body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Mitt konto

Kurs 1a Visa detaljer

1. Algebraiska uttryck

Fortsätt till nästa lektion

Lektion

Övningar

Tester

eKurser /

( Ma 1a , Ma 1b , Ma 1c ) /

Kapitel 3

Algebraiska uttryck

Utforska den fascinerande världen av algebraiska uttryck. Denna lektion förklarar vad ett algebraiskt uttryck är och hur det fungerar. Ett uttryck som innehåller minst en variabel kallas ett algebraiskt uttryck. Variabler representerar obekanta eller godtyckliga tal och kan anta olika värden. Lektionenen förklarar vidare hur man förenklar algebraiska uttryck genom att slå ihop termer av samma slag, det vill säga termer som innehåller samma variabler. Detta är ett ovärderligt verktyg för alla som är intresserade av att förstå och tillämpa konceptet algebraiska uttryck inom matematik.

Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	10 sidor teori
	31 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Algebraiska uttryck

Sida av 10

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Variabel
Algebraiskt uttryck
Termer av samma slag
Förenkla termer av samma slag

Förkunskaper

Teori

Variabel

En variabel är en symbol som används för att representera en okänd storhet. Ofta representerar variabler bestämda, men okända, tal. Variabler betecknas vanligtvis med bokstäver, såsom $x .$

x, y, u, v, p, q

En variabel kan användas för att representera en storhet som kan variera. Ett exempel på en situation där en variabel kan vara användbar är följande:

Izabella tycker verkligen om kakor. Hon brukar köpa flera burkar när hon handlar mat. Varje burk innehåller 8 kakor.

I det här fallet beror antalet kakor på hur många burkar Izabella köper. Därför är användningen av en variabel lämplig. Låt $x$ vara antalet kakburkar som Izabella köper. Det totala antalet kakor ges då av $8$ gånger antalet burkar hon köper.

Totala antalet kakor 8 x

Teori

Algebraiskt uttryck

Ett algebraiskt uttryck är en kombination av tal, variabler och aritmetiska operationer, som även kallas räknesätt. I uttrycket $2 x + 3$ multipliceras variabeln $x$ med koefficienten $2,$ och sedan adderas produkten med konstanten $3 .$

Talet framför en variabel kallas koefficient och anger hur många gånger variabeln förekommer i uttrycket. Eftersom termer som inte innehåller variabler alltid har samma värde, kallas de konstanter. Ett uttryck som enbart består av konstanter kallas för ett numeriskt uttryck.

Teori

Utvärdera ett uttryck

Att utvärdera ett uttryck innebär att bestämma värdet av ett uttryck när variabeln eller variablerna i uttrycket antar ett specifikt värde. Detta görs genom att ersätta variabeln i uttrycket med det specifierade värdet och sedan förenkla det. Som ett exempel, betrakta följande uttryck.

3 x + 2

Detta uttryck kan utvärderas till ett numeriskt värde genom att, exempelvist, låta

x

vara lika med

5 .

För att utvärdera uttrycket kan man följa två steg.

Ersätt

x

med det givna värdet

I uttrycket, ersätt variabeln med det givna värdet. I det här fallet, ersätt

x

med

5 .

3 x + 2

Substitute

$x = 5$

3 (5) + 2

Efter ersättningen försvinner variabeln och det algebraiska uttrycket är nu ett numeriskt uttryck.

Förenkla uttrycket

Nu kan uttrycket förenklas genom att följa prioriteringsreglerna. Tänk på att parenteser representerar multiplikation.

3 (5) + 2

Multiply

Multiplicera faktorer

15 + 2

AddTerms

Addera termer

17

Därmed har vi att när

x

är lika med

5,

är det givna uttrycket lika med

17 .

Om ett uttryck har flera variabler, ersätts varje variabel med motsvarande givna värde innan alla nödvändiga operationer utförs.

Exempel

Vad är uttryckets värde?

Beräkna värdet av

3 x^{2} + 5 x - 9

när

x = - 1 .

Ledtråd

Substituera $- 1$ för $x$ i uttrycket och beräkna.

