5. Beskriva funktioner
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 4
5.
Beskriva funktioner
Denna lektion fokuserar på att beskriva funktioner genom olika metoder, inklusive funktionsuttryck, värdetabeller och grafer. Den förklarar hur man kan använda dessa metoder för att förstå och tolka olika typer av funktioner, inklusive linjära och icke-linjära funktioner. Lektionenen ger också en detaljerad förklaring av hur man kan skapa en värdetabell för en funktion och hur man kan använda denna tabell för att skapa en graf. Dessutom förklaras hur man kan använda grafer och värdetabeller för att lösa ekvationer.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 8 sidor teori |
| | 21 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Beskriva funktioner
Sida av 8
Några vanliga sätt att representera funktioner är funktionsuttryck (formler), värdetabeller och grafer. Vad man använder beror på vilka egenskaper hos funktionen man är intresserad av.
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Funktionsuttryck
- Graf
- Värdetabell
- Värdetabell på räknare
- Bestäm funktion utifrån graf
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Funktionsuttryck
Ett funktionsuttryck är ett sätt att beskriva en funktion. Det anger en omvandlingsregel eller formel som talar om hur funktionsvärdet beror av olika x-värden. Exempelvis är y=x+3
ett funktionsuttryck som med ord kan beskrivasaddera 3 till x-värdet.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Graf
En graf är ett sätt att beskriva en funktion i ett koordinatsystem. Grafen byggs upp av en mängd punkter som illustrerar funktionen. Klicka på vilken punkt som helst på grafen för att se dess koordinater.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Värdetabell
En värdetabell är ett diagram som hjälper till att organisera och visualisera information. Den används ofta för att visa relationen mellan två variabler.
| x | y |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 3 |
| 2 | 6 |
| 3 | 9 |
| 4 | 12 |
| 5 | 15 |
2y-värdet
6.Detta representeras vanligtvis med notation (2,6).
Dela
Rapportera fel
Översätt
Digitala verktyg
Värdetabell på räknare
Räknaren har ett inbyggt verktyg för att generera en värdetabell utifrån ett funktionsuttryck. Det kan vara tidsbesparande eftersom det krävs många beräkningar att göra det för hand.
1
Ange funktionen
expand_more Precis som när man ritar en graf på räknaren börjar man med att trycka på Y= och skriva in funktionsuttrycket.
![Fil:Digital tools Vardetabell pa raknare 0.svg]()
2
Visa tabellen
expand_more Därefter trycker man på TABLE (2ND + GRAPH). Då genereras automatiskt en värdetabell för några olika x-värden. Har man skrivit in ett annat funktionsuttryck på Y_2 kommer y-värdena för den funktionen att visas i kolumnen längst till höger.
![Fil:Digital tools Vardetabell pa raknare 1.svg]()
3
Justera tabellinställningarna
expand_more Om man vill ändra de x-värden som syns i tabellen trycker man på TBLSET (2ND +WINDOW). Där kan man ange vilket x-värde tabellen ska börja på (TblStart) och hur stort avståndet ska vara mellan värdena (ΔTbl). Avståndet anger skillnaden mellan varje x-värde.
![Fil:Digital tools Vardetabell pa raknare 2.svg]()
4
Återgå till tabellen och kontrollera värdena
expand_more Genom att trycka på TABLE igen uppdateras tabellen.
![Fil:Digital tools Vardetabell pa raknare 3.svg]()
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Skissa graf utifrån funktionsuttryck
Skissa grafen till funktionen y=x^2-1 genom att göra en värdetabell.
Svar
Exempelgraf:
Ledtråd
Välj några positiva och negativa x-värden och använd dem för att utvärdera den givna funktionen.
