Exponentialfunktioner

Representerar tabellen en linjär eller en exponentiell funktion? Förklara.

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$
$y$	$8$	$4$	$2$	$1$

Vi kommer att avgöra om tabellen representerar en linjär eller en exponentiell funktion. Om förhållandena mellan på varandra följande y-värden är lika, så representerar tabellen en exponentiell funktion. Om skillnaden mellan på varandra följande y-värden är konstant, så representerar tabellen en linjär funktion. Betrakta den givna tabellen.

x	0	1	2	3
y	8	4	2	1

Låt oss beräkna skillnaden mellan på varandra följande y-värden.

4-8= - 4, 2-4= - 2, 1-2=- 1 Vi kan se att skillnaderna inte är konstanta, så tabellen representerar inte en linjär funktion. Låt oss bestämma förhållandena mellan de på varandra följande y-värdena. 4/8= 1/2, 2/4= 1/2, 1/2= 1/2 Varje förhållande är lika med 1/2, så tabellen representerar en exponentiell funktion.

Utvärdera funktionen när

x = - 2,

0,

och

\frac{1}{2} .

Avrunda svaret till fyra decimaler, om det behövs.

y = 2 \cdot 9^{x}

Vi har fått en funktion och blivit ombedda att utvärdera den för några givna värden. x=- 2, 0, 1/2 Detta betyder att vi ska ersätta - 2, 0, och 12 för x i den givna funktionen och sedan utvärdera. Låt oss börja med - 2.

Låt oss nu göra samma sak för resten av värdena.

x	Utvärdering	Resultat
- 2	2 * 9 ^(- 2)	≈ 0,0247
0	2 * 9^0	2
1/2	2 * 9^(12)	6

Bestäm om ekvationen representerar en exponentiell funktion. Förklara.

y = 4 (7)^{x}

Vi vill avgöra om den givna regeln representerar en exponentialfunktion. Lägg märke till att den oberoende variabeln x är en exponent. Därför representerar regeln en exponentialfunktion. Allmän form y= a * b^x ⇔ y= a ( b)^x [0.8em] Given funktion y= 4 ( 7)^x

Skriv en exponentiell funktion som representeras av tabellen.

Vi vill skriva en exponentiell funktion som representeras av den givna tabellen. För att göra det, låt oss beräkna ökningen i x-värdena och förhållandet mellan påföljande y-värden.

y-värdena ökar med en faktor av 7 när x ökar med 1. Lägg dessutom märke till att när x=0, har vi att y=2. Detta betyder att y-skärningen är 2. Vi har tillräckligt med information för att skriva den exponentiella funktionen. y= 2 * 7^x

Skriv en exponentiell funktion som representeras av grafen.

Vi vill skriva en exponentialfunktion som representeras av den givna grafen.

För att göra det kommer vi att börja med att göra en tabell över x- och y-värdena som markerats på den givna grafen. Sedan kommer vi att beräkna ökningen av x-värdena och förhållandet mellan påföljande y-värden.

y-värdena ändras med en faktor av 2 när x ökar med 1. Lägg dessutom märke till att när x=0, har vi att y=- 0,5. Detta betyder att y-skärningen är - 0,5. Vi har tillräckligt med information för att skriva exponentialfunktionen. y= - 0,5 * 2^x

En webbplats har $500000$ medlemmar år $2010 .$ Antalet $y$ medlemmar ökar med $15 %$ varje år.

Skriv en exponentiell tillväxtfunktion som representerar webbplatsens medlemskap

t

år efter

2010 .

Hur många medlemmar kommer det att finnas år

2016 ?

Avrunda ditt svar till närmaste tiotusental.

För att skriva en exponentialfunktion för att modellera den givna situationen, låt oss först komma ihåg den allmänna formen för en exponentialekvation. y=a b^x I denna formel är a startvärdet och b=1+r, där r är förändringstakten. Om funktionen representerar tillväxt är r > 0, och om den representerar minskning är r < 0.

Skriva ekvationen

För att skriva ekvationen måste vi först definiera variablerna. Låt y vara antalet medlemmar år 2010, och låt x vara antalet år efter startvärdet. I detta fall är startvärdet det initiala antalet medlemmar, vilket är 500 000. Eftersom antalet medlemmar ökar med 15 % varje år, har vi att r= 0,15. y=500 000 * (1+0,15)^x ⇕ y=500 000 * 1,15^x

Eftersom vi vill hitta antalet medlemmar år 2016 — vilket är 6 år efter 2010 — kommer vi att sätta in 6 för x i vår modellekvation.

Vi fann att efter 6 år kommer befolkningen att vara runt 1 160 000.

Identifiera det initiala beloppet

a

och tillväxttakten

r

(som en procent) av den exponentiella funktionen. Utvärdera funktionen när

t = 5

. Avrunda ditt svar till närmaste tiondel.

y = 350 (1 + 0, 75)^{t}

Låt oss börja med att komma ihåg de allmänna formlerna för exponentiell tillväxt och exponentiella avklingningsfunktioner. cc Exponentiell tillväxt & Exponentiell avklingning [0.8em] y=a * (1+r)^t & y=a * (1-r)^t I båda fallen är a > 0 det "initiala beloppet" och r > 0 är tillväxt- eller avklingningstakten skriven i decimalform. Dessutom är r mindre än 1 för exponentiell avklingning. y= 350 * (1+ 0,75)^t Vår funktion representerar exponentiell tillväxt, med ett initialt belopp a= 350 och en tillväxttakt r= 0,75. För att skriva om tillväxttakten som en procent flyttar vi decimaltecknet 2 steg åt höger. r=0,75 ⇔ r=75 % Slutligen, för att utvärdera funktionen när t=5 kommer vi att ersätta 5 med t i den givna formeln.

Berätta om funktionen representerar exponentiell tillväxt eller exponentiell avtagande. Rita sedan grafen av funktionen.

y = 6^{x}

Låt oss börja med att identifiera värdet på basen för exponentialfunktionen. y= 6^x Eftersom funktionens bas är större än 1, vet vi att detta är en exponentiell tillväxtfunktion. För att rita en graf kommer vi att börja med att göra en värdetabell.

x	6^x	y=6^x
- 2	6^(- 2)	1/36
- 1	6^(- 1)	1/6
0	6^0	1
1	6^1	6

De ordnade paren ( - 2; 1/36), ( - 1; 1/6), ( 0; 1), och ( 1; 6) ligger alla på funktionens graf. Nu kommer vi att plotta och ansluta dessa punkter med en jämn kurva.

Förkunskaper

Undersöka funktioner genom tabeller

Exponentialfunktion

Identifiera funktioner

Exponentiell ökning och minskning

Beräkning av lönen

Ledtråd

Lösning

Beräkna priset på en cykel