6. Diskontinuerliga funktioner
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 1
6.
Diskontinuerliga funktioner
En kontinuerlig funktion har en sammanhängande graf som kan ritas utan att lyfta pennan. Exempel på kontinuerliga funktioner inkluderar polynomfunktioner, räta linjer och exponentialfunktioner. En funktion som inte är kontinuerlig kallas diskontinuerlig. Dessa funktioner kan inte ritas utan att lyfta pennan. Det kan till exempel vara att det finns ett hopp i grafen, eller att funktionen endast är definierad för diskreta x-värden. En diskret funktion är en typ av diskontinuerlig funktion och har en definitionsmängd som är diskret, det vill säga den består endast av vissa specifika x-värden och inte de som finns däremellan.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 6 sidor teori |
| | 12 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Diskontinuerliga funktioner
Sida av 6
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Kontinuerlig funktion
- Diskontinuerlig funktion
- Diskret funktion
Förkunskaper
Koncept
Kontinuerlig funktion
En kontinuerlig funktion är en funktion vars graf kan ritas utan att pennan lyfts från papperet. Det innebär att om grafen är sammanhängande, så är funktionen kontinuerlig. Exempel på kontinuerliga funktioner är polynomfunktioner, räta linjer och exponentialfunktioner.
Koncept
Diskontinuerlig funktion
Koncept
Diskret funktion
En diskret funktion är en typ av diskontinuerlig funktion och har en definitionsmängd som är diskret, dvs. den består enbart av vissa specifika x-värden och inte de som finns däremellan. Det skulle t.ex. kunna vara alla positiva heltal:
Exempelvis är en funktion som beskriver vinsten vid försäljning av datorer diskret eftersom antalet sålda datorer alltid är ett positivt heltal. 
{1,2,3,…}.
Grafen till en diskret funktion ritas som punkter för de tillåtna x-värdena.
Exempel
Vilka funktioner är kontinuerliga, diskontinuerliga respektive diskreta?
Vilka av graferna representerar kontinuerliga, diskontinuerliga respektive diskreta funktioner?
Svar
Kontinuerlig funktion: A, C och E
Diskontinuerlig funktion: B, D och F
Diskret funktion: B
Ledtråd
Vilka grafer kan ritas utan att lyfta pennan?
Lösning
Kontinuerlig funktion
Eftersom graferna A, C och E går att rita utan att lyfta pennan kan vi konstatera att de representerar kontinuerliga funktioner.
Diskontinuerlig funktion
Graferna B, D och F har alla minst ett hopp och representerar därför diskontinuerliga funktioner.
Diskret funktion
Det finns bara en graf som inte är sammanhängande på något intervall alls och därmed motsvarar en diskret funktion: graf B.
Övning
Klassificering av Funktioner
Kontinuerliga funktioner har inga avbrott eller hopp i sina grafer, medan diskontinuerliga funktioner har gap. Diskreta funktioner består av distinkta, separata punkter snarare än en kontinuerlig linje.
Diskontinuerliga funktioner
Funktionen f(x) är definierad så här:
f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x3+2,x≥3x2−a,x<3.
För vilket värde på konstanten a är f(x) kontinuerlig?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">a<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-20"]}}
security
report
code
security
report
code
En funktion är kontinuerlig om det inte finns något avbrott
i grafen. Eftersom både x^3+2 och x^2-a är polynom kommer de vara kontinuerliga på intervallet de är definierade på, men vi måste vara uppmärksamma på intervallens ändpunkt x=3. För att f(x) ska vara kontinuerlig även här måste x^3+2 och x^2-a ha samma funktionsvärde. Vi sätter därför in x=3 i båda uttrycken och sätter dem lika med varandra:
3^3+2= 3^2-a.
Genom att lösa ut a ur ekvationen kan vi bestämma det värde på a som gör funktionen kontinuerlig.
f(x) är alltså kontinuerlig om konstanten a är lika med - 20.
security
report
code
Funktionen f(x) är sammanhängande på intervallet 1≤x≤6. Det gäller också att f(1)=0 och f(6)=13 Har ekvationen någon lösning?
f(x)=2
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej","Kanske"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
f(x)=17
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej","Kanske"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":2}
security
report
code
security
report
code
Vi vet att f(x) har sina ändpunkter i (1,0) respektive (6,13), och att den är sammanhängande mellan dessa. Mellan punkterna finns alltså någon sammanhängande godtycklig kurva, exempelvis som den i figuren.
Vi avgör nu om ekvationen f(x)=2 har någon lösning, dvs. om det finns något x-värde för vilket funktionsvärdet är 2.
Eftersom punkterna (1,0) och (6,13) är sammankopplade via en kurva kan vi med säkerhet säga att det finns minst ett sådant x på intervallet. Kurvan måste ju korsa linjen y=2 för att ändpunkterna ska kunna kopplas ihop. Svaret är alltså ja, ekvationen f(x)=2 har minst en lösning.
Nu ska vi istället avgöra om ekvationen f(x)=17 har någon lösning. Vi frågar oss därför om grafen till f(x) även skär linjen y=17, eftersom ekvationen skulle ha en lösning i en sådan skärningspunkt.
Till skillnad från linjen y=2 så måste inte linjen y=17 skäras för att de två punkterna (1,0) och (6,13) ska kopplas samman. Men den skulle också mycket väl kunna göra det.
Vi kan alltså inte veta om ekvationen har någon lösning baserat på informationen vi har om f(x).
security
report
code
Diskontinuerliga funktioner
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll