body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

1a

Kurs 1a Visa detaljer

3. Exponentialfunktioner

Klar med uppgifterna

Fortsätt till nästa lektion

Kapitel 6

3.

Exponentialfunktioner

Denna lektion kommer lära dig teorin för att helt förstå ämnet, och det finns både uppgifter och självtester för att kontrollera din förståelse.

Inställningar & verktyg för lektion

	8 sidor teori
	18 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Exponentialfunktioner

Sida av 8

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Exponentialfunktion
Exponentiell ökning och minskning

Förkunskaper

Funktion
Linjär funktion

Utforska

Undersöka funktioner genom tabeller

Funktioner kan vid första anblick verka likadana. Till exempel kan båda ha ökande värden — ändå kan den ena växa mycket snabbare än den andra. Att undersöka en funktionsvärden hjälper till att visa hur de kan skilja sig åt. Betrakta följande värdetabeller som tillhör två funktioner härledda från olika situationer.

Hur förändras y-värdena för Funktion 1 och Funktion 2 i förhållande till deras motsvarande x-värden? Hur ser graferna för dessa funktioner ut? Är Funktion 1 en linjär funktion? Vilka slutsatser kan dras om Funktion 2?

Teori

Exponentialfunktion

Funktioner som innehåller uttryck på formen a^x, alltså där variabeln x finns i exponenten, kallas exponentialfunktioner. Generellt skrivs en exponentialfunktion på följande sätt.

y=C * a^x

Koefficienten C anger det y-värde där funktionens graf skär y-axeln, vilket också kan tolkas som funktionens startvärde. Basen a i potensen kan tolkas som en förändringsfaktor. För båda dessa konstanter finns det villkor som anger vilka värden de får anta.

C &- startvärde a &- förändringsfaktor

Koefficienten C får inte vara noll eftersom det skulle ge en vågrät linje linje längs med y=0, vilket då inte längre skulle vara en exponentialfunktion. Multipliceras a^x med 0 blir ju produkten 0 oavsett potensens värde.

Graph of y=C*2^x where the value of 'C' can be changed from -2.5 to 2.5

Konstanten a får inte vara negativ eftersom funktionen då ger odefinierade resultat för vissa x-värden. T.ex. skulle det inte gå att upphöja ett negativt a till x= 12, eftersom det är samma sak som att dra kvadratroten ur a, vilket inte går för ett negativt tal. Det ger villkoret a ≥ 0.

Vidare ger a=0 och a=1 inte exponentialfunktioner utan vågräta linjer. När a=0 är funktionen alltid lika med 0, vilket ger en vågrät linje vid y=0, och när a=1 får man en vågrät linje längs med startvärdet C eftersom 1^x = 1, oavsett exponentens värde. Det ger villkoren a ≠ 0 och a ≠ 1. Dessa villkor kan sammanfattas som a > 0 och a ≠ 1.

Graph of y=2*a^x where the value of 'a' can be changed from 0.1 to 2

Grafen för en exponentiell funktion är alltid ökande eller minskande, beroende på värdena av C och a.

Graph of y=a*b^x for a-values less than and greater than 0, and for b-values less than and greater than 1.

Övning

Identifiera funktioner

Betrakta definitionerna av en exponentialfunktion och en linjär funktion. Identifiera nu funktionerna som ges av följande värdetabell.

Identifiera funktioner

Teori

Exponentiell ökning och minskning

För en exponentialfunktion gäller:

Om förändringsfaktorn a > 1 är det en exponentiell ökning. Funktionen kallas då växande eftersom y-värdet ökar när x ökar.

Graph of exponential growth functions

Om förändringsfaktorn 0 < a < 1 är det en exponentiell minskning. Funktionen kallas då avtagande eftersin y-värdet minskar när x ökar.

Exponential Decay Applet

Exempel

Beräkning av lönen

Den månatliga lönen för en viss anställd i ett företag, i kr, beskrivs av den exponentiella funktionen y=32, 000 * 1,03^x, där x är antalet år de har arbetat i företaget.

a Vad är den månatliga lönen för en nyanställd?

b Med hur många procent ökar den månatliga lönen per år?

c Vad är den månatliga lönen för någon som har arbetat i företaget i 4 år? Avrunda svaret till närmaste heltal.

Ledtråd

a Vad är startvärdet för den givna exponentiella funktionen?

b Vad är förändringsfaktor för den givna exponentiella funktionen?

c Beräkna den givna exponentiella funktionen när x=4.

