Förenkla Algebraiska Uttryck: Lär dig mer om Variabler och Algebra

x

är ett positivt udda heltal. Vad är medelvärdet av

x

och nästa positiva udda heltal?

Nästa heltal efter x är x+1, men är detta udda? Nej, det är jämnt. Om man skriver ut de första positiva heltalen ser man att vartannat tal är jämnt och vartannat är udda.

Nästa udda heltal är alltså x+2. Nu kan vi beräkna medelvärdet genom att addera x med x+2 och dividera med 2.

Medelvärdet är alltså x+1, dvs. heltalet efter x.

Om $x \geq 2$ och $y \geq - 3,$ vilket är då det minsta värde som uttrycket $2 x + y^{2}$ kan ha?

Nationella provet VT12 1b/1c

Uttrycket 2x + y^2 består av de två termerna 2x och y^2, adderade med varandra. Eftersom termerna innehåller olika variabler påverkas inte värdet för den ena av värdet av den andra. Vi kan alltså undersöka dem en i taget och hitta deras minsta värde var för sig.

Minsta värdet av 2x

För att 2x ska bli så litet som möjligt vill vi att x ska vara så litet som möjligt. Men vi kan inte välja x hur litet som helst eftersom ett av villkoren är att x ska vara större än eller lika med 2, dvs. minst 2. Det minsta värde som 2x kan anta är alltså 2*2=4.

Minsta värdet av y^2

Vi minns att ett tal upphöjt till 2 aldrig är negativt. Exempelvis är (-2)^2=4. Detta betyder att ett kvadrerat tals minsta värde är 0 och att y^2 antar sitt minsta värde när y=0. Detta uppfyller också villkoret y≥-3.

Minsta värdet av 2x+y^2

Vi vet att uttrycket antar sitt minsta värde när x=2 och y=0, så vi sätter in dessa värden i 2x+y^2.

Givet villkoren x≥2 och y≥-3 är alltså 4 det minsta värdet som uttrycket 2x+y^2 kan anta.

Ett telefonabonnemang har en fast avgift på $299$ kronor i månaden. Då får man $60$ fria minuter och efter det kostar det $40$ öre per minut. Man kan även surfa för $40$ kr/GB.

Vad blir kostnaden om man ringer i

80

minuter och inte surfar något?

Vad blir kostnaden om man ringer i

100

minuter och surfar för

2

GB?

Kostnaden beror på hur många minuter man pratar.

Upp till 60 minuter

Om man pratar 60 minuter eller mindre betalar man enbart den fasta kostnaden. Kostnaden är alltså 299kr om x ≤ 60.

Mer än 60 minuter

Om man pratar mer än 60 minuter, dvs. x>60, betalar man 40 öre per minut. Pratar man t.ex. 65 minuter betalar man ytterligare 5*0,40 = 2kr. Kostnaden blir därför (x-60)0.4kr Adderar vi engångskostnaden och samtalskostnaden får vi ett uttryck som beskriver totala kostnaden: (x-60)0,4+299kr Genom att sätta in Genom att sätta in 80 i detta uttryck kan vi bestämma kostnaden

Kostnaden blir 307kr.

Utöver engångs- och samtalskostnad tillkommer alltså surfkostnaden på 40 kr/GB. Om man surfar för y GB blir surkostnaden y*40 eller 40y. Vi lägger till detta i båda uttrycken vi tog fram tidigare: x≤ 60:& 299+40y kr x>60:& (x-60)0,4+299+40y kr Låt oss sätta in x=100 och y=2 i det andra uttrycket.

Kostnaden blir 395kr.

Välj det alternativ som gäller. Motivera ditt val.

Värdet av $2 x + 3$ är _____________________ värdet av $x + 2$

Nationella provet VT12 1a/1b/1c

Vi försöker hitta något x-värde som motsäger respektive alternativ. Det alternativ som inte går att motsäga kommer vara det korrekta. Vi undersöker ett alternativ i taget.

alltid mindre än

Om vi kan hitta något x-värde som gör att 2x+3 inte är mindre än x+2 har vi visat att alternativet alltid mindre än är fel. Vi kan t.ex. prova vad som händer om vi sätter in x=1 i uttrycken. 2* 1+3=5 och 1+2=3 När x=1 är 2x+3 alltså större än x+2, eftersom 5 är större än 3. Det finns därmed minst ett exempel på när 2x+3 inte är mindre än x+2 och vi kan konstatera att alternativet alltid mindre än är fel.