Lösning
För att göra en värdetabell sätter vi in några valfria x-värden och beräknar motsvarande funktionsvärden. För att inte missa intressant information väljer vi några negativa och några positiva x-värden.
| x | x^2-1 | y | Punkt |
|---|---|---|---|
| -2 | ( -2)^2-1 | 3 | (-2,3) |
| -1 | ( -1)^2-1 | 0 | (-1,0) |
| 0 | 0^2-1 | -1 | (0,-1) |
| 1 | 1^2-1 | 0 | (1,0) |
| 2 | 2^2-1 | 3 | (2,3) |
Nu ritar vi upp ett koordinatsystem och prickar in punkterna vi tog fram i tabellen.
Till sist sammanbinder vi punkterna med en kurva.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Metod
Bestäm funktion utifrån graf
För att bestämma en funktion utifrån en graf måste man först veta vilken typ av funktion det är. I koordinatsystemet har grafen till en exponentialfunktion ritats.
För att bestämma funktionsuttrycket behöver man minst lika många punkter som antalet konstanter i funktionens allmänna form.
1
Bestäm antalet okända konstanter
expand_more Grafen beskriver en exponentialfunktion, vilket betyder att den allmänna formen är y=C* a^x.
Antalet okända konstanter är två stycken: startvärdet C och förändringsfaktorn a.
2
Läs av lika många punkter på grafen
expand_more Det finns två okända konstanter och därför behövs två olika punkter för att bestämma dessa värden.
Grafen går exempelvis igenom (1,1), och (2,3).
3
Sätt in punkterna i funktionen
expand_more Punkterna sätts in i funktionen och man får då två ekvationer:
1=C* a^1 och 3=C* a^2.
4
Ställ upp ett ekvationssystem och lös det
expand_more Eftersom det finns två okända variabler och två ekvationer kan man ställa upp ett ekvationssystem.
1=C* a^1 3=C* a^2
Nu kan man använda substitutionsmetoden för att bestämma de okända konstanterna.
1=C* a^1 & (I) 3=C* a^2 & (II)
(I): Förenkla potens
1=C* a 3=C* a^2
DivEqn
(I): .VL /a.=.HL /a.
1a=C 3=C* a^2
RearrangeEqn
(I): Omarrangera ekvation
C= 1a 3=C* a^2
Substitute
(II): C= 1/a
C= 1a 3= 1a* a^2
Multiply
(II): Multiplicera faktorer
C= 1a 3= a^2a
SimpQuot
(II): Förenkla kvot
C= 1a 3=a
RearrangeEqn
(II): Omarrangera ekvation
C= 1a a=3
Substitute
(I): a= 3
C= 1 3 a=3
5
Sätt in konstanterna
expand_more Till sist sätts värdena för konstanterna in i funktionsuttrycket.
y=C* a^x ⇒ y=1/3* 3^x
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Bestäm funktionen med hjälp av grafen
Vilken andragradsfunktion beskriver grafen?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"y=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-0,5x^2+3x+4"]}}
Ledtråd
Använd den allmänna formeln för en andragradsekvation. Analysera den givna grafen och hitta y-skärningspunkten och koordinaterna för vertexen.
Lösning
Den allmänna formen för en andragradsfunktion är
y=ax^2+bx+c,
där a, b, och c är reella konstanter. Konstanten c kan vi bestämma direkt eftersom det är y-värdet där grafen skär y-axeln.
Vi ser att y-värdet är 4 så c=4, vilket ger y=ax^2+bx+4. Det finns nu två okända konstanter kvar, så vi behöver ytterligare två punkter för att bestämma dem. Vi väljer två där x- och y-koordinaterna är lätta att läsa av.