Lösning

Genom att sätta in

x = - 1

i uttrycket kan vi beräkna dess värde.

3 x^{2} + 5 x - 9

Substitute

$x = - 1$

3 (- 1)^{2} + 5 (- 1) - 9

CalcPow

Beräkna potens

3 \cdot 1 + 5 (- 1) - 9

Multiply

Multiplicera faktorer

3 - 5 - 9

SubTerms

Subtrahera termer

- 11

När

x = - 1

blir uttryckets värde

- 11 .

Övning

Öva på att utvärdera algebraiska uttryck

Utvärdera det givna algebraiska uttrycket med hjälp av de angivna värdena för varje variabel.

Teori

Förenkling av algebraiska uttryck

I det här algebraiska uttrycket finns det tre olika sorters termer: $x -$ termer, $y -$ termer och konstanter. En $x -$ term eller $y -$ term har en variabel och kan variera i värde, medan en konstant har ett fast värde.

Ett diagram som visar uttrycket 7y + 2x - 3y - 2 + x + 5 och som markerar x-termerna, y-termerna och de konstanta termerna.

Uttrycket ovan kan förenklas genom att man adderar och subtraherar $x -$ termerna med varandra, $y -$ termerna med varandra och de konstanta termerna med varandra.

7 y + 2 x - 3 y - 2 + x + 5

SimpTerms

Förenkla termer

7 y + 2 x - 3 y - 2 + x + 5

SubTerms

Subtrahera termer

4 y + 2 x - 2 + x + 5

AddTerms

Addera termer

4 y + 3 x - 2 + 5

AddTerms

Addera termer

4 y + 3 x + 3

Genom att samla termer av samma slag kan man alltså förenkla uttryck.

Teori

Förenkla termer av samma slag

I ett algebraiskt uttryck kan flera termer av samma slag kombineras för att förenkla det ursprungliga uttrycket och skriva det med så få termer som möjligt. Som ett exempel kan följande uttryck undersökas.

7 y + 2 x - 3 y - 2 + x + 5

Det finns tre steg att följa för att kombinera termer av samma slag.

Identifiera termer av samma slag

Börja med att identifiera termerna av samma slag i uttrycket. Dessa är termer som innehåller samma variabel. Kom också ihåg att alla konstanter är termer av samma slag.

Detta uttryck har två

x -

termer, två

y -

termer och två konstanta termer.

Gruppera termer av samma slag

Identifiera och gruppera termerna av samma slag, och kom ihåg att tecknet framför en term hänger ihop med termen.

Addera och subtrahera koefficienterna

Slutligen, kombinera termerna av samma slag genom att addera eller subtrahera termernas koefficienter, samt addera eller subtrahera konstanterna.

Nu när alla termer av samma slag har kombinerats har det ursprungliga uttrycket förenklats till sin enklaste form.

7 y + 2 x - 3 y - 2 + x + 5 ⇕ 4 y + 3 x + 3

Exempel

Förenkla algebraiskt uttryck

Förenkla

3 x^{2} + x + 8 + 5 - 3 x

så långt som möjligt.

Ledtråd

Identifiera termer av samma slag. Förenkla sedan uttrycket.

Lösning

När vi förenklar algebraiska uttryck lägger vi ihop lika termer för sig. Uttrycket innehåller tre typer av termer.

$x^{2} -$ termer: $3 x^{2}$
$x -$ termer: $x$ och $- 3 x$
konstanter: $8$ och $5$

Det finns bara en

x^{2} -

term så den kan inte förenklas. Vi har däremot två

x -

termer och två konstanter och dessa läggs ihop var för sig. Innan vi förenklar omarrangerar vi uttrycket så att termer av samma slag står bredvid varandra. Detta är inte nödvändigt för att genomföra förenklingen men gör det lättare att se vilka termer som hör ihop.

3 x^{2} + x + 8 + 5 - 3 x

RearrangeTerms

Omarrangera termer

3 x^{2} + x - 3 x + 8 + 5

SimpTerms

Förenkla termer

3 x^{2} - 2 x + 13

Uttrycket förenklas till

3 x^{2} - 2 x + 13 .