alltid lika med

Vi kan tänka på liknande sätt: om vi kan visa att 2x+3 och x+2 är olika för något x-värde kan vi dra slutsatsen att alternativet alltid lika med är fel. Vi behöver faktiskt inte göra någon ytterligare beräkning här utan kan använda oss av att uttryckens värde är olika när x=1 (5 respektive 3). Det visar på att uttrycken inte alltid är lika med varandra.

alltid större än

För x=1 har vi sett att 2x+3 faktiskt är större än x+2, men vad händer om vi sätter in ett negativt tal istället? Vi provar med x=-1. 2*( -1)+3=1 och ( -1)+2=1 Båda uttryck är lika med 1 då x=-1, vilket visar att det finns minst ett exempel där 2x+3 inte är större än x+2. Alternativet alltid större än är alltså fel.

för vissa x-värden större än

Vi har sett att uttrycket 2x+3 är större än x+2 för x=1 och att det är lika med x+2 för x=-1. Det betyder att 2x+3 är större än x+2 för vissa x-värden. Alternativet för vissa x-värden större än är alltså rätt.

Samara säger till Jason att han ska tänka på ett tal. Multiplicera det med $24$ och addera $8 .$ Dela sedan det med $4$ och dra bort produkten av talet och $6 .$

Vilket tal får Jason om han tänkte på talet

2 ?

Vilket tal får Jason om han tänkte på talet

π ?

Vad får du för resultat oavsett vilket tal du tänkte på? Formulera en slutsats och bevisa den.

Vi utgår från 2 och följer Samaras instruktioner.

Jason får talet 2.

Vi gör på samma sätt, men börjar nu med π.

Man får återigen 2.

Det verkar som att man får 2 oavsett vilket tal man börjar med. För att visa att det alltid gäller kan vi börja med x. Detta kan vara vilket tal som helst. Nu skapar vi ett uttryck med x för vad man får när man följer Samaras instruktioner.

Detta uttryck motsvarar alltså de beräkningar som man utför på talet x med Samaras instruktioner. Nu förenklar vi uttrycket och ser vad vi får.

Oavsett värdet på x får man alltså alltid 2.

Vilket tal ska stå i den tomma rutan i tabellen?

$x$	$x y$	$x y^{2}$
$2$	$- 10$

Från den andra kolumnen tabellen vet vi att xy=- 10 och även att x=2. Med denna information kan vi lösa ut y.

När vi vet både x och y kan vi beräkna xy^2.

I den tomma cellen ska det alltså stå 50.

Andreas och Lisa fick båda löneförhöjning med lika många kronor vardera. Andreas höjning var $5 %$ och Lisas var $2, 5 %$ av deras respektive löner. Undersök med beräkningar och resonemang vilken relation mellan Lisas och Andreas lön före löneförhöjningen måste ha varit. Låt Andreas lön före löneförhöjningen vara $A$ och Lisas lön före löneförhöjningen vara $L .$

Nationella provet VT02 MaA

Andreas och Lisa har fått lika mycket pengar i löneförhöjning. Vi kan kalla denna summa för x. Vi väljer även att kalla Andreas och Lisas löner innan löneförhöjningen för A respektive L. Med dessa beteckningar och informationen i uppgiften kan vi säga att

5 % av lön A är lika med xkr
2,5 % av lön L är lika med xkr.

Dessa punkter kan vi uttrycka som två likheter. Procentsatserna skrivs då om på decimalform och multipliceras med A respektive L. 0,05* A&=x 0,025* L&=x Eftersom båda ekvationernas vänsterled är lika med x kan vi sätta vänsterleden lika med varandra: 0,05* A=0,025* L. Vi förenklar uttrycket genom att dividera båda led med 0,025.

Nu ser vi att Lisas lön måste vara dubbelt (2 gånger) så stor som Andreas lön för att löneförhöjningen i kronor ska vara lika stor. Detta är t.ex. fallet om Andreas lön är 20 000kr och Lisas 40 000kr.

Algebraiska uttryck

Förkunskaper

Variabel

Algebraiskt uttryck

Utvärdera ett uttryck

Vad är uttryckets värde?

Ledtråd

Lösning

Öva på att utvärdera algebraiska uttryck

Förenkling av algebraiska uttryck

Förenkla termer av samma slag

Förenkla algebraiskt uttryck