4. Räkna med potenser och rotuttryck
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 1
4.
Räkna med potenser och rotuttryck
Innehållet handlar om att räkna med potenser och rotuttryck. Den förklarar olika metoder och tekniker för att lösa problem som involverar rötter. Innehållet är utformat för att hjälpa studenter att förstå och tillämpa dessa koncept i sina studier och vardagliga matematiska problem. Det finns också verktyg och lektionener som hjälper till att förenkla processen att räkna med potenser. Sidan är användbar för både nybörjare och erfarna matematiker som vill förbättra sina färdigheter inom detta område.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 3 sidor teori |
| | 12 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Räkna med potenser och rotuttryck
Sida av 3
Regel
Multiplikation och division med rotuttryck
Om rotuttryck multipliceras eller divideras, t.ex. 2⋅8, finns det räkneregler som kan förenkla beräkningarna. Det finns till exempel inget enkelt sätt att beräkna 2 eller 8 separat men man kan skriva om 2⋅8 som 16, vilket är lika med 4. Generellt gäller följande likheter för multiplikationer och divisioner av rotuttryck.
Regel
na⋅nb=na⋅bEn produkt av två rotuttryck, t.ex. 42⋅43, kan skrivas som ett enda rotuttryck: 42⋅3. Man kan motivera varför genom att skriva 42⋅43 som en multiplikation av två potenser och sedan använda potenslagarna.
Regeln gäller för icke-negativa och reella a och b. Är rotuttrycken kvadratrötter fungerar regeln på samma sätt. Man skriver då a⋅b, inte 2a⋅b.Regel
nbna=nbaEn kvot av två rotuttryck, t.ex. 4342, kan skrivas som ett enda rotuttryck: 432. Man kan motivera varför genom att skriva om rötterna till potenser, och därefter använda potenslagarna.
Regeln gäller om a och b är reella, där a är icke-negativt och b är positivt. Om rotuttrycken är kvadratrötter fungerar regeln på samma sätt. Dock brukar man då skriva ba och inte 2ba.I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Kvadratrot
- Rotuttryck
- Multiplikation och division med rotuttryck
Förkunskaper
Teori
Kvadratrot
Kvadratroten ur ett tal a, vilket skrivs a, är det positiva tal som när det multipliceras med sig självt blir a. Exempelvis är 16 lika med 4 eftersom 4⋅4=16 och på samma sätt är 25 lika med 5 eftersom 5⋅5=25. Man kan också se kvadratroten som motsatsen till att kvadrera ett tal.
a⋅a=aeller(a)2=a
Drar man kvadratroten ur ett positivt tal a som har kvadrerats tar de två operationerna ut varandra och man får alltså tillbaka a.
- Om man beräknar kvadratroten ur 9 kommer detta värde alltid att vara det positiva värdet 3, trots att även (−3)2 är lika med 9. Kvadratroten är definierad på det viset så att det inte finns någon tvetydighet kring vilket värde man menar.
- Det finns inget reellt tal som när det kvadreras ger ett negativt tal eftersom (−)⋅(−)=(+). Detta innebär att det inte heller kan finns något reellt värde som är kvadratroten ur ett negativt tal. Exempelvis är −16 odefinierat.
Teori
Rotuttryck
Ett rotuttryck måste inte vara en kvadratrot utan roten kan även vara högre. I rotuttrycket 327, vilket utläses kubikroten ur 27 eller tredje roten ur 27,
så anger 3:an typen av rot. Det är alltså det tal som multiplicerat med sig självt 3 gånger blir 27, alltså 3. Om typen av rot inte anges i ett rotuttryck är det underförstått att man menar kvadratroten.
Generellt är na det tal som multiplicerat med sig själv n gånger är lika med a.
n st.na⋅na⋅⋯⋅na=a
Teori
Rotuttryck på räknare
För att beräkna kvadratroten ur ett tal på räknaren skriver man först symbolen , vilken kan skrivas genom att trycka på 2ND och sedan x2. Då skrivs startparentesen ut automatiskt. Därefter skriver man det tal man vill dra roten ur följt av slutparentes.
