{{ 'ml-label-choose-chapter' | message }} {{ courseTrack.signature }} {{ 'ml-label-choose-course' | message }}

Polynom och funktioner

Välj kurs
( Matte 3b , Matte 3c )
Polynom och funktioner
Diskontinuerliga funktioner

Diskontinuerliga funktioner

{{ 'ml-heading-theory' | message }}
Begrepp

Kontinuerlig funktion

En funktion vars graf är sammanhängande måste vara kontinuerlig. Dessa sammanhängande funktioner kan man rita för hand utan att lyfta pennan.

koordinatsystem med kontinuerlig funktion
Exempel på kontinuerliga funktioner är polynomfunktioner, räta linjer och exponentialfunktioner.
Begrepp

Diskontinuerlig funktion

En funktion som inte är kontinuerlig kallas diskontinuerlig. Man kan inte rita diskontinuerliga funktioner utan att lyfta pennan. Det kan t.ex. handla om att det finns ett hopp i grafen, eller att funktionen enbart är definierad för diskreta xx-värden.

fyra grafer med olika diskontinuerliga funktioner
Begrepp

Diskret funktion

En diskret funktion är en typ av diskontinuerlig funktion och har en definitionsmängd som är diskret, dvs. den består enbart av vissa specifika xx-värden och inte de som finns däremellan. Det skulle t.ex. kunna vara alla positiva heltal: {1,2,3,…}. \{1, 2, 3, \ldots\}. Grafen till en diskret funktion ritas som punkter för de tillåtna xx-värdena.

diskret funktion

Exempelvis är en funktion som beskriver vinsten vid försäljning av datorer diskret eftersom antalet sålda datorer alltid är ett positivt heltal.

Vlj funktionstypa¨ \text{Välj funktionstyp}
Kontinuerlig

Diskontinuerlig

Diskret
Uppgift

Vilka av graferna representerar kontinuerliga, diskontinuerliga respektive diskreta funktioner?

Kontinuerliga, diskontinuerliga och diskreta grafer
Lösning

Kontinuerlig funktion

Eftersom graferna A,A, CC och EE går att rita utan att lyfta pennan kan vi konstatera att de representerar kontinuerliga funktioner.

Diskontinuerlig funktion

Graferna B,B, DD och FF har alla minst ett hopp och representerar därför diskontinuerliga funktioner.

Diskret funktion

Det finns bara en graf som inte är sammanhängande på något intervall alls och därmed motsvarar en diskret funktion: graf B.B.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilka av graferna är kontinuerliga, diskontinuerliga respektive diskreta? Motivera!

kontinuerliga, diskontinuerliga och diskreta funktioner
1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm definitionsmängderna för följande funktioner och avgör om graferna är sammanhängande.

a
b
c
1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Är graferna till funktionerna sammanhängande? Motivera!

a

f(x)=x4−5x−2f(x)=\dfrac{x^4-5}{x-2}

b

g(x)=x7−9x3g(x)=\dfrac{x^7-9}{x^3}

c

h(x)={0.5x3+2x2−1,x≤2-2x+15,x>2h(x)=\begin{cases}0.5x^3+2x^2-1, &x\leq 2 \\ \text{-}2x+15, &x>2 \end{cases}

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Är funktionen f(x)=xf(x)=\sqrt{x} kontinuerlig?

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilken eller vilka av situationerna kan beskrivas med en diskret funktion?
A. Energiförbrukningen för en lampa beror på hur länge lampan är tänd.
B. Temperaturen i ett rum beror på antalet personer i rummet.
C. Kostnaden för äpplen beror på äpplenas vikt.
D. Arean av en cirkel beror på radiens längd.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En butik säljer godis både i lösvikt och färdiga påsar. Säljchefen Billson har gjort grafer som visar kostnaden för godiset baserat på hur många gram man köper. Varför ser graferna för lösviktsgodis respektive påsgodis olika ut?

kontinuerlig och diskret funktion
2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Telefonföretaget RingPling har följande prislista för utlandssamtal.

Samtalstid tt (min) Kostnad (kr/min)
0≤t<150 \leq t < 15 3.503.50
15≤t<3015 \leq t < 30 3.003.00
30≤t<4530 \leq t < 45 2.502.50
45≤t<6045 \leq t < 60 2.002.00
t≥60 t \geq 60 1.501.50
a

Skissa en graf som representerar kostnaden per minut som funktion av tiden.

b

Är funktionen diskret? Motivera!

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Funktionen f(x)f(x) är definierad på följande sätt. f(x)={0.5x+4,x<50.2x+1,x≥5 f(x)=\begin{cases}0.5x+4, \quad x<5 \\ 0.2x+1, \quad x\geq 5 \end{cases}

a

Är funktionen kontinuerlig i punkten där x=3?x=3?

b

Är funktionen kontinuerlig på intervallet 6<x<10?6<x<10?

c

Är funktionen kontinuerlig?

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ge ett exempel på en funktion som har en diskontinuitet, dvs. ett hål i grafen, i punkten (3,7).(3,7).

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Avgör om följande funktioner är kontinuerliga.

a

f(x)={4x+1,x≤1-x+6,x>1f(x)=\begin{cases}4x+1, \quad x\leq 1 \\ \text{-} x+6, \quad \, x>1 \end{cases}

b

g(x)={x2,x≤-2-2x−2,x>-2g(x)=\begin{cases}x^2, \quad \quad \quad \, x\leq \text{-}2 \\ \text{-}2x-2, \quad x>\text{-} 2 \end{cases}

c

h(x)={x3+1, x≤1-x4+3,x>1h(x)=\begin{cases}x^3+1, \quad \ x\leq 1 \\ \text{-} x^4+3, \quad x>1 \end{cases}

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Funktionen f(x)f(x) är definierad så här: f(x)={x3+2,x≥3x2−a,x<3. f(x)=\begin{cases}x^3+2, \quad x\geq 3 \\ x^2-a, \quad x<3. \end{cases} För vilket värde på konstanten aa är f(x)f(x) kontinuerlig?

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Funktionen f(x)f(x) är sammanhängande på intervallet 1≤x≤6.1 \leq x \leq 6. Det gäller också att f(1)=0f(1)=0 och f(6)=13f(6)=13 Har följande ekvationer någon lösning?

a

f(x)=2f(x)=2

b

f(x)=17f(x)=17

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace {{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}