Diskontinuerliga funktioner

En diskret funktion har en definitionsmängd som består av diskreta värden, dvs. vissa åtskilda x-värden exempelvis heltal. Detta leder till att grafer till diskreta funktioner ser ut som punkter.

A

Tolkar vi situation A som en funktion är det tiden lampan är tänd som är definitionsmängden. Eftersom tid mäts kontinuerligt och inte bara i åtskilda värden kan A inte beskrivas med en diskret funktion. Grafen blir därför sammanhängande och funktionen kontinuerlig.

B

Här har vi temperatur längs y-axeln och antal personer längs x-axeln. Visserligen är värdemängden (temperatur) kontinuerlig, men definitionsmängden (antalet personer) kan bara vara heltal: 0, 1, 2, 3, osv. Eftersom definitionsmängden är diskret är funktionen diskret, och grafen består av punkter.

C

Vikt kan, likt tid, anta vilket positivt tal (eller 0 ) som helst och har därför en kontinuerlig definitionsmängd. Funktion är alltså inte diskret vilket man även inser om man skissar grafen till funktionen.

D

Liksom definitionsmängderna i A och C kan radiens längd anta vilket tal som helst större än eller lika med 0 . Vi har alltså ytterligare en funktion som inte är diskret.

Om vi köper lösviktsgodis kan vi få precis den mängd godis vi vill ha, t.ex. 18 g eller 1279 g. Matematiskt innebär det att lösgodisfunktionens definitionsmängd består av alla tal som är större än eller lika med 0. Köper man istället färdiga påsar, som låt säga väger 200 g/st, kan man bara köpa 200 g, 400 g, 600 g, ... osv. Definitionsmängden för påsgodisfunktionen består alltså av diskreta värden. Det är just skillnaden i definitionsmängd som gör att ena funktionen är kontinuerlig och den andra är diskret.

Vi ritar ett koordinatsystem där vi har samtalstid i min på x-axeln och kostnad i kr/min på y-axeln.

Vi tolkar första raden i prislistan, dvs. att det kostar 3.50 kr/min att ringa ett samtal som är 0-15 min långt, genom att dra ett linjesegment i nivå med y-värdet 3.5, från t=0 till t=15. Vi avslutar det dock med en oifylld cirkel, eftersom intervallet slutar med en strikt olikhet. Om man ringer precis 15 min eller mer kommer minutkostnaden ju att slå över till 3 kr/min.

Vi gör på samma sätt för att representera kostnad för övriga tidsintervall. Det sista segmentet låter vi fortsätta.

Vi ska nu avgöra om funktionen är diskret eller inte. Vi ser att värdemängden består av de diskreta talen 3.50, 3.00, 2.50, 2.00 och 1.50, men för att en funktion ska räknas som diskret är det definitionsmängden som ska göra det. Vi ser dock att alla värden för t≥0

kan antas, eftersom tid är kontinuerlig. Funktionen är därför inte diskret. Man kan också inse det genom att lägga märke till att grafen inte består av punkter, vilket den gör om det är en diskret funktion.

Vi vet att funktionen beskrivs av y=0.5x+4 för alla x mindre än 5.

Eftersom 0.5x+4 är ett polynom och dessa är kontinuerliga på hela sin definitionsmängd kan vi alltså konstatera att f(x) är kontinuerlig i x=3.

På intervallet 6 < x < 10 beskrivs funktionen istället av y=0.2x+1. Även detta uttryck är ett polynom, så funktionen kommer vara kontinuerlig för x≥ 5. Vi ritar grafen för att konstatera att det faktiskt inte finns några hål i den på intervallet 6 < x < 10.

För att funktionen ska vara kontinuerlig för alla x får det inte finnas några hål eller hopp i grafen till f(x). Vi vet sedan tidigare deluppgifter att grafen är kontinuerlig på intervallen x<5 respektive x≥5. Om det inte finns ett glapp mellan dessa "delgrafer" kommer funktionen i sig också vara kontinuerlig. Vi ritar dessa i samma koordinatsystem för att se hur det ser ut.

Vi ser att det finns ett hopp mellan de två "delgraferna," så funktionen f(x) är alltså inte kontinuerlig.

Genom att beräkna ändpunkternas funktionsvärden kan vi avgöra om f(x) är kontinuerlig. Om de är olika får man ett hopp i grafen och då är den diskontinuerlig.

Den vänstra ändpunkten är alltså (5,6.5). Nu beräknar vi den högra.

Den andra ändpunkten är (5,2). Intervallens ändpunkter är alltså olika, vilket leder till ett hopp i grafen och det betyder att funktionen inte är kontinuerlig.

Vi börjar med att bestämma en funktion där punkten (3,7) finns på funktionens graf. Vi vill alltså hitta en funktion f(x) som är lika med 7 när vi sätter in x=3. Ett sådant exempel är f(x)=x+4 eftersom f(3)=3+4=7. Vi ser att (3,7) finns på grafen.

Vi definierar nu en annan funktion g(x) som är lika med x+4 för alla x utom x=3. I just x=3 ska den nya funktionen vara lika med något annat, t.ex. ett tal eller ett annat funktionsuttryck. Vi väljer här heltalet 2. Det ger oss funktionen g(x)= 2, x=3 x+4, alla andra reella x. Grafen till g(x) kommer se ut som grafen till f(x) överallt förutom i x=3, där vi hittar ett hål i grafen, en så kallad diskontinuitet. I detta x-värde är g(x) istället lika med 2, vilket vi ser genom att grafen "hoppat" till punkten (3,2) just där.

Funktionen g(x) är alltså ett exempel på en funktion med en diskontinuitet i punkten (3,7).

Om en funktions graf är sammanhängande är den också kontinuerlig. Både 4x+1 och x+6 är förstagradspolynom och därmed sammanhängande och kontinuerliga. Det enda hoppet som skulle kunna uppstå är vid ändpunkterna, dvs. där x=1. Vi undersöker vad y-värdet är för båda uttrycken när x=1.

Båda har y-värdet 5 när x=1. Det betyder att de möts i punkten (1,5), vilket innebär att f(x) är kontinuerlig.

Även här är uttrycken polynom så båda är kontinuerliga. Det enda vi behöver undersöka är alltså i ändpunkterna, dvs. x=-2.

Uttrycken får inte samma värde när x=-2. Det betyder att grafen gör ett hopp där, och g(x) är alltså inte kontinuerlig.

Vi fortsätter på samma sätt och sätter in x=1 i båda uttryck och beräknar y-värdet.

Båda får y-värdet 2 när x=1. Det betyder att de möts i punkten (1,2) och att h(x) är kontinuerlig.