Lösning

a Den månatliga lönen för en nyanställd beskrivs av funktionen när x=0, det vill säga när de har arbetat 0 år på företaget. Detta motsvarar funktionens startvärde.

y = 32 000 * 1,03^x Detta innebär att den månatliga lönen för en nyanställd är 32,000 kr.

b Ta reda på med hur många procent den månatliga lönen ökar per år genom att titta på funktionens tillväxtfaktor.

y = 32 000 * 1,03^x Förändringsfaktor är 1,03. Denna faktor är 0,03 större än 1, vilket innebär att den månatliga lönen ökar med 3 %.

c Den givna funktionen beskriver den månatliga lönen för en anställd som har arbetat i x år på företaget. Detta innebär att man får den månatliga lönen för en anställd som har arbetat på företaget i 4 år genom att beräkna funktionen när x= 4.

y = 32 000 * 1,03^x

x= 4

y = 32 000 * 1,03^4

Beräkna potens

y = 32 000 * 1,125508...

Multiplicera faktorer

y = 36 016,28192...

Avrunda till närmaste heltal

y = 36 016

Den månatliga lönen för en anställd som har arbetat 4 år på företaget är 36,016 kr.

Exempel

Beräkna priset på en cykel

Priset y för en viss modell av en mountainbike kan beskrivas med exponentialfunktionen y=21,000 * 0,75^x, där x är antalet år efter att den lanserats på marknaden.

a Vad är priset på mountainbiken det år den lanseras på marknaden?

b Med hur många procent minskar dess pris varje år?

c Vad skulle priset på cykeln vara 3 år efter lanseringen? Avrunda svaret till närmaste heltal.

Ledtråd

a Vad är startvärde för den givna exponentialfunktionen?

b Vad är förändringsfaktor för den givna exponentialfunktionen?

c Beräkna värdet av den givna exponentialfunktionen när x=3.

Lösning

a Lanseringspriset för mountainbiken motsvarar exponentialfunktionens begynnelsevärde.

y= 21 000 * 0,75^x Detta innebär att priset på cykeln är 21,000 kr när den just har lanserats på marknaden.

b Ta reda på med hur många procent priset på cykeln minskar genom att titta på funktionens förändringsfaktor.

y = 21 000 * 0,75^x Förändringsfaktor är 0,75, vilket är 0,25 mindre än 1, så priset på cykeln minskar med 25 % varje år.

c Den givna funktionen beskriver priset på en mountainbike x år efter lanseringen på marknaden. Detta innebär att om man beräknar funktionen för x=3 får man priset på cykeln 3 år efter lanseringen.

y = 21 000 * 0,75^x

x= 3

y = 21 000 * 0,75^3

Beräkna potens

y = 21 000 * 0,421875

Multiplicera faktorer

y = 8 859,375

Avrunda till närmaste heltal

y = 8 859

Priset på mountainbiken 3 år efter att den lanserats på marknaden är 8,859 kr.

Övning

Identifiera exponentiell ökning eller minskning

Följande applet visar en funktion i form av ett uttryck eller en värdetabell. Välj det alternativ som bäst beskriver den.

Identifying functions

Exponentialfunktioner

Uppgift 2.1

Matcha funktionen f(x)=2(0,5)^x med dess graf.

Låt oss analysera den givna funktionen. f(x)= 2( 0,5)^x Vi ser att funktionens initialvärde är 2 och den konstanta multiplikatorn är 0,5. Därför skär den y-axeln vid (0, 2). Eftersom 0< 0,5<1, är det en avtagande funktion. Funktionen f matchar graf C.

När vi ritar en exponentialfunktion y=ab^x, ändrar värdena på a och b grafens form. Graferna nedan visar möjliga grafer för exponentialfunktioner.

Jämför graferna. Hitta värdet av a.

När vi tittar på graferna för de givna exponentialfunktionerna ser vi att grafen för f(x)=2^x har krympts vertikalt.

Detta innebär att absolutbeloppet för a bör vara mindre än 1 på grund av den vertikala krympningen. g(x)= a * 2^x Vi ser att punkten (2,2) ligger på grafen för g(x)=a * 2^x. Låt oss sätta in den och lösa ut a.

Värdet på a är 1/2.

Beskriv och korrigera felet i utvärderingen av funktionen.

Vi blir ombedda att beskriva felet i att utvärdera värdet av g(x) när x=- 2.

Låt oss substituera - 2 för x i funktionen och beräkna dess värde själva.

