body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Te

Talet e Visa detaljer

Innehållsförteckning

Kapitel

5.

Talet e

Lektionen fokuserar på talet e, en matematisk konstant som är basen för den naturliga logaritmen. Den förklarar begreppet och dess användning inom matematiken, inklusive hur det relaterar till eulers tal och naturliga logaritmer. Sidan ger en översikt över olika regler och lagar som gäller för logaritmer, och hur man kan använda dem i beräkningar. Det finns exempel som illustrerar hur man kan använda talet e i olika matematiska sammanhang, som exponentialfunktioner och derivata. Detta är en lektionen som kan vara användbar för studenter som studerar avancerad matematik och vill förstå detta viktiga koncept.

Inställningar & verktyg för lektion

	10 sidor teori
	19 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Talet e

Sida av 10

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Talet e
Naturliga logaritmen
Grundläggande samband för naturliga logaritmen
Potensregel för naturliga logaritmen
Regler för naturliga logaritmen

Förkunskaper

Konstant
Irrationell
Logaritm
Tiologaritm

{"codehash":"425d79edd76c8c465b5c85237aecb06c"}

{"codehash":"d62fc27bd090ab94526a1f938ebb96a6"}

Uppgift

Figurerna är kongruenta. Namnge de motsvarande vinklarna och de motsvarande sidorna.

Mljsx Solution 226490 1 11 sv.svg

Facit

Motsvarande sidor: $\overline{A B} ≅ \overline{E F},$ $\overline{B C} ≅ \overline{F G},$ $\overline{C D} ≅ \overline{G H},$ $\overline{D A} ≅ \overline{H E}$
Motsvarande vinklar: $∠ A ≅ ∠ E,$ $∠ B ≅ ∠ F,$ $∠ C ≅ ∠ G,$ $∠ D ≅ ∠ H$

Ledtråd

Använd symbolen $≅$ för att namnge de motsvarande sidorna och motsvarande vinklarna.

Lösning

Vi har fått två kongruenta trapetser.

Två kongruenta figurer har samma storlek och samma form. Dessutom är deras motsvarande vinklar kongruenta.

Vi kan namnge de motsvarande vinklarna och de motsvarande sidorna i de givna trapetserna genom att använda symbolen

≅,

vilket betyder "är kongruent med". Låt oss börja med de motsvarande sidorna!

\overline{A B} ≅ \overline{E F} \overline{B C} ≅ \overline{F G} \overline{C D} ≅ \overline{G H} \overline{D A} ≅ \overline{H E}

Slutligen kommer vi att namnge de motsvarande vinklarna.

∠ A ≅ ∠ E ∠ B ≅ ∠ F ∠ C ≅ ∠ G ∠ D ≅ ∠ H

Extra

Skriva ett kongruensuttryck

Precis som med polygoner är ordningen i vilken hörnen skrivs kritisk när det gäller att skriva ett kongruensuttryck för en triangel. Att namnge dem i fel ordning leder till felaktiga slutsatser. Tänk till exempel på följande kongruenta trianglar.

Även om trianglarna är kongruenta är kongruensuttrycket

△ A B C ≅ △ M Q T

felaktigt. Varför? Eftersom det skulle leda till följande slutsatser om sidorna och vinklarna.

Var alltid noga med att lista de motsvarande hörnen i rätt ordning. Dessutom är ett annat viktigt koncept att tänka på att påståendet som hjälper till att avgöra om två trianglar är kongruenta också gäller för polygoner. Faktum är att påståendet är identiskt, förutom att "trianglar" har ersatts av "polygoner".

Kongruenta polygoner
Två polygoner är kongruenta om och endast om deras motsvarande sidor och vinklar är kongruenta.

Svarsalternativ

Digitala verktyg

Logaritmer på räknare

Hur man beräknar logaritmer med räknaren beror på vilken bas logaritmen har.

Naturliga logaritmen

För att utföra beräkningar med den naturliga logaritmen, $ln,$ trycker man på $LN -$ knappen. Då får man en vänsterparentes. Sedan skriver man in argumentet och avslutar med en högerparentes.

Bilden kunde ej laddas

{"codehash":"540f39ae051117bad2799000df1d1302"}

Exempel

Lös ekvationer med $e$ och $ln$

Lös följande ekvationer.

a

6 e^{x} = 12

b

\frac{ln ( x )}{5} = 13

Ledtråd

a Ta

ln

på båda sidor av den ekvationen.

b Använd olika kända logaritmlagar för att lösa den ekvationen.