Övning

Öva på att förenkla uttryck

Förenkla det givna algebraiska uttrycket genom att identifiera och förenkla termer av samma slag.

The applet randomly generates algebraic expressions containing parentheses and prompts for the correct simplification of the expression.

Algebraiska uttryck

Övningar

Annika är

14

år. Hennes syster Claudia är tre år yngre. Teckna ett algebraiskt uttryck för deras sammanlagda ålder om

t

år.

Annika är 14 år, vilket betyder att hon är om t år är 14+t. Claudia är tre år yngre dvs. 11 år, så om t år kommer hon att vara 14+t. Nu lägger vi ihop dessa uttryck för att hitta deras sammanlagda ålder om t år.

Deras sammanlagda ålder om t år är alltså 25+2t år.

x + y = a

och

x - y = b .

Skriv ett uttryck för

a - b

och förenkla uttrycket.

Nationella provet VT12 1b

Vi ersätter a med x+y samt b med x-y och förenklar uttrycket.

Ett förenklat uttryck för a-b är alltså 2y.

Om Hanna tjänade $2000 kr$ mer skulle hennes månadslön vara en och en halv gång så hög som Noras. Skriv ett uttryck för Hannas månadslön då Noras månadslön är $x kr .$

Nationella provet VT12 1b/1c

Vi kan kalla Hannas månadslön för y. Om Hanna tjänade 2000kr mer innebär det att hennes lön blir y+2000. Vi vet att hennes lön då skulle vara en och en halv gånger så hög som Noras. Det innebär att y+2000 ska sättas lika med Noras månadslön multiplicerat med 1,5. Vi får följande samband: y+2000=1,5x ⇔ y=1,5x-2000. Ett uttryck för Hannas månadslön är alltså 1,5x-2000.

Lisa har ett antal sedlar i sin plånbok: $x$ st. tjugokronorssedlar, $y$ st. femtiokronorssedlar och $z$ st. hundrakronorssedlar. Vi vet att $x = 3,$ $y = 4$ och $z = 7 .$ Beräkna och tolka...

x + y + z

20 x + 50 y + 100 z

Vi byter ut x mot 3, y mot 4 och z mot 7 och beräknar.

x är antalet tjugor, y är antalet femtiolappar och z är antalet hundralappar som Lisa har i sin plånbok. Summan av dessa är därför antalet sedlar. Lisa har alltså 14 sedlar i plånboken.

Vi gör på samma sätt som i förra deluppgiften och ersätter variablerna med sina värden.

Eftersom 20, 50 och 100 är värdet på respektive sedel innebär detta att Lisa har 960 kr i sedlar i sin plånbok.

Förenkla uttrycket.

12 a b - 5 a \cdot 2 b - 4 b a

a^{2} b + a b^{2} + (a b)^{2} + a b^{- 2}

För att se om uttrycket kan förenklas eller inte måste vi först utföra lite beräkningar och omskrivningar. På grund av kommutativa lagen är ab samma sak som ba, vilket innebär att vi kan skriva om 4ba till 4ab.

Även här börjar vi med en omskrivning. Med potenslagarna kan vi göra omskrivningen (ab)^2=a^2 * b^2=a^2b^2. Det ger oss alltså uttrycket a^2b+ab^2+a^2b^2+ab^(-2), vilket inte går att förenkla genom att slå ihop termer av samma slag. Termen a^2b betyder ju a * a * b, medan ab^2=a * b * b, så de är inte likadana. Inte heller är ab^2 samma sak som ab^(-2), eftersom ab^(-2)=a * 1b^2.

Förenkla uttrycket.

x^{5} \cdot x^{4} \cdot x^{3} \cdot x^{2} \cdot x

x^{5} + x^{4} + x^{3} + x^{2} + x

\frac{3 x}{7} + \frac{8 x}{7} - \frac{3}{7}

Vi har här 5 potenser med samma bas som är multiplicerade med varandra. Vi använder den potenslag som säger att vid multiplikation av potenser med samma bas ska exponenterna adderas. Glöm inte att x är samma sak som x^1.

