Derivatan av en produkt

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Om två funktioner f(x)f(x) och g(x)g(x) multipliceras ihop skapas en ny funktion, f(x)g(x).f(x)\cdot g(x). Exempelvis är y=sin(x)e3x y=\sin(x)\cdot e^{3x}

en produkt av funktionerna f(x)=sin(x)f(x)=\sin(x) och g(x)=e3x.g(x)=e^{3x}.
Bevis

Produktregeln

För att derivera funktioner som är produkter av andra funktioner använder man den så kallade produktregeln. Den säger att varje funktion ska multipliceras med derivatan av den andra funktionen och att dessa produkter ska adderas.

Bevis

D(f(x)g(x)))=f(x)g(x)+f(x)g(x)D\left(f(x)\cdot g(x))\right)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)
Man kan bevisa formeln med utgångspunkt i derivatans definition: D(f(x))=limh0f(x+h)f(x)h.\begin{aligned} D(f(x)) = \lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}. \end{aligned} För funktionen f(x)g(x),f(x)\cdot g(x), där f(x)f(x) och g(x)g(x) är deriverbara funktioner, får man D(f(x)g(x))=limh0f(x+h)g(x+h)f(x)g(x)h.\begin{aligned} D\left(f(x)\cdot g(x)\right)=\lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(x+h)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x)}{h}. \end{aligned} Hur skriver man om detta gränsvärde som summan i produktregeln? Till att börja med lägger man till och drar bort f(x)g(x+h)f(x)\cdot g(x+h) i täljaren. Då kommer man nämligen kunna dela upp gränsvärdet som en summa av två gränsvärden, vilket är ett steg närmare målet.
limh0f(x+h)g(x+h)f(x)g(x)h\lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(x+h)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x)}{h}
limh0f(x+h)g(x+h)f(x)g(x)+f(x)g(x+h)f(x)g(x+h)h\lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(x+h)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x)+{\color{#0000FF}{f(x)\cdot g(x+h)}}-{\color{#0000FF}{f(x)\cdot g(x+h)}}}{h}
limh0f(x+h)g(x+h)f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)f(x)g(x)h\lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(x+h)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x+h)+f(x)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x)}{h}
limh0(f(x+h)g(x+h)f(x)g(x+h)h+f(x)g(x+h)f(x)g(x)h)\lim \limits_{h \to 0}\left(\dfrac{f(x+h)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x+h)}{h}+\dfrac{f(x)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x)}{h}\right)
limh0f(x+h)g(x+h)f(x)g(x+h)h+limh0f(x)g(x+h)f(x)g(x)h\lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(x+h)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x+h)}{h}+\lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(x)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x)}{h}
Det första av dessa gränsvärden kan man nu skriva om och dela upp som produkten av två andra gränsvärden. Dessa kommer att motsvara första delen av produktregeln: f(x)g(x).f'(x)\cdot g(x).
limh0f(x+h)g(x+h)f(x)g(x+h)h+limh0f(x)g(x+h)f(x)g(x)h\lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(x+h)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x+h)}{h}+\lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(x)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x)}{h}
limh0(f(x+h)f(x))g(x+h)h+limh0f(x)g(x+h)f(x)g(x)h\lim \limits_{h \to 0}\dfrac{(f(x+h)-f(x))\cdot g(x+h)}{h}+\lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(x)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x)}{h}
limh0(f(x+h)f(x)hg(x+h))+limh0f(x)g(x+h)f(x)g(x)h\lim \limits_{h \to 0}\left(\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdot g(x+h)\right)+\lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(x)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x)}{h}
Dela upp gränsvärde
limh0f(x+h)f(x)hlimh0g(x+h)+limh0f(x)g(x+h)f(x)g(x)h\lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdot\lim \limits_{h \to 0} g(x+h)+\lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(x)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x)}{h}
Det första gränsvärdet är definitionen för derivatan av f(x)f(x) och kan alltså ersättas med f(x).f'(x). Det andra gränsvärdet är lika med g(x)g(x) eftersom g(x+h)g(x+h) går mot g(x)g(x) när hh går mot 0.0. Detta ger D(f(x)g(x))=f(x)g(x)+limh0f(x)g(x+h)f(x)g(x)h. D\left(f(x)\cdot g(x)\right)=f'(x)\cdot g(x)+\lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(x)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x)}{h}. Det andra gränsvärdet måste då motsvara den andra delen av produktregeln, f(x)g(x).f(x)\cdot g'(x). För att visa detta börjar man med att bryta ut f(x)f(x) ur täljaren. Eftersom den funktionen inte påverkas av att hh går mot 00 kan den placeras utanför gränsvärdet.
f(x)g(x)+limh0f(x)g(x+h)f(x)g(x)hf'(x)\cdot g(x)+\lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(x)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x)}{h}
f(x)g(x)+limh0f(x)(g(x+h)g(x))hf'(x)\cdot g(x)+\lim \limits_{h \to 0}\dfrac{f(x)\cdot (g(x+h)-g(x))}{h}
f(x)g(x)+f(x)limh0g(x+h)g(x)hf'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot \lim \limits_{h \to 0}\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h}
Det gränsvärde som finns kvar är definitionen för derivatan av g(x).g(x). Genom att byta ut gränsvärdet mot g(x)g'(x) får man till sist produktregeln: D(f(x)g(x))=f(x)g(x)+f(x)g(x). D\left(f(x)\cdot g(x)\right)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x).
Uppgift

Adrian och Robert diskuterar livligt derivatan till följande funktion. f(x)=(x2+19x+2)(2x6) f(x) = \left( x^2 + 19x + 2 \right) (2x - 6) Adrian påstår att man måste använda produktregeln för att derivera f(x)f(x) medan Robert bestämt hävdar att det går precis lika bra utan. De vandrar iväg med varsitt kollegieblock i högsta hugg och sätter igång med deriverandet. När de sedan jämför sina resultat visar det sig att de har fått samma derivata. Visa hur deras beräkningar skulle kunna se ut.

