4. Räkna med potenser och rotuttryck
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel
4.
Räkna med potenser och rotuttryck
Innehållet handlar om att räkna med potenser och rotuttryck. Den förklarar olika metoder och tekniker för att lösa problem som involverar rötter. Innehållet är utformat för att hjälpa studenter att förstå och tillämpa dessa koncept i sina studier och vardagliga matematiska problem. Det finns också verktyg och lektionener som hjälper till att förenkla processen att räkna med potenser. Sidan är användbar för både nybörjare och erfarna matematiker som vill förbättra sina färdigheter inom detta område.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 5 sidor teori |
| | 12 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Räkna med potenser och rotuttryck
Sida av 5
Regel
Multiplikation och division med rotuttryck
Om rotuttryck multipliceras eller divideras, t.ex. 2⋅8, finns det räkneregler som kan förenkla beräkningarna. Det finns till exempel inget enkelt sätt att beräkna 2 eller 8 separat men man kan skriva om 2⋅8 som 16, vilket är lika med 4. Generellt gäller följande likheter för multiplikationer och divisioner av rotuttryck.
Regel
na⋅nb=na⋅bEn produkt av två rotuttryck, t.ex. 42⋅43, kan skrivas som ett enda rotuttryck: 42⋅3. Man kan motivera varför genom att skriva 42⋅43 som en multiplikation av två potenser och sedan använda potenslagarna.
Regeln gäller för icke-negativa och reella a och b. Är rotuttrycken kvadratrötter fungerar regeln på samma sätt. Man skriver då a⋅b, inte 2a⋅b.Regel
nbna=nbaEn kvot av två rotuttryck, t.ex. 4342, kan skrivas som ett enda rotuttryck: 432. Man kan motivera varför genom att skriva om rötterna till potenser, och därefter använda potenslagarna.
Regeln gäller om a och b är reella, där a är icke-negativt och b är positivt. Om rotuttrycken är kvadratrötter fungerar regeln på samma sätt. Dock brukar man då skriva ba och inte 2ba.Exempel
Förenkla rotuttrycket
Beräkna utan räknare:
26⋅3.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["3"]}}
Ledtråd
Kom ihåg hur man multiplicerar och dividerar med rotuttryck.
Lösning
Vi kan inte beräkna någon av rötterna utan räknare, men genom att använda räknereglerna för multiplikation och division av rotuttryck kan vi skriva om uttrycket och bestämma dess värde.
Uttrycket kan alltså förenklas till 3. Man kan också beräkna det genom att skriva 6 som 2⋅3.
26⋅3
MultRoot
a⋅b=a⋅b
26⋅3
Multiply
Multiplicera faktorer
218
DivSqrt
ba=ba
218
CalcQuot
Beräkna kvot
9
CalcRoot
Beräkna rot
3
26⋅3
Rewrite
Skriv 6 som 2⋅3
22⋅3⋅3
SqrtProd
a⋅b=a⋅b
22⋅3⋅3
CrossCommonFac
Stryk faktorer
22⋅3⋅3
SimpQuot
Förenkla kvot
3⋅3
MultSqrt
a⋅a=a
3
Digitala verktyg
Potenser på räknare
Extra
Exponenter på bråkformOm man behöver skriva en potens med ett bråk i exponenten är det viktigt att komma ihåg att sätta parenteser runt bråket.
Om man glömmer detta kommer räknaren att utföra beräkningarna enligt prioriteringsreglerna, vilket innebär att endast siffran direkt höger om ∧ hamnar i exponenten.
Ett alternativt sätt är att istället använda räknarens verktyg för att skriva rotuttryck.
Övning
Förenkling av rotuttryck
Förenkla följande rotuttryck.
Räkna med potenser och rotuttryck
Övningar
Förenkla följande uttryck så långt som möjligt.
(9a)21⋅2a2⋅(4a)21
Nationella provet VT15 2a
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["a"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["12a^3"]}}
x61⋅x31x65(x31+1)(x31−1)
Nationella provet VT15 2a
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["x-x^{\\dfrac{1}{3}}"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att skriva om potenserna enligt sambandet a^(1/2)=sqrt(a). Då får vi uttrycket sqrt(9a)*2a^2*sqrt(4a). Nu förenklar vi rotuttrycken med regeln för multiplikation med rotuttryck.
Uttrycket förenklas till 12a^3.
Vi börjar med att förenkla parenteserna i täljaren. Eftersom det enda som skiljer dem åt är tecknet i mitten kan vi använda konjugatregeln: (a+b)(a-b)=a^2-b^2. Det ger oss uttrycket x^(56)((x^(13))^2-1^2)/x^(16)* x^(13). Vi fortsätter förenkla med hjälp av potenslagarna.
Nu multiplicerar vi in x^(56) i parentesen. Vi delar nu upp bråket i två bråk för att kunna förenkla vidare. Uttrycket förenklas alltså till x-x^(13).
security
report
code
Beräkna värdet av uttrycket utan att använda din räknare.
3+2⋅9+9
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["3"]}}
814+25−161+27⋅311
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{4}{3}"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att förenkla uttrycket 9 + 9 och skriver sedan om de två inre rotuttrycken som ett.
Uttryckets värde är alltså 3.
Det yttersta rottecknet sparas till sist. Vi börjar med att förenkla varje bråk för sig så långt som möjligt tills alla rotuttryck utom det yttersta är borta.
Nu vill vi addera dessa bråk till ett enda. Det gör vi genom att först förlänga 13 med 3 så att alla bråk får samma nämnare. Slutligen kan vi dra roten ur täljare och nämnare var för sig.
Uttryckets värde är 43.
security
report
code
Förenkla produkten
2⋅6⋅5⋅3
så långt det går. Svara exakt och med minsta möjliga tal under rottecknet.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["6\\cdot\\sqrt{5}"]}}
security
report
code
security
report
code
Utan räknare kan vi inte räkna ut de individuella rötterna. Men om vi använder sqrt(a)* sqrt(b)=sqrt(a* b) kan vi sätta talen under ett och samma rottecken.
Svaret sqrt(180) är exakt men enligt uppgiften ska vi svara med så litet rotuttryck som möjligt. Delar vi upp faktorerna under rottecknet ytterligare kan vi kanske bilda perfekta kvadrater och därefter använda regeln baklänges:
sqrt(a* b)=sqrt(a)* sqrt(b),
och därmed minimera vårt rotuttryck.
Vi kan alltså skriva om sqrt(2)* sqrt(6)* sqrt(5) * sqrt(3) som 6sqrt(5).
security
report
code
Räkna med potenser och rotuttryck
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll