.

Ledtråd

a Vad är startvärdet för den givna exponentiella funktionen?

b Vad är förändringsfaktor för den givna exponentiella funktionen?

c Beräkna den givna exponentiella funktionen när

x = 4 .

Lösning

a Den månatliga lönen för en nyanställd beskrivs av funktionen när

x = 0,

det vill säga när de har arbetat

0

år på företaget. Detta motsvarar funktionens startvärde.

y = 32000 \cdot 1, 0 3^{x}

Detta innebär att den månatliga lönen för en nyanställd är

32, 000

kr.

b Ta reda på med hur många procent den månatliga lönen ökar per år genom att titta på funktionens tillväxtfaktor.

y = 32000 \cdot 1, 03^{x}

Förändringsfaktor är

1, 03 .

Denna faktor är

0, 03

större än

1,

vilket innebär att den månatliga lönen ökar med

3 % .

c Den givna funktionen beskriver den månatliga lönen för en anställd som har arbetat i

x

år på företaget. Detta innebär att man får den månatliga lönen för en anställd som har arbetat på företaget i

4

år genom att beräkna funktionen när

x = 4 .

y = 32000 \cdot 1, 0 3^{x}

$x = 4$

y = 32000 \cdot 1, 0 3^{4}

Beräkna potens

y = 32000 \cdot 1, 125508 \dots

Multiplicera faktorer

y = 36016, 28192 \dots

Avrunda till närmaste heltal

y = 36016

Den månatliga lönen för en anställd som har arbetat

4

år på företaget är

36, 016

kr.

Exempel

Beräkna priset på en cykel

Priset $y$ för en viss modell av en mountainbike kan beskrivas med exponentialfunktionen $y = 21, 000 \cdot 0, 7 5^{x},$ där $x$ är antalet år efter att den lanserats på marknaden.

a Vad är priset på mountainbiken det år den lanseras på marknaden?

b Med hur många procent minskar dess pris varje år?

c Vad skulle priset på cykeln vara

3

år efter lanseringen? Avrunda svaret till närmaste heltal.

Ledtråd

a Vad är startvärde för den givna exponentialfunktionen?

b Vad är förändringsfaktor för den givna exponentialfunktionen?

c Beräkna värdet av den givna exponentialfunktionen när

x = 3 .

Lösning

a Lanseringspriset för mountainbiken motsvarar exponentialfunktionens begynnelsevärde.

y = 21000 \cdot 0, 7 5^{x}

Detta innebär att priset på cykeln är

21, 000

kr när den just har lanserats på marknaden.

b Ta reda på med hur många procent priset på cykeln minskar genom att titta på funktionens förändringsfaktor.

y = 21000 \cdot 0, 75^{x}

Förändringsfaktor är

0, 75,

vilket är

0, 25

mindre än

1,

så priset på cykeln minskar med

25 %

varje år.

c Den givna funktionen beskriver priset på en mountainbike

x

år efter lanseringen på marknaden. Detta innebär att om man beräknar funktionen för

x = 3

får man priset på cykeln

3

år efter lanseringen.

y = 21000 \cdot 0, 7 5^{x}

$x = 3$

y = 21000 \cdot 0, 7 5^{3}

Beräkna potens

y = 21000 \cdot 0, 421875

Multiplicera faktorer

y = 8859, 375

Avrunda till närmaste heltal

y = 8859

Priset på mountainbiken

3

år efter att den lanserats på marknaden är

8, 859

kr.

Övning

Identifiera exponentiell ökning eller minskning

Följande applet visar en funktion i form av ett uttryck eller en värdetabell. Välj det alternativ som bäst beskriver den.

Identifying functions

Exponentialfunktioner

Exponentialfunktioner

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.