Lösning

Vi går igenom och tittar på hur Adrian och Robert skulle kunna ha tänkt när de deriverade f(x).f(x).

Regel

Adrian

Adrian talade starkt för produktregeln och trodde att det var enda sättet att derivera funktionen. Då är det bäst att vi använder den.
f(x)=(x2+19x+2)(2x6)f(x) = \left( x^2 + 19x + 2 \right) (2x - 6)
f(x)=D((x2+19x+2)(2x6))f'(x) = D\left( \left( x^2 + 19x + 2 \right) (2x - 6) \right)
f(x)=D(x2+19x+2)(2x6)+(x2+19x+2)D(2x6)f'(x) = D\left( x^2 + 19x + 2 \right) \cdot (2x - 6) + \left( x^2 + 19x + 2 \right) \cdot D(2x - 6)
f(x)=(D(x2)+D(19x)+D(2))(2x6)+(x2+19x+2)(D(2x)D(6))f'(x) = \left( D\left(x^2 \right) + D(19x) + D(2) \right) \cdot (2x - 6) + \left( x^2 + 19x + 2 \right) \cdot \left( D(2x) - D(6) \right)
f(x)=(D(x2)+D(19x))(2x6)+(x2+19x+2)D(2x)f'(x) = \left( D\left(x^2 \right) + D(19x) \right) \cdot (2x - 6) + \left( x^2 + 19x + 2 \right) \cdot D(2x)
f(x)=(D(x2)+19)(2x6)+(x2+19x+2)2f'(x) = \left( D\left(x^2 \right) + 19 \right) \cdot (2x - 6) + \left( x^2 + 19x + 2 \right) \cdot 2
f(x)=(2x+19)(2x6)+(x2+19x+2)2f'(x) = \left( 2x + 19 \right) \cdot (2x - 6) + \left( x^2 + 19x + 2 \right) \cdot 2
Vi har nu ett uttryck för derivatan. Vi kan förenkla den lite genom att multiplicera ihop parenteserna i den första termen och multiplicera in tvåan i den andra.
f(x)=(2x+19)(2x6)+(x2+19x+2)2f'(x) = \left( 2x + 19 \right) \cdot (2x - 6) + \left( x^2 + 19x + 2 \right) \cdot 2
f(x)=2x2x2x6+192x196+(x2+19x+2)2f'(x) = 2x \cdot 2x - 2x \cdot 6 + 19 \cdot 2x - 19 \cdot 6 + \left( x^2 + 19x + 2 \right) \cdot 2
f(x)=2x2x2x6+192x196+x22+19x2+22f'(x) = 2x \cdot 2x - 2x \cdot 6 + 19 \cdot 2x - 19 \cdot 6 + x^2 \cdot 2 + 19x \cdot 2 + 2 \cdot 2
f(x)=4x212x+38x114+2x2+38x+4f'(x) = 4x^2 - 12x + 38x - 114 + 2x^2 + 38x + 4
f(x)=6x2+64x110f'(x) = 6x^2 + 64x - 110
Adrian bör alltså ha fått följande derivata: f(x)=6x2+64x110. f'(x) = 6x^2 + 64x - 110.
Regel

Robert

Robert verkade väldigt övertygad om att det går att derivera funktionen utan produktregeln. Då måste man dock multiplicera ihop de två parenteserna i funktionsuttrycket först.
f(x)=(x2+19x+2)(2x6)f(x) = \left( x^2 + 19x + 2 \right) (2x - 6)
f(x)=x22xx26+19x2x19x6+22x26f(x) = x^2 \cdot 2x - x^2 \cdot 6 + 19x \cdot 2x - 19x \cdot 6 + 2 \cdot 2x - 2 \cdot 6
f(x)=2x36x2+38x2114x+4x12f(x) = 2x^3 - 6x^2 + 38x^2 - 114x + 4x - 12
f(x)=2x3+32x2110x12f(x) = 2x^3 + 32x^2 - 110x - 12
Nu har vi ett vanligt polynom som går bra att derivera utan att behöva använda produktregeln.
f(x)=2x3+32x2110x12f(x) = 2x^3 + 32x^2 - 110x - 12
f(x)=D(2x3)+D(32x2)D(110x)D(12)f'(x) = D\left( 2x^3 \right) + D\left( 32x^2 \right) - D(110x) - D(12)
f(x)=D(2x3)+D(32x2)D(110x)f'(x) = D\left( 2x^3 \right) + D\left( 32x^2 \right) - D(110x)
f(x)=D(2x3)+D(32x2)110f'(x) = D\left( 2x^3 \right) + D\left( 32x^2 \right) - 110
f(x)=6x2+64x2110f'(x) = 6x^2 + 64x^2 - 110
Robert får alltså precis samma derivata som Adrian: f(x)=6x2+64x2110. f'(x) = 6x^2 + 64x^2 - 110.
Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}