Andelar

I ett bråk beskriver nämnaren det hela. Förlänger vi 1941 så att nämnaren ligger över 100 men så nära 100 som möjligt, kan vi läsa av det minsta antalet killar på skolan i täljaren. Skillnaden mellan nämnaren och täljaren blir det minsta antalet tjejer på skolan.

Hitta minsta möjliga nämnare över 100

För att hitta den minsta möjliga nämnaren över 100 multiplicerar vi med så små heltal som möjligt tills nämnaren når över 100. Vi börjar med 2.

Nämnaren blev inte större än 100 så vi måste förlänga bråket med något annat tal större än 2. Vi testar nästa heltal: 3.

Nu hamnade nämnaren över 100. Då vet vi att det går minst 123 elever på skolan och 57 av dessa är pojkar. Då måste det minsta antalet flickor på skolan vara 123-57=66 st.

De 36 fälten bildar tillsammans ett helt varv (360^(∘)), och eftersom 70 % av lyckohjulet är blått måste även de blå fälten utgöra 70 % av ett helt varv, dvs. 360^(∘) * 0,7 = 252^(∘). Om de 18 blå fälten tillsammans utgör 252^(∘) av cirkeln, och är lika stora, måste varje enskilt fält ha medelpunktsvinkeln 252^(∘)/18=14^(∘).

Om vi lägger ihop andelen drömmar, hallongrottor och havreflarn ska summan bli 1 eftersom det är alla kakor. Vi vet inte vad andelen havreflarn är, så vi kallar den x och löser sedan ut den ur ekvationen.

Andelen havreflarn är 521.

Vi skriver om andelarna så att alla har nämnaren 21. Då är det lättare att avgöra vilken som det finns flest av.

Eftersom alla har samma nämnare kan vi läsa av att 921 är den största andelen, då den har den största täljaren. Vi vet då att det finns 18 stycken hallongrottor och att detta utgör 37 av alla kakor. Om vi antar att det totala antalet kakor är x får vi en ekvation som vi kan lösa.

Det finns totalt 42 kakor.

Eftersom 1 del utgör saft och 4 delar är vatten kan totala mängden saft skrivas som 1+4=5 delar. Andelen vatten blir därför Volym vatten/Volym blandad saft=4/5. Vi har 1,5 liter saft, vilket utgör Det hela. Vi sätter in våra värden i andelsformeln och löser ut "Delen", som ju var mängden vatten.

Man har alltså använt 1,2 liter (eller 12dl) vatten till saften.

Vi tar reda på hur mycket saft man kan blanda med 60cl koncentrat. Fördelningen 1+4 betyder att mängden vatten är fyra gånger större än mängden koncentrat. Det betyder att man ska tillsätta 4*60=240cl vatten. Totalt ger det 60+240=300cl saftblanding. 300cl är lika med 3 liter, så koncentratet räcker för att göra bålen.

Vi bestämmer heltidslönen under en vecka genom att multiplicera timlönen med antalet timmar: 140* 40=5 600 kr. Vi vet att övertidslönen utgör andelen 75 av heltidslönen, som är det hela. Vi räknar nu ut hur mycket Henrik tjänade på sina övertidstimmar, dvs. delen, genom att sätta in det vi vet i andelsformeln.

Övertidslönen var alltså 7 840kr. Totalt under veckan tjänade han därför 5 600 + 7 840 = 13 440 kr.

Vi skriver ner det vi vet. Eftersom Lorenzo hade druckit upp tre fjärdedelar har han en fjärdedel kvar.

Vi börjar med att ta reda på vad x är genom att använda andelsformeln för Omars flaska. Vi skriver en halv som 0,5 för enkelhetens skull.

Omars flaska

Nu vet vi att x=4dl och vi har då tillräckligt med information för att ta reda på volymen av Lorenzos flaska.

Lorenzos flaska

Lorenzos flaska är alltså ganska stor. Den rymmer 1,6 liter.

Vi beräknar skattesatsen för varje kommun separat och jämför dem sedan.

Kommun A

Vi börjar med att beräkna den totala lönen, eller det hela, för alla sysselsatta i kommunen. Eftersom genomsnittslönen är 25 000kr multiplicerar vi detta med antalet arbetande i kommunen.

I kommun A tjänar de sysselsatta 35 075 000kr per månad. Av detta betalas 10 522 500kr som skatt. Vi beräknar hur stor andel det är.

I kommun A är alltså skattesatsen 30 %.

Kommun B

Vi gör på samma sätt och multiplicerar genomsnittslönen med antalet sysselsatta i kommunen.

