body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

2a

Kurs 2a Visa detaljer

4. Räkna med potenser och rotuttryck

Kapitel

4.

Räkna med potenser och rotuttryck

Innehållet handlar om att räkna med potenser och rotuttryck. Den förklarar olika metoder och tekniker för att lösa problem som involverar rötter. Innehållet är utformat för att hjälpa studenter att förstå och tillämpa dessa koncept i sina studier och vardagliga matematiska problem. Det finns också verktyg och lektionener som hjälper till att förenkla processen att räkna med potenser. Sidan är användbar för både nybörjare och erfarna matematiker som vill förbättra sina färdigheter inom detta område.

Inställningar & verktyg för lektion

	5 sidor teori
	12 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Räkna med potenser och rotuttryck

Sida av 5

Regel

Multiplikation och division med rotuttryck

Om rotuttryck multipliceras eller divideras, t.ex. $2 \cdot 8,$ finns det räkneregler som kan förenkla beräkningarna. Det finns till exempel inget enkelt sätt att beräkna $2$ eller $8$ separat men man kan skriva om $2 \cdot 8$ som $16,$ vilket är lika med $4 .$ Generellt gäller följande likheter för multiplikationer och divisioner av rotuttryck.

Regel

n a \cdot n b = n a \cdot b

En produkt av två rotuttryck, t.ex. $42 \cdot 43,$ kan skrivas som ett enda rotuttryck: $4 2 \cdot 3 .$ Man kan motivera varför genom att skriva $42 \cdot 43$ som en multiplikation av två potenser och sedan använda potenslagarna.

42 \cdot 43

$n a = a^{1 / n}$

2^{1 / 4} \cdot 3^{1 / 4}

$a^{c} \cdot b^{c} = (a \cdot b)^{c}$

(2 \cdot 3)^{1 / 4}

$a^{1 / n} = n a$

4 2 \cdot 3

Regeln gäller för icke-negativa och reella

a

och

b .

Är rotuttrycken kvadratrötter fungerar regeln på samma sätt. Man skriver då

a \cdot b,

inte

2 a \cdot b .

Regel

\frac{n a}{n b} = n \frac{a}{b}

En kvot av två rotuttryck, t.ex. $\frac{4 2}{4 3},$ kan skrivas som ett enda rotuttryck: $4 \frac{2}{3} .$ Man kan motivera varför genom att skriva om rötterna till potenser, och därefter använda potenslagarna.

\frac{4 2}{4 3}

$n a = a^{1 / n}$

\frac{2 ^{1 / 4}}{3 ^{1 / 4}}

$\frac{a ^{c}}{b ^{c}} = (\frac{a}{b})^{c}$

(\frac{2}{3})^{1 / 4}

$a^{1 / n} = n a$

4 \frac{2}{3}

Regeln gäller om

a

och

b

är reella, där

a

är icke-negativt och

b

är positivt. Om rotuttrycken är kvadratrötter fungerar regeln på samma sätt. Dock brukar man då skriva

\frac{a}{b}

och inte

2 \frac{a}{b} .

Exempel

Förenkla rotuttrycket

Beräkna utan räknare:

\frac{6 \cdot 3}{2} .

Ledtråd

Kom ihåg hur man multiplicerar och dividerar med rotuttryck.

Lösning

Vi kan inte beräkna någon av rötterna utan räknare, men genom att använda räknereglerna för multiplikation och division av rotuttryck kan vi skriva om uttrycket och bestämma dess värde.

\frac{6 \cdot 3}{2}

$a \cdot b = a \cdot b$

\frac{6 \cdot 3}{2}

Multiplicera faktorer

\frac{1 8}{2}

$\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$

\frac{1 8}{2}

Beräkna kvot

9

Beräkna rot

3

Uttrycket kan alltså förenklas till

3 .

Man kan också beräkna det genom att skriva

6

som

2 \cdot 3 .

\frac{6 \cdot 3}{2}

Skriv $6$ som $2 \cdot 3$

\frac{2 \cdot 3 \cdot 3}{2}

$a \cdot b = a \cdot b$

\frac{2 \cdot 3 \cdot 3}{2}

Stryk faktorer

\frac{2 \cdot 3 \cdot 3}{2}

Förenkla kvot

3 \cdot 3

$a \cdot a = a$

3

Digitala verktyg

Potenser på räknare

Extra

Exponenter på bråkform

Om man behöver skriva en potens med ett bråk i exponenten är det viktigt att komma ihåg att sätta parenteser runt bråket.

Om man glömmer detta kommer räknaren att utföra beräkningarna enligt prioriteringsreglerna, vilket innebär att endast siffran direkt höger om $^{\land}$ hamnar i exponenten.

Ett alternativt sätt är att istället använda räknarens verktyg för att skriva rotuttryck.

Övning

Förenkling av rotuttryck

Förenkla följande rotuttryck.

Slumpmässiga uttryck som involverar potenser

Räkna med potenser och rotuttryck

Övningar

Beräkna

9 + 16 .

Vi börjar med att beräkna det som står under rottecknet. Därefter drar vi kvadratroten ur.

Uttrycket beräknas alltså till 5.

Bestäm värdet av följande uttryck utan räknare.

\frac{4 8 ^{1 / 4}}{3 ^{1 / 4}} + 27 0^{1 / 3} \cdot 0 . 1^{1 / 3}

Vi börjar med att skriva om potenserna som rotuttryck enligt sambandet a^(1/n)=sqrt(a). Det ger oss uttrycket sqrt(48)/sqrt(3)+sqrt(270)*sqrt(0.1). Nu beräknar vi divisionen och multiplikationen med reglerna för multiplikation och division med rotuttryck så att vi endast har två rotuttryck kvar.

Förenkla följande uttryck så långt som möjligt.

(9 x)^{1 / 2} \cdot \frac{2 x}{2} - 3 x

Vi kan börja med att skriva om (9x)^(.1 /2.) som ett rotuttryck genom att använda sambandet a^(.1 /2.)=sqrt(a). Då får vi uttrycket sqrt(9x)*sqrt(2x)/sqrt(2)-3x. Vi kan förenkla första faktorn ytterligare genom att använda regeln för multiplikation av rotuttryck. Det betyder att vi kan skriva om första faktorn som en produkt av två rotuttryck.

Nu förenklar vi bråket med regeln för division av rotuttryck dvs. skriver om den andra faktorn som ett enda rotuttryck. Uttrycket förenklas alltså till 0.

Räkna med potenser och rotuttryck

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Laddar innehåll