Exponentialfunktioner

Kom ihåg att en exponentiell funktion f(t)=ab^t, med a>0, uppvisar exponentiell tillväxt om b>1. Därför kan vi jämföra vår funktion med denna form och verifiera att detta krav är uppfyllt. f(t)= a b^t f(t)= 1( 2)^t Som vi kan se är a= 1 och b= 2. Därför, eftersom a>0 och b>1, är detta en exponentiell tillväxtfunktion. Nu när vi vet att så är fallet kan vi skriva den i formen f(t) = a(1+r)^t. f(t) = 2^t ⇔ f(t) = 1(1+1)^t Slutligen kan vi identifiera tillväxttakten r genom direkt jämförelse. f(t) = a(1+ r)^t f(t) = 1(1+ 1)^t Som vi kan se är r= 1. Detta innebär att vår funktion ökar med 100 %, eller fördubblas, varje gång t ökar med 1.

Lägg märke till att g(t) är lika med f(t) gånger ett konstant värde k. Låt oss ta en titt på grafen.

Som vi kan se är värdena för g(t) större än de för f(t) för alla x-värden. Därför måste k vara större än 1, och följaktligen är g(t) en vertikal sträckning av f(t). För att hitta värdet på k kan vi sätta in en punkt och den explicita formen för f(t). Lägg till exempel märke till att g(0) = 4. Låt oss sätta in denna information.

Därför är g(t)=4(2)^t.

Från del B vet vi att g(t)=4(2)t. För att kunna jämföra den med h(t) måste vi skriva den i formen f(t+r). f(t) = 2^t ⇒ f(t+r) = 2^(t+r). Sedan måste vi skriva g(t)=4(2)^t i formen 2^(t+r), så att vi kan jämföra dem och hitta värdet på r. Vi kan börja skriva om g(r) genom att skriva 4 som 2^2. Sedan kan vi förenkla den genom att använda produktegenskapen för potenser.

Nu när g(t) är skriven i denna form kan vi jämföra den direkt med h(t) = 2^(t+r) och identifiera r. h(t) = 2^(t+ r) g(t)=2^(t+ 2) Som vi kan se är r= 2.

Låt oss börja med att granska formatet för en exponentialfunktion. y = ab^x I denna form är a ≠ 0, b > 0, och b ≠ 1, precis som krävs av uppgiften. Kom ihåg att definitionsmängden för en exponentialfunktion är alla reella tal, medan värdemängden beror på värdet av a.

Som vi kan se, om a > 0, är värdemängden alla värden större än 0. Å andra sidan, om a < 0 är värdemängden alla värden lägre än 0. Därför, eftersom x-interceptet inträffar när y=0, kommer grafen för y = ab^x aldrig att ha ett x-intercept.

Eftersom vi får veta att populationen fyrdubblas varje år vet vi att den kan beskrivas med hjälp av en exponentiell funktion. Därför har den formen som visas nedan. y=ab^t Här är a≠ 0, b > 0, och b ≠ 1. Variabeln a representerar den initiala populationen och t är tiden i år. Observera att för att funktionen ska öka 4 gånger när t ökar med ett, måste b vara 4. y=a * 4^t Eftersom b>1 kan vi nu skriva om den exponentiella funktionen som visas. y=a * 4^x ⇔ y=a * (1+3)^x På så sätt skrivs den uttryckligen i formatet för en exponentiell tillväxtfunktion.

I en exponentiell tillväxtfunktion y=a(1+r)^t, är konstanten r "tillväxttakten", skriven i decimalform. Ett värde på 0,06, till exempel, betyder att kvantiteten ökar med 6 % varje år. Genom direkt jämförelse kan vi identifiera tillväxttakten för vår funktion. y=a(1+ r)^t y=a(1+ 3)^t Eftersom r= 3, kan vi veta att tillväxttakten för detta fall är 300 %.