Två punkter på kurvan är (2,8) och (6,4), och sätter vi in dessa i funktionsuttrycket bildas två ekvationer. Punkten (2,8) betyder att när man sätter in x=2 är y=8. Det ger ekvationen a* 2^2+b*2+4=8. På samma sätt får man ekvationen a* 6^2+b*6+4=4 genom att sätta in den andra punktens koordinater. Dessa två ekvationer bildar ett ekvationssystem som man kan lösa med exempelvis additionsmetoden.
a* 2^2+b*2+4=8 & (I) a* 6^2+b*6+4=4 & (II)
CalcPowProd
Beräkna potens & produkt
4a+2b+4=8 36a+6b+4=4
MultEqn
(I): VL * (-3)=HL* (-3)
-12 a-6b-12=-24 36a+6b+4=4
SysEqnAdd
(I): Addera (II)
-12 a-6b-12+ 36a+6b+4=-24+ 4 36a+6b+4=4
SimpTerms
(I): Förenkla termerna
24a-8= -20 36a+6b+4=4
AddEqn
(I): VL+8=HL+8
24a= -12 36a+6b+4=4
DivEqn
(I): .VL /24.=.HL /24.
a= -0,5 36a+6b+4=4
Nu sätter vi in värdet på a i den andra ekvationen.
a= -0,5 36a+6b+4=4
Substitute
(II): a= -0,5
a= -0,5 36( -0,5)+6b+4=4
MultPosNeg
(II):a(- b)=- a * b
a= -0,5 -18+6b+4=4
SimpTerms
(II): Förenkla termerna
a= -0,5 -14+6b=4
AddEqn
(II):VL+14=HL+14
a= -0,5 6b=18
DivEqn
(II): .VL /6.=.HL /6.
a= -0,5 b=3
a är -0,5 och b är 3. Sedan tidigare vet vi också att c=4. Detta ger funktionen y=-0,5 x^2+3x+4.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Beskriva funktioner
Uppgifter
Vilka av följande punkter ligger på linjen till y=- 2x+5? Kontrollera din lösning genom att skapa en värdetabell på räknare.
{"type":"multichoice","form":{"alts":["(0,0)","(3,8)","(-1,7)","(2,1)","(0,5)","(4,0)","(-2,9)","(1,3)"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[2,3,4,6,7]}
security
report
code
security
report
code
Varje punkt (x,y) består av en x-koordinat och en y-koordinat. Om y=f(x) är en funktion av x, så kommer därför alla punkter som ligger på grafen till funktionen att vara på formen (x,f(x)). Här är funktionen den räta linjen y=-2x+5. Vi kan alltså undersöka huruvida punkterna ligger på linjen genom att sätta in x-koordinaten i funktionen och se om y-koordinaten blir densamma som i punkten. De x-koordinater som finns är: x=-2, x=-1, x=0, x=1, x=2, x=3 och x=4. Vi skapar en värdetabell genom att sätta in dessa en efter en i funktionen och beräknar y. Kom ihåg att när man multiplicerar två negativa tal får man ett positivt tal.
| x | - 2x+5 | y |
|---|---|---|
| - 2 | - 2( - 2)+5 | 9 |
| - 1 | - 2 ( - 1)+5 | 7 |
| 0 | - 2 * 0+5 | 5 |
| 1 | - 2 * 1+5 | 3 |
| 2 | -2 * 2+5 | 1 |
| 3 | -2 * 3+5 | -1 |
| 4 | -2 * 4+5 | -3 |
Värdetabellen blir alltså som nedan.
| x | y |
|---|---|
| -2 | 9 |
| -1 | 7 |
| 0 | 5 |
| 1 | 3 |
| 2 | 1 |
| 3 | -1 |
| 4 | -3 |
Av alternativen är det alltså endast punkterna (-2,9), (-1,7), (0,5), (1,3) och (2,1) som ligger på linjen.
Kontroll av värdetabell på räknare
Tryck på knappen Y= för att skriva in funktionen y=-2x+5 som vi vill skapa en värdetabell för.
Innan vi genererar värdetabellen behöver vi ange vilka x-värden som ska vara med i tabellen. y-värdena beräknas sedan utifrån dessa x-värden. Vi trycker då på TBLSET (2ND + WINDOW) och anger x-värdet -2 som startvärde (TblStart) samt avståndet 1 (ΔTbl), vilket säger att avståndet mellan varje x-värde vara 1.
Nu trycker vi på TABLE (2ND + GRAPH) för att generera värdetabellen.
