Diskreta och kontinuerliga funktioner: Diskontinuerliga funktioner

Vilka av graferna är diskontinuerliga? Motivera!

kontinuerliga, diskontinuerliga och diskreta funktioner

Grafen till en kontinuerlig funktion kan ritas för hand utan att vi behöver lyfta pennan. Med det resonemanget kan vi dra slutsatsen att B, C och E representerar kontinuerliga funktioner. De övriga graferna, A, D och F, kan inte ritas utan att lyfta pennan, och representerar därför diskontinuerliga funktioner.

Diskreta funktioner är en typ av diskontinuerliga funktioner, så om det finns någon sådan måste det vara någon av A, D eller F. Eftersom vi vet att grafen till en diskret funktion alltid ser ut som en mängd separerade punkter är det graf A som utöver att vara diskontinuerlig också är diskret.

Avgör om grafen är sammanhängande.

Grafen till funktionen g(x) har inga typer av hopp eller hål och kan ritas utan att släppa pennan — den är sammanhängande.

Den här grafen har två tydliga hopp i y-led, ett vid x = - 2 och ett vid x = 3. Funktionens graf är alltså inte sammanhängande.

Är grafen till funktionen sammanhängande? Motivera!

f (x) = \frac{x ^{4} - 5}{x - 2}

g (x) = \frac{x ^{7} - 9}{x ^{3}}

h (x) = ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 0, 5 x^{3} + 2 x^{2} - 1, - 2 x + 15, x \leq 2 x > 2

Vi kan avgöra om grafen är sammanhängande genom att undersöka om den är odefinierad för något x. Där har rationella funktioner nämligen så kallade diskontinuiteter, dvs. delar där grafen är osammanhängande. Funktionsuttrycket x^4-5/x-2 är odefinierat för det x-värde där nämnaren blir 0 vilket är när x=2, eftersom 2-2=0. f(x) har alltså har en diskontinuitet: x=2, och är därför inte sammanhängande.

Vi gör på samma sätt även denna gång. Uttrycket x^7-9/x^3 har nämnaren x^3. Finns det något reellt tal som gör att denna är lika med 0? Ja, x=0. Det är det enda tal man kan upphöja till 3 och få 0. g(x) har alltså en diskontinuitet i x=0 och grafen är därför inte sammanhängande.

Den här funktionen består av olika uttryck på olika intervall. h(x)= 0,5x^3+2x^2-1, &x≤ 2 -2x+15, & x > 2 För x-värden mindre än eller lika med 2 beskrivs den av tredjegradspolynomet 0,5x^3+2x^2-1 och för övriga x-värden den räta linjen -2x+15. Graferna till båda dessa polynom är sammanhängande för alla reella x så vi behöver endast undersöka om funktionerna "sitter ihop" där x=2. Det gör vi genom att beräkna funktionsvärdena för båda uttryck när x=2.

Tredjegradspolynomet har alltså funktionsvärdet 11 när x=2. Nu beräknar vi motsvarande värde för den räta linjen.

Båda uttryck blir alltså 11 när x=2. Det betyder att grafen till h(x) inte gör ett hopp där. Grafen är alltså sammanhängande.

Är funktionen

f (x) = x

kontinuerlig?

Alla funktioner med sammanhängande graf är kontinuerliga. Ritar vi funktionen f(x)=sqrt(x), t.ex. på räknaren, ser vi att grafen är sammanhängande på hela sin definitionsmängd x≥0. Det spelar ingen roll att funktionen inte är definierad för negativa x.

Vi kan därför konstatera att f(x) är kontinuerlig.

Diskontinuerliga funktioner

Förkunskaper

Kontinuerlig funktion

Diskontinuerlig funktion

Diskret funktion

Vilka funktioner är kontinuerliga, diskontinuerliga respektive diskreta?

Svar

Ledtråd

Lösning