Funktionen är lika med 24 när x=- 2. I den givna lösningen utförs multiplikationen innan potensen av 0,5 beräknas. rll Korrekt:& 6 (0,5)^(- 2) = 6 (4) & ✓ [0.5em] Felaktigt:& 6(0,5)^(- 2) = 3^(- 2) & *

En försäljningsrapport visar att 3 300 gasgrillar köptes från en kedja av järnaffärer förra året. Butiken förväntar sig att försäljningen av grillar kommer att öka med 6 % varje år. Ungefär hur många grillar förväntar sig butiken att sälja under År 6? Använd en ekvation för att motivera ditt svar.

Vi vet att förra året köptes 3 300 gasolgrillar. Butiken förväntar sig att grillförsäljningen ökar med 6 % varje år. Med detta i åtanke, låt oss skriva uttrycket för årets förväntade försäljning. 3 300+ 3 300 * 0,06 ⇔ 3 300(1+ 0,06) Låt oss på liknande sätt skriva försäljningen för de närmaste åren, förutsatt att 0 är det senaste året.

År	Föregående års försäljning	Förväntad försäljning	Omskrivning
0	-	-	3 300(1+0,06)^0
1	3 300	3 300(1+ 0,06)	3 300(1+0,06)^1
2	3 300(1+0,06)	3 300(1+0,06)(1+ 0,06)	3 300(1+0,06)^2
3	3 300(1+0,06)^2	3 300(1+0,06)^2(1+ 0,06)	3 300(1+0,06)^3

Vi ser att exponenten för termen (1+0,06) ökar när åren ökar. Därför kan vi skriva ekvationen nedan. y=3 300(1+0,06)^x Här representerar x antalet år och y representerar det förväntade antalet försäljningar. För att hitta försäljningen år 6 kommer vi att ersätta 6 för x i funktionen y=3 300(1+0,06)^x.

År 6 förväntar sig butiken att sälja cirka 4 681 grillar.

Den exponentiella funktionen y=V(x) representerar det projicerade värdet av en aktie x veckor efter att ett företag förlorar en viktig rättslig strid. Grafen av funktionen visas.

Efter hur många veckor kommer aktien att vara värd 20kr?

Beskriv förändringen i aktiepriset från Vecka 1 till Vecka 3.

Om vi tittar på den givna grafen för exponentialfunktionen som representerar en projektion av aktiekurser, kan vi se att punkten ( 2, 20) ligger på kurvan.

Denna punkt betyder att efter 2 veckor kommer aktien att vara värd 20kr.

Nu blir vi ombedda att bestämma förändringen i aktiekurser under en tidsperiod. Låt oss först hitta aktiekurserna efter den första och tredje veckan.

Vi ser att efter en vecka är aktiekursen 40kr och efter tre veckor är den 10kr. Förändringen i pris är - 30 mellan dessa veckor. Lägg märke till att denna förändring är mindre än förändringen under den första veckan.

År 2000 var världens befolkning ungefär 6,09 miljarder. Under de nästa 13 åren ökade världens befolkning med ungefär 1,5 % varje år.

Skriv en ekvation för att modellera denna situation.

Uppskatta året när världens befolkning var 7 miljarder.

Vi kommer först att analysera den exponentiella tillväxtmodellen. Exponentiell tillväxtmodell y=a * (1+r)^t I modellen är a den initiala mängden och r är den procentuella ökningen skriven som ett decimaltal. Enligt den givna informationen vet vi att den initiala mängden är 6,09 och den procentuella ökningen är 1,5 % vilket kan skrivas som 0,015. y=6,09 * (1+0,015)^t ⇔ y=6,09 * 1,015^t

Vi kommer att använda tabell-funktionen på vår grafräknare för att bestämma vilket år världens befolkning var 7 miljarder. För att göra det måste vi först trycka på Y= och skriva funktionen på en av raderna. Medan vi skriver funktionen kommer vi att ange t som x på räknaren.

Därefter kommer vi att ändra tabellinställningarna för att hitta det önskade värdet. Därför kommer vi att behöva visa mindre steg i tabellen. För att göra det trycker vi på 2ND och WINDOW. Ändra TblStart till 5 och △ Tbl till 1.

Tryck nu på 2ND och GRAPH för att se tabellen igen med de nya konfigurationerna.

Därför är y≈7 när t=10. Det betyder att världens befolkning var ungefär 7 miljarder år 2010.

Exponentialfunktioner

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Redigera lektion

≤

>

■2

■▢

e▢

7

8

9

×

÷■1

=

=

√▢

▢√

∫▢▢

4

5

6

+

−

≤

<

log

ln

log▢

1

2

3

()

∣

sin

cos

tan

0

.

π

x

y