På motsvarande sätt kan man beräkna tredje roten ur ett tal genom att trycka på knappen MATH
och välja 3 (
följt av talet och slutparentes.
Extra
Andra typer av rotuttryckFör att skriva andra typer av rötter börjar man med att skriva in vilken typ av rot man vill beräkna. Om man vill beräkna fjärde roten ur skriver man alltså en fyra.
Därefter trycker man på MATH
och väljer x ,
där x:et står för en godtycklig rot.
Slutligen skriver man talet man vill dra den önskade roten ur inom parenteser och trycker ENTER.
Exempel
Beräkna uttryck med rotuttryck
Beräkna uttrycket.
36⋅36⋅36+9−424
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["7"]}}
Ledtråd
Kom ihåg hur man hittar värdena på rotuttryck.
Lösning
För att lösa uttrycket börjar vi med 36⋅36⋅36, vilket förenklas till 6 eftersom tre lika faktorer i en kubrot eliminerar roten.
3 st.36⋅36⋅36=6
Därefter beräknar vi 9.
Slutligen förenklar vi 424 till 2. 424=2
När vi adderar och subtraherar dessa värden blir det totala resultatet 36⋅36⋅366+9↓+3−424−2=7.
Teori
Multiplikation och division med rotuttryck
Om rotuttryck innehåller produkter eller kvoter finns det räkneregler för att skriva om dem, vilket kan göra dem lättare att beräkna eller förenkla. Det blir till exempel enklare att beräkna 900 genom att skriva om 900 som 9⋅100.
9⋅100=9⋅100=3⋅10=30
Generellt gäller följande likheter för multiplikation och division av rotuttryck. na⋅b=na⋅nb
nba=nbna
Exempel
Förenkla rotuttrycket
Beräkna utan räknare:
26⋅3.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["3"]}}
Ledtråd
Kom ihåg hur man multiplicerar och dividerar med rotuttryck.
Lösning
Vi kan inte beräkna någon av rötterna utan räknare, men genom att använda räknereglerna för multiplikation och division av rotuttryck kan vi skriva om uttrycket och bestämma dess värde.
Uttrycket kan alltså förenklas till 3. Man kan också beräkna det genom att skriva 6 som 2⋅3.
26⋅3
MultRoot
a⋅b=a⋅b
26⋅3
Multiply
Multiplicera faktorer
218
DivSqrt
ba=ba
218
CalcQuot
Beräkna kvot
9
CalcRoot
Beräkna rot
3
26⋅3
Rewrite
Skriv 6 som 2⋅3
22⋅3⋅3
SqrtProd
a⋅b=a⋅b
22⋅3⋅3
CrossCommonFac
Stryk faktorer
22⋅3⋅3
SimpQuot
Förenkla kvot
3⋅3
MultSqrt
a⋅a=a
3
Övning
Utvärdera rötter
I följande applet är radikanderna perfekta kvadrater eller perfekta kuber. Med detta i åtanke, beräkna de exakta kvadratrötterna och kubrötterna.
Digitala verktyg
Potenser på räknare
Extra
Exponenter på bråkformOm man behöver skriva en potens med ett bråk i exponenten är det viktigt att komma ihåg att sätta parenteser runt bråket.
Om man glömmer detta kommer räknaren att utföra beräkningarna enligt prioriteringsreglerna, vilket innebär att endast siffran direkt höger om ∧ hamnar i exponenten.
Ett alternativt sätt är att istället använda räknarens verktyg för att skriva rotuttryck.
Räkna med potenser och rotuttryck
Övningar
Bestäm utan räknare och kontrollera svaret med räknare.