Även om denna tabell visar två extra x- och y-värden ser vi att de värden vi beräknade fram är korrekta.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Du har funktionen y=5x^2-7. Vilka av följande punkter ligger på dess graf? Lös uppgiften genom att ställa upp en värdetabell. A& (0,-7) B& (-1,4) C& (1,-2) D& (3,38) E& (4,15) F& (2,13)
{"type":"multichoice","form":{"alts":["A","B","C","D","E","F"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[0,2,3,5]}
security
report
code
security
report
code
En värdetabell visar koordinaterna för ett antal punkter som grafen till en funktion går genom. Vi vet vilka x-värden som ska ingå i värdetabellen och genom att sätta in dessa i funktionen kan vi beräkna motsvarande y-värden.
| x | 5x^2-7 | y |
|---|---|---|
| 0 | 5* 0^2-7 | -7 |
| 1 | 5* 1^2-7 | -2 |
| 2 | 5* 2^2-7 | 13 |
| 3 | 5* 3^2-7 | 38 |
Själva värdetabellen består bara av x- och y-kolumnerna.
| x | y |
|---|---|
| 0 | - 7 |
| 1 | -2 |
| 2 | 13 |
| 3 | 38 |
Det är alltså punkterna A, C, D och F som ligger på grafen.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Skissa för hand grafen till den funktion som beskrivs av värdetabellen.
| x | y |
|---|---|
| -4 | 0 |
| -2 | 1 |
| 0 | 2 |
| 2 | 3 |
security
report
code
security
report
code
Från värdetabellen kan vi avläsa punkterna (-4,0), (-2,1), (0,2) och (2,3). Vi markerar dessa i ett koordinatsystem.
Till sist skissar vi grafen genom att sammanbinda punkterna.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Skapa en värdetabell för värdena x=-5, -3, 0, 3, 5 för funktionen som visas i koordinatsystemet.
security
report
code
security
report
code
En värdetabell visar koordinaterna för ett antal punkter som grafen till en funktion går genom. Vi känner till x-koordinaterna för de punkter som ska ingå och kan börja med att skriva dem som vänsterkolumnen i en tabell.
| x | y |
|---|---|
| -5 | |
| -3 | |
| 0 | |
| 3 | |
| 5 |
Motsvarande y-koordinater läser vi av i koordinatsystemet. Vi kan t.ex. se att x=-5 motsvarar y=5.
Vi gör på samma sätt för övriga x-värden och fyller successivt i y-kolumnen för att få en komplett värdetabell.
| x | y |
|---|---|
| -5 | 5 |
| -3 | 3 |
| 0 | 0 |
| 3 | 3 |
| 5 | 5 |
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Skissa grafen till funktionen y=2x^2-4 genom att göra en värdetabell.
security
report
code
security
report
code
Vi sätter in några valfria x-värden i funktionen och beräknar motsvarande y-värden. För att inte missa intressant information väljer vi både negativa och positiva x. Vi redovisar allt i en värdetabell.
| x | 2x^2+4 | y | Punkt |
|---|---|---|---|
| -2 | 2*( -2)^2-4 | 4 | (-2,4) |
| -1 | 2*( -1)^2-4 | -2 | (-1,-2) |
| 0 | 2* 0^2-4 | -4 | (0,-4) |
| 1 | 2* 1^2-4 | -2 | (1,-2) |
| 2 | 2* 2^2-4 | 4 | (2,4) |
Nu ritar vi ett koordinatsystem och prickar in punkterna från tabellen.
Till sist sammanbinder vi punkterna med en kurva.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
I koordinatsystemet visas graferna till två linjära funktioner och två andragradsfunktioner.
Para ihop graferna med rätt funktion. & f(x)=2x^2+4x+1 & g(x)=- x^2+7x-10 & h(x)=2x-1 & p(x)=0,5x-1
{"type":"pair","form":{"alts":[[{"id":0,"text":"A"},{"id":1,"text":"B"},{"id":2,"text":"C"},{"id":3,"text":"D"}],[{"id":0,"text":"p(x)"},{"id":1,"text":"f(x)"},{"id":2,"text":"h(x)"},{"id":3,"text":"g(x)"}]],"lockLeft":true,"lockRight":false},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[[0,1,2,3],[0,1,2,3]]}
security
report
code
security
report
code
Vi ser att A och C är räta linjer, och alltså måste höra ihop med h(x) och p(x). Vi kollar på k-värdet för att skilja dem åt. Linje C har brantast lutning, vilket motsvarar ett högre k-värde, så &Ahör ihop medp(x)och &Chör ihop medh(x). För att avgöra hur B och D ska paras ihop med f(x) och g(x) kan vi kolla på x^2-termernas tecken. Vi ser att den är positiv för f(x), vilket betyder att grafen ser ut som en glad mun, så Bhör ihop medf(x). Funktionen g(x) har istället en negativ x^2-term, så Dhör ihop medg(x).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"f(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["2x^2+2"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"g(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-0,5x^2-1"]}}
security
report
code
security
report
code
En andragradsfunktion skrivs generellt på formen y=ax^2+bx+c, men vi får veta att våra funktioner är på formen y=ax^2+c. Värdet på konstanttermen c innebär dock fortfarande samma sak, dvs. där grafen skär y-axeln. För den blå grafen f(x) är därför c=2 och för g(x) är c=- 1.
Eftersom c=2 vet vi redan att funktionsuttrycket kommer se ut så här: f(x)=ax^2+2. Vi kan även avgöra att a ska vara positivt eftersom vi har en "glad" graf. Men för att bestämma det exakta värde på a använder vi metoden för att hitta funktionsuttrycket utifrån graf. Vi har alltså en okänd konstant, a, så vi behöver avläsa en punkt på grafen, t.ex. punkten (1,4).
Punkten (1,4) innebär att då x=1 är y=4. Vi sätter in detta i funktionsuttrycket.
Nu vet vi även att a=2. Det ger oss funktionsuttrycket f(x)=2x^2+2.
Tidigare kom vi fram till att c=-1 för g(x). Den röda grafen skrivs på formen:
g(x)=ax^2-1.
För att bestämma a läser vi av en punkt på samma sätt som i förra deluppgiften.
Vi sätter in punkten (2,-3) i funktionsuttrycket.
Nu vet vi även att a=- 0,5. Funktionsuttrycket är alltså g(x)=-0,5x^2-1.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"f(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["4\\cdot 1,5^x"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"g(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["16\\cdot 0,75^x"]}}
security
report
code
security
report
code
En exponentialfunktion skrivs på formen y=C * a^x, där C är startvärdet, dvs. där grafen skär y-axeln. För den blå grafen f(x) är därför C=4 och för g(x) är C=16.
Vi använder metoden för att bestämma en funktion utifrån dess graf. Eftersom startvärdet är C=4 måste uttrycket vara på formen f(x)=4 * a^x, där vi saknar förändringsfaktorn a. Vi har alltså en okänd konstant, och enligt metoden behöver vi då en punkt. Vi läser av t.ex. punkten (1,6).
Punkten (1,6) innebär att då x=1 är y=6. Vi sätter in detta i funktionsuttrycket.
Nu vet vi även att a=1,5. Det ger oss funktionsuttrycket f(x)=4 * 1,5^x.
Vi använder metoden för att bestämma en funktion utifrån dess graf igen. I föregående deluppgift kom vi fram till att C=16 för g(x), vilket betyder att den röda grafen skrivs på formen:
g(x)=16 * a^x.
För att bestämma a läser vi av en punkt på samma sätt som i förra deluppgiften.
Vi sätter Punkten (1,12) i funktionsuttrycket.
Nu vet vi även att a=0,75. Funktionsuttrycket är alltså g(x)=16 * 0,75^x.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Beskriva funktioner
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll