Radianer: Ett alternativ till grader

$v$ (grader)	$0^{\circ}$	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$	$9 0^{\circ}$	$12 0^{\circ}$	$13 5^{\circ}$	$15 0^{\circ}$	$18 0^{\circ}$
$v$ (radianer)	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$	$\frac{2 π}{3}$	$\frac{3 π}{4}$	$\frac{5 π}{6}$	$π$
$sin (v)$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$cos (v)$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{1}{2}$	$- \frac{3}{2}$	$- 1$
$tan (v)$	$0$	$\frac{1}{3}$	$1$	$3$	Odef.	$- 3$	$- 1$	$- \frac{1}{3}$	$0$

Beräkna utan räknare.

sin^{2} (\frac{π}{3}) + cos^{2} (\frac{π}{3})

cos^{2} (\frac{3 π}{4}) + sin^{2} (\frac{3 π}{4})

Vi sätter in de trigonometriska värdena för π3 och beräknar.

Uttrycket är lika med 1.

Vi gör på samma sätt som i förra deluppgiften och använder de trigonometriska värdena för 3π4.

Även här fick vi summan 1.

Beräkna den likbenta triangelns basvinklar. Svara i radianer med två decimaler.

Likbent triangel indelad i två rätvinkliga trianglar.

Eftersom triangeln är likbent kommer höjden dela triangeln i två mindre kongruenta rätvinkliga trianglar. Vi kan kalla basvinklarna i den stora triangeln för v.

Dessa vinklar kan bestämmas med triangeldefinitionen av cosinus.

Nu slår vi in uttrycket på räknaren och ser till att den är inställd på radianer. arccos(2.15/6.8) = 1.24909... ≈ 1.25 Basvinklarna är ca 1.25 radianer. Toppvinkeln får vi genom att subtrahera basvinklarna från triangelns vinkelsumma, π radianer. Vi behåller några decimaler på basvinklarna för att undvika avrundningsfel. π - 2*1.249 = 0.64359... ≈ 0.64 Basvinklarna i triangeln är alltså ca 1.25 radianer och toppvinkeln är ca 0.64 radianer.

Bestäm vinkelsumman för en sjuhörning. Svara i radianer.

För att räkna ut vinkelsumman i en sjuhörning kan vi börja med en vinkelsumma vi känner till. Vinkelsumman för en triangel är 180 ^(∘) eller π radianer. Om vi skulle lägga ihop två trianglar får vi en fyrhörning.

Eftersom varje triangel har vinkelsumman π kommer en fyrhörning ha vinkelsumman π + π = 2 π. Lägger vi till ytterligare en triangel får vi en femhörning.

Vinkelsumman i en femhörning blir alltså π +π +π = 3π. Nu ritar vi en sjuhörning och skapar trianglar i den.

Vi skapar trianglarna genom att dra linjer från en punkt ut till alla andra punkter. Det bildas 5 så en sjuhörning har vinkelsumman 5π.

Finns det någon vinkel som har samma värde i radianer och grader? Motivera!

Vi ska undersöka om det finns någon vinkel som har samma värde i grader och radianer. Om vi utgår från att en eventuell sådan vinkel har värdet v när den uttrycks i grader ska den ha värdet v * π180 när den uttrycks i radianer, eftersom 1 ^(∘) = π180 rad. Genom att likställa dessa värden får vi en ekvation att lösa ut v ur.

Den enda vinkel som har samma värde i radianer och grader är 0. Det gäller alltså att 0^(∘)=0 rad.

Skriv talen i storleksordning med det minsta först, utan att använda räknare.

tan (\frac{π}{3}) sin (\frac{π}{9}) cos (3 6^{\circ}) \frac{1}{4}

Vi undersöker värdet av ett tal i taget och kan börja med de som kan bestämmas exakt, dvs. sqrt(14) och tan( π3).

sqrt(14)

Eftersom 1 2 * 1 2 = 1 4 så är sqrt(1 4) = 1 2 . Vi kan också räkna oss fram till detta genom ett par omskrivningar: \begin{aligned} \sqrt{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{\sqrt 1}{\sqrt 4} = \dfrac 1 2. \end{aligned}

tan( π3)

π3 är en standardvinkel så vi kan hitta dess tangensvärde bland de trigonometriska värdena för standardvinklar: tan(π/3) = sqrt(3). Vi kan inte bestämma sqrt()3 med huvudräkning men vi vet att det är ett tal mellan 1 och 2, eftersom sqrt()1 = 1 och sqrt()4 = 2.

cos(36^(∘))

Vinkeln 36^(∘) är inte en standardvinkel, så vi kan inte hitta cosinusvärdet för den i tabellen. För att uppskatta värdet använder vi istället enhetscirkeln. Där vi kan jämföra värdet av cos(36^(∘)) med någon närliggande standardvinkels cosinusvärde, t.ex. cos(60^(∘))=0.5.

Det gör ingenting om vinkeln vi ritar inte är exakt 36^(∘). Vi kan ändå se att cos(36^(∘)) är större än 0.5, men mindre än 1.

sin( π9)

Vinkeln π9 rad är inte heller en standarvinkel, så vi tar hjälp av enhetscirkeln igen. Om man känner sig obekväm med att använda radianer kan man omvandla vinkeln till grader: π/9 rad = π/9*180^(∘)/π. Vi förenklar uttrycket.

Nu kan vi skissa vinkeln 20^(∘) samt en närliggande standardvinkel, t.ex. 30^(∘), i enhetscirkeln. Enligt tabellen med standardvinklar är sin(30^(∘)) = 0.5.

Vi ser att sin(20^(∘)) är mindre än 0.5.

Slutsats

Vi vet att sin( π9) är mindre än 0.5 och att sqrt(14) är precis 0.5. Dessutom har vi sett att cos(36^(∘)) är större än 0.5, men mindre än 1, och att tan( π3) är det enda talet som är större än 1. Nu gör vi till sist själva storlekssorteringen: sin(π/9) < sqrt(1/4) < cos(36^(∘)) < tan(π/3).

Radianer

Radian

Samband mellan radianer och grader

Regel

Omvandlingsregler

Regel

Regel

Exempel

Omvandla mellan grader och radianer

Trigonometriska värden för standardvinklar

sqrt(14)

tan( π3)

cos(36^(∘))

sin( π9)

Slutsats

Radianer

Rekommenderade uppgifter

	5 sidor teori
	13 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.