144
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["12"]}}
0,25
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["0,5"]}}
94
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{2}{3}"]}}
security
report
code
security
report
code
Eftersom 12*12 är lika med 144 är sqrt(144)=12. Vi kontrollerar svaret med räknaren genom att trycka på Sqrt (2nd+x^2) och sedan det tal vi vill dra roten ur.
Eftersom 0,5*0,5 är lika med 0,25 är sqrt(0,25)=0,5. Vi kontrollerar med hjälp av räknaren på samma sätt som i föregående deluppgift.
Att beräkna roten ur ett bråk är samma sak som att dra roten ur täljare och nämnare var för sig.
Svaret blir alltså 23. När vi nu kontrollerar svaret med räknaren måste vi sätta parenteser runt bråket.
Notera att 23 är detsamma som 0,66666..., så de två svaren är lika.
security
report
code
Beräkna uttrycket med räknare och avrunda till tre decimaler.
18
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["4.243"]}}
575
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2.371"]}}
31057
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["10.187"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att trycka på 2nd + x^2 för att skriva rottecknet tillsammans med början på en parentes. Vi skriver sedan 18, avslutar parentesen och trycker på ENTER.
Avrundat till tre decimaler blir det 4,243.
Det finns ingen speciell knapp för femte roten ur på räknaren, så vi måste sqrt(). För att använda det skriver man först in den rot man vill dra ur något, i det här fallet 5, trycker sedan på MATH och väljer sqrt(). Sedan skriver man in det man vill dra femte roten ur, alltså 18.
Femte roten ur 75 blir alltså ungefär 2,371.
I samma meny som vi hittade sqrt() finns det ett för tredje roten ur. Vi trycker alltså på MATH, väljer sqrt() och skriver sedan in 1057.
Avrundat till tre decimaler blir det 10,187.
security
report
code
Beräkna följande tal utan räknare.
2⋅8
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["4"]}}
2⋅3⋅6
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["6"]}}
4.9⋅10
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["7"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi använder regeln för multiplikation av rotuttryck och förenklar.
Vi använder regeln för multiplikation av rotuttryck även här.
Vi gör på samma sätt igen.
security
report
code
Beräkna följande tal utan räknare. Svara i decimalform.
375
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["5"]}}
10810
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["9"]}}
169
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["0.75"]}}
425+381
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["3"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi använder regeln för division med rotuttryck. Det betyder att vi kan sätta hela kvoten under samma rottecken.
Vi använder regeln division med rotuttryck även här.
Vi använder samma regel ytterligare en gång, men åt andra hållet, dvs. vi beräknar roten ur täljare och nämnare var för sig.
Vi förenklar termerna var för sig med samma regel som tidigare, och sedan adderar vi dem.
security
report
code
Beräkna följande uttryck utan räknare.
33⋅39
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["3"]}}
42⋅48
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["2"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi använder regeln för multiplikation av rotuttryck och förenklar. Genom att multiplicera ihop 9 och 3 kan vi skriva om det till ett enda rotuttryck.
Vi använder regeln för multiplikation av rotuttryck igen.
security
report
code
Beräkna följande tal utan räknare.
210⋅20
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["10"]}}
11⋅77177⋅7
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["7"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att skriva om täljaren som ett enda rotuttryck med regeln för multiplikation med rotuttryck. Sedan beräknar vi kvoten genom att använda regeln för division med rotuttryck.
Vi kan börja med att konstatera att sqrt(1) måste bli 1, eftersom det är det enda tal som kan multipliceras med sig själv 77 gånger och fortfarande vara 1. Vi struntar därför i detta rotuttryck: multiplikation med 1 tillför ju ändå ingenting. Vår kvot kan alltså förenklat skrivas sqrt(77)*sqrt(7)/sqrt(11). Nu kan vi gå vidare genom att dela upp sqrt(77) som sqrt(11)*sqrt(7). Sedan förenklar vi.
security
report
code
Räkna med potenser och rotuttryck
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll