Grafer och Funktioner: Olika Typer av Funktioner och Deras Grafer

$x$	$y$
$0$	$0$
$1$	$3$
$2$	$6$
$3$	$9$
$4$	$12$
$5$	$15$

x

y

0

0

1

3

2

6

3

9

4

12

5

15

$x$	$x^{2} - 1$	$y$	Punkt
$- 2$	$(- 2)^{2} - 1$	$3$	$(- 2, 3)$
$- 1$	$(- 1)^{2} - 1$	$0$	$(- 1, 0)$
$0$	$0^{2} - 1$	$- 1$	$(0, - 1)$
$1$	$1^{2} - 1$	$0$	$(1, 0)$
$2$	$2^{2} - 1$	$3$	$(2, 3)$

x

x^{2} - 1

y

Punkt

- 2

(- 2)^{2} - 1

3

(- 2, 3)

- 1

(- 1)^{2} - 1

0

(- 1, 0)

0

0^{2} - 1

- 1

(0, - 1)

1

1^{2} - 1

0

(1, 0)

2

2^{2} - 1

3

(2, 3)

Den allmänna formen för en andragradsfunktion är

y = a x^{2} + b x + c,

där

a,

b,

och

c

är reella konstanter. Konstanten

c

kan vi bestämma direkt eftersom det är

y -

värdet där grafen skär

y -

axeln.

Vi ser att

y -

värdet är 4 så

c = 4,

vilket ger

y = a x^{2} + b x + 4 .

Det finns nu två okända konstanter kvar, så vi behöver ytterligare två punkter för att bestämma dem. Vi väljer två där

x -

och

y -

koordinaterna är lätta att läsa av.

Två punkter på kurvan är

(2, 8)

och

(6, 4),

och sätter vi in dessa i funktionsuttrycket bildas två ekvationer. Punkten

(2, 8)

betyder att när man sätter in

x = 2

är

y = 8 .

Det ger ekvationen

a \cdot 2^{2} + b \cdot 2 + 4 = 8 .

På samma sätt får man ekvationen

a \cdot 6^{2} + b \cdot 6 + 4 = 4

genom att sätta in den andra punktens koordinater. Dessa två ekvationer bildar ett ekvationssystem som man kan lösa med exempelvis additionsmetoden.

{a \cdot 2^{2} + b \cdot 2 + 4 = 8 a \cdot 6^{2} + b \cdot 6 + 4 = 4 (I) (II)

CalcPowProd

Beräkna potens & produkt

{4 a + 2 b + 4 = 8 36 a + 6 b + 4 = 4

MultEqn

$(I):$ $VL \cdot (- 3) = HL \cdot (- 3)$

{- 12 a - 6 b - 12 = - 24 36 a + 6 b + 4 = 4

SysEqnAdd

$(I):$ Addera $(II)$

{- 12 a - 6 b - 12 + 36 a + 6 b + 4 = - 24 + 4 36 a + 6 b + 4 = 4

SimpTerms

$(I):$ Förenkla termer

{24 a - 8 = - 20 36 a + 6 b + 4 = 4

AddEqn

$(I):$ $VL + 8 = HL + 8$

{24 a = - 12 36 a + 6 b + 4 = 4

DivEqn

$(I):$ $VL / 24 = HL / 24$

{a = - 0, 5 36 a + 6 b + 4 = 4

Nu sätter vi in värdet på

a

i den andra ekvationen.

{a = - 0, 5 36 a + 6 b + 4 = 4

Substitute

$(II):$ $a = - 0, 5$

{a = - 0, 5 36 (- 0, 5) + 6 b + 4 = 4

MultPosNeg

$(II):$ $a (- b) = - a \cdot b$

{a = - 0, 5 - 18 + 6 b + 4 = 4

SimpTerms

$(II):$ Förenkla termer

{a = - 0, 5 - 14 + 6 b = 4

AddEqn

$(II):$ $VL + 14 = HL + 14$

{a = - 0, 5 6 b = 18

DivEqn

$(II):$ $VL / 6 = HL / 6$

{a = - 0, 5 b = 3

a

är

- 0, 5

och

b

är

3 .

Sedan tidigare vet vi också att

c = 4 .

Detta ger funktionen

y = - 0, 5 x^{2} + 3 x + 4 .

Beskriva funktioner

Förkunskaper

Funktionsuttryck

Graf

Värdetabell

Värdetabell på räknare

Skissa graf utifrån funktionsuttryck

Svar

Ledtråd

Lösning

Bestäm funktion utifrån graf

Bestäm funktionen med hjälp av grafen

Ledtråd

Lösning

Beskriva funktioner

Rekommenderade uppgifter

	8 sidor teori
	19 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.