Lösning

a Vi börjar med den första ekvationen, som är en exponentialekvation med basen

e

. Först delar vi båda led med

6

för att få

e^{x}

ensamt och sedan logaritmerar vi båda sidor med den naturliga logaritmen. Då kan vi använda att

ln

och

e

upphöjt till tar ut varandra.

6 e^{x} = 12

$VL / 6 = HL / 6$

e^{x} = 2

$ln (VL) = ln (HL)$

ln (e^{x}) = ln (2)

$ln (e^{a}) = a$

x = ln (2)

Lösningen på den första ekvationen är

x = ln (2) .

Lägg märke till att vi löste den på motsvarande sätt som när man använder tiologaritmer för att lösa exponentialekvationer med basen

10 .

b I den andra ekvationen löser vi ut

ln (x)

och sätter sedan båda led som exponenter på basen

e .

Då kan vi lösa ut

x

på liknande sätt som i förra ekvationen.

\frac{ln ( x )}{5} = 13

$VL \cdot 5 = HL \cdot 5$

ln (x) = 65

$e^{VL} = e^{HL}$

e^{l n (x)} = e^{65}

$e^{l n (a)} = a$

x = e^{65}

Lösningen på logaritmekvationen är

x = e^{65} .

Denna lösningsmetod motsvarar sättet man löser logaritmekvationer med tiologaritmer.

{"codehash":"334589e126c2a59c63c9b01f8b2110c5"}

{"codehash":"2cc95e59d0a0defd790f394d1c3fcde4"}

Exempel

Lös ekvationer med hjälp av logaritmlagar

Lös följande ekvationer med hjälp av logaritmlagar.

a

ln (x) + ln (x + 3) = ln (10)

b

2 ln (x) - ln (5) = ln (20)

Ledtråd

a Använd regeln för att addera naturliga logaritmer.

b Använd potensregeln och regeln för differensen av logaritmer.

Lösning

a Börja med att analysera den första ekvationen.

ln (x) + ln (x + 3) = ln (10)

Först, använd regeln för att addera naturliga logaritmer. Nästa steg är att sätta logaritmernas argument lika med varandra.

ln (x) + ln (x + 3) = ln (10)

$ln (a) + ln (b) = ln (a b)$

ln (x (x + 3)) = ln (10)

$e^{VL} = e^{HL}$

e^{l n (x (x + 3))} = e^{l n (10)}

$e^{l n (a)} = a$

x (x + 3) = 10

Multiplicera in $x$

x^{2} + 3 x = 10

$VL - 10 = HL - 10$

x^{2} + 3 x - 10 = 0

Avslutningsvis, lös andragradsekvationen.

x^{2} + 3 x - 10 = 0

▼

Lös ut

x

Använd $p q$ -formeln: $p = 3, q = - 10$

x = - \frac{3}{2} \pm (\frac{3}{2})^{2} - (- 10)

Addera termer

x = - \frac{3}{2} \pm (\frac{3}{2})^{2} + 10

Beräkna potens

x = - \frac{3}{2} \pm \frac{9}{4} + 10

$a = \frac{4 \cdot a}{4}$

x = - \frac{3}{2} \pm \frac{9}{4} + \frac{4 0}{4}

Addera bråk

x = - \frac{3}{2} \pm \frac{4 9}{4}

Beräkna rot

x = - \frac{3}{2} \pm \frac{7}{2}

Lägg ihop bråk

x_{1} = \frac{4}{2} x_{2} = - \frac{1 0}{2}

Beräkna kvot

x_{1} = 2 x_{2} = - 5

Lösningarna till ekvationen är

2

och

- 5 .

b Analysera den andra givna ekvationen.

2 ln (x) - ln (5) = ln (20)

Börja med att använda potensregeln och regeln för differensen av logaritmer.

2 ln (x) - ln (5) = ln (20)

$b \cdot ln (a) = ln (a^{b})$

ln (x^{2}) - ln (5) = ln (20)

$ln (a) - ln (b) = ln (\frac{a}{b})$

ln (\frac{x ^{2}}{5}) = ln (20)

$e^{VL} = e^{HL}$

e^{l n (\frac{x ^{2}}{5})} = e^{l n (20)}

$e^{l n (a)} = a$

\frac{x ^{2}}{5} = 20

$VL \cdot 5 = HL \cdot 5$

x^{2} = 100

$VL = HL$

x = \pm 10

Därför är lösningarna till ekvationen

10

och

- 10 .

Talet e

Talet e

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.