Uttrycket x^5+x^4+x^3+x^2+x är en addition av potenser. De kan inte enkelt läggas ihop om de har olika exponenter, utan måste i så fall kunna beräknas, som i fallet 2^3+2^2=8+4=12. Eftersom vi inte har några värden att beräkna finns det inget vi kan göra, utom möjligen att bryta ut ett x. Vi väljer att säga att uttrycket ej kan förenklas.

För att kunna förenkla termerna måste de stå på samma bråkstreck. Eftersom de har samma nämnare kan vi ordna detta direkt utan att behöva förlänga.

Skriv om uttrycket

6 b (x - b)

så att det endast beror på

b,

givet att

b

är

2

mindre än

x .

Vi vet att b är 2 mindre än x dvs. b=x-2 Om vi adderar 2 på båda sidor får vi x=b+2. Vi sätter in detta istället för x i uttrycket och förenklar.

Vi har nu skrivit om uttrycket till 12b, så att det inte längre beror av variabeln x.

Ett telefonabonnemang har en fast avgift på $299$ kronor i månaden. Då får man $60$ fria minuter och efter det kostar det $40$ öre per minut. Man kan även surfa för $40$ kr/GB.

Vad blir kostnaden om man ringer i

80

minuter och inte surfar något?

Vad blir kostnaden om man ringer i

100

minuter och surfar för

2

GB?

Kostnaden beror på hur många minuter man pratar.

Upp till 60 minuter

Om man pratar 60 minuter eller mindre betalar man enbart den fasta kostnaden. Kostnaden är alltså 299kr om x ≤ 60.

Mer än 60 minuter

Om man pratar mer än 60 minuter, dvs. x>60, betalar man 40 öre per minut. Pratar man t.ex. 65 minuter betalar man ytterligare 5*0,40 = 2kr. Kostnaden blir därför (x-60)0.4kr Adderar vi engångskostnaden och samtalskostnaden får vi ett uttryck som beskriver totala kostnaden: (x-60)0,4+299kr Genom att sätta in Genom att sätta in 80 i detta uttryck kan vi bestämma kostnaden

Kostnaden blir 307kr.

Utöver engångs- och samtalskostnad tillkommer alltså surfkostnaden på 40 kr/GB. Om man surfar för y GB blir surkostnaden y*40 eller 40y. Vi lägger till detta i båda uttrycken vi tog fram tidigare: x≤ 60:& 299+40y kr x>60:& (x-60)0,4+299+40y kr Låt oss sätta in x=100 och y=2 i det andra uttrycket.

Kostnaden blir 395kr.

I en rektangel är den långa sidan $4 cm$ längre än den korta sidan. Vilket uttryck ska beteckna rektangelns korta sida om rektangelns långa sida betecknas $x + 2 ?$

Nationella provet VT10 MaA

Vi vet att långsidan är x+2cm och att långsidan är 4cm längre än kortsidan. Om vi subtraherar 4cmfrån långsidans uttryck kommer vi få ett uttryck för kortsidan x+2-4=x-2. Kortsidan är alltså x-2cm.

Du vet att $a = b + 2 .$ Vad är då $a - 1 ?$

Nationella provet VT01 MaA

Man kan tänka på flera olika sätt när man löser denna uppgift, t.ex. så här: Uttrycket a-1 är ett mindre än a. För att bestämma a-1 ska vi därför dra bort 1 från b+2. b+2-1=b+1. a-1 är alltså b+1.

Eftersom vi vet att a är lika med b+2 kan vi sätta in detta istället för a och får då a-1=(b+2)-1=b+1.

Skriv som en likhet med symboler

x är 200 mer än y.

Nationella provet VT01 MaA

Påståendet "x är 200 mer än y" säger oss något om variabeln x, nämligen att man till y behöver addera 200 för att få x. Det kan vi skriva som likheten x=y+200.

Algebraiska uttryck

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.