I kommun B tjänar de sysselsatta 272 525 000kr per månad. Nu beräknar vi hur stor del skatten utgör av detta.

I kommun A är skattesatsen 30 % och i kommun B 35 %, så kommun B har högst skatt.

För att kommunerna ska ha samma skattesats måste kommun A höja sin till 35 %. I förra deluppgiften beräknade vi att man totalt tjänade 35 075 000kr i kommunen. Det betyder att den totala skatten blir 35 075 000* 0,35=12 276 250kr

Vi kan börja med att beräkna hur mycket 1 % löneökning hade motsvarat. Eftersom 300kr är 1,5 % kan vi göra det genom att dividera 300 med 1,5

1 % motsvaras alltså av 200kr. Men vi skulle ju beräkna hur mycket 4 % motsvarar. Vi multiplicerar därför med 4: 200*4=800. Om Pelle hade fått 4 % löneökning hade han alltså fått 800kr.

Vi vet att andelen 25 av ett tal, som vi kan kalla x, ska vara lika med 1. Talet x är alltså det hela och 1 är den del av det hela som utgör 25. Vi använder andelsformeln för att bestämma x.

Talet är alltså 2,5.

Vi gör en tabell som beskriver de två lånen.

För att beräkna årsräntan för Anders lån multiplicerar vi lånebeloppet med räntesatsen i decimalform: 50 000 kr * 0.042=2100 kr. Nu kan vi direkt räkna ut Stinas räntekostnad som är den totala räntekostnaden minus räntekostnaden för Anders lån: 9300 kr - 2100 kr =7200 kr. Stinas räntekostnad är alltså 7200 kr. Delar vi årsräntan (Delen) med räntesatsen (Andelen) kan vi bestämma lånebeloppet (Det hela). 7.2 % kan vi skriva som 0.072.

Stinas lånebelopp är på 100 000 kr. Nu fyller vi i resten av tabellen.

Stinas räntekostnad är alltså 7200 kr och hennes lånebelopp är 100 000 kr.

Vi vet vad Angelica betalade i månadshyra år 2015 och ska bestämma vad hyran borde ha varit år 2011 om hyresnivån utvecklats på samma sätt som KPI. Vi kan skriva följande samband (FF anger förändringsfaktorn):

Hyra_(2011) * FF = Hyra_(2015). Månadshyran 2011 kan vi kalla x och förändringsfaktorn för KPI beräknas genom att dividera 313.4 med 311.4. Detta ger oss x * 313.4/311.4 = 3700. Vi löser ut x ur ekvationen.

Hyran år 2011 borde ha varit ungefär 3676 kr/månad.

Vi vet att fem fakturor har varit försenade. Om varje försening ger 150 kr i förseningsavgift har Kalle totalt betalat 150* 5=750 kr i avgifter. Av den totala kostnaden har alltså11 250-750=10 500 krvarit räntekostnad och detta ska alltså vara 7 % av det lånade beloppet. Vi sätter in dessa värden i andelsformeln.

Lånet var på 150 000 kr.

För att bestämma hur stor rabatten är måste vi först beräkna hur mycket det kostar att köpa de tre varorna till ordinarie pris. Från skylten ser vi att ordinarie pris för en vara är 12.90 kr så tre varor måste då kosta 3* 12.90=38.70 kr. Enligt samma skylt kan man köpa dessa tre varor för 30 kr. Genom att använda andelsformeln beräknar vi hur många procent det rabatterade priset utgör av det ordinarie.

Andelen är 0.78 vilket innebär att det lägre priset utgör 78 % av det ordinarie. Rabatten är skillnaden mellan 78 % och 100 %, dvs. 100 % - 78 % = 22 %.

Från uppgiften vet vi att bankens årsränta är 5.6 %. Genom att multiplicera lånets storlek med räntan uttryckt i decimalform, dvs. 0.056, så kan vi bestämma årsräntan i kronor som du måste betala till banken. 3000* 0.056=168 kr.

Kostnaden per månad om man inte betalar tillbaka sms-lånet är alltså 375 kr och om man struntar i att betala tillbaka lånet på ett helt år kommer den totala avgiften man är skyldig att vara 375 * 12=4500 kr. Nu använder vi andelsformeln för att bestämma hur stor andel avgiften utgör av det lånade beloppet.

Du ska alltså betala tillbaka 150 % av lånebeloppet efter ett år vilket är årsräntan för sms-lånet.

När något förändras med en konstant procentsats så kan detta beskrivas med en exponentialfunktion, dvs. en funktion som står på formen y = C * a^x, där C är startvärde och a är en förändringsfaktor. Nu kan vi titta på Martins och Johannas beräkning.

Martins beräkning

Martin har resonerat att om man adderar 17 % tre gånger så får man den totala värdeminskningen efter tre år. Men denna modell innebär att den procentuella minskningen för varje år räknas på bilens ursprungspris vilket inte stämmer överens med hur en exponentialfunktion funkar.

Johannas beräkning

Johanna börjar med att bestämma den förändringsfaktor som en värdeminskning på 17 % motsvarar, dvs. 1-0.17=0.83 Genom att multiplicera denna förändringsfaktor med bilens ursprungliga pris tre gånger får vi värdet efter tre år, dvs. 0.83^3* 194 000 kr=110 927 kr. Johanna har alltså gjort rätt.

Som ett räkneexempel kan vi utgå från att ett par jeans ursprungligen kostade 400 kr. När ett pris sänks med 25 % är förändringsfaktorn 0.75. Det nya priset blir därför 400 * 0.75 = 300 kr. Om man sänker priset med 25 % igen ska förändringsfaktorn multipliceras med det redan sänkta priset. Det nya priset blir då 300 * 0.75 = 225 kr. Om det hade varit som Peter påstår hade det nya priset varit hälften av 400 kr dvs. 200 kr, men det blev ju 225 kr. Peter har därför inte rätt.

Det finns två skuggade områden i rektangeln. Vi delar upp rektangeln i två för att räkna ut varje skugga.

Övre rektangeln

Vi drar en diagonal så att vi får fyra likadana trianglar.

Totalt blir det fyra trianglar och en är skuggad. Andelen som är skuggad av den övre rektangeln är då 14. Eftersom den övre rektangeln är hälften av hela rektangeln måste vi dela detta på 2.

Skuggan i den övre rektangeln är alltså 18 av hela rektangeln.

Undre rektangeln

Diagonalen genom rektangeln delar den i två lika stora delar.

Det betyder att den skuggade delen kommer vara hälften av den undre rektangeln, dvs 12. Precis som i den övre rektangeln måste vi dela andelen på 2. Skuggan i den undre rektangeln blir då 1/22= 14 av hela rektangeln.

Hela rektangeln

Lägger vi ihop andelen som är skuggad i övre och undre rektangeln får vi andelen som är skuggan i hela rektangeln.

Delen av rektangeln som är skuggad är alltså 38.

För att kunna ta reda på hur många procent blyhalten sjönk med så måste vi ta reda på vilka värden som fanns vid årtalen. Vid år 1979 var blyhalten 300 mg/kg, och vid 1991 hade den minskat till cirka 90 mg/kg. Vi behöver som nästa steg beräkna hur stor andel 90 mg/kg är av 300 mg/kg.

90 mg/kg är alltså 30 % av 300 mg/kg. Denna minskning av blyhalten var därmed på 100 % - 30 % = 70 %.

Vi behöver nu först rådfråga diagrammen för att ta reda på hur stor kvicksilverhalten var år 1989. Vi hittar då en halt på cirka 3 mg/kg. Halten kvicksilver är uttryckt i enheten mg/kg, medan mängden rötslam är uttryckt i ton, vilket inte går ihop. Vi väljer att omvandla mängden rötslam till kg: 230 000ton = 230 000 000kg. Vi kan nu multiplicera mängden rötslam med kvicksilverhalten för att hitta mängden kvicksilver: 3 * 230 000 000 = 690 000 000. Enheten på detta blir alltså mg. Vi bör nu omvandla från enheten mg till något mer lämpligt, för att slippa alla dessa nollor. 690 000 000mg = 690 000g = 690kg Det fanns alltså cirka 690 kg kvicksilver i rötslammet år 1989.

Vi börjar med att tolka problemet själva. För att kunna räkna ut värdet efter 3 år måste vi räkna ut förändringsfaktorn. Den får genom att göra om 11 % till decimalform och dra bort det från 1, eftersom värdet sjunker. 1-0.11=0.89 Nu vill vi multiplicera förändringsfaktorn med bilens pris för att få värdet efter 3 år. Vi måste därför göra multiplikationen 3 gånger och istället för att upprepa multiplikationen kan vi skriva talet som en potens. 0.89^3 * 114 000 Vi har nu ett uttryck för bilens värde efter 3 år och ser att Karin har gjort likadant. Det betyder att Peter har gjort något fel. Eftersom det minskar med 11 % varje år tänker Peter att han ska multiplicera med 3. Han räknar ut förändringsfaktorn och får den till 0.67 vilket betyder att priset sjunker med 33 %. Peter räknar alltså ut att bilens värde sjunker en gång med 33 % istället för 3 gånger med 11 % per gång.