body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Rad

Radianer Visa detaljer

Innehållsförteckning

Klar med uppgifterna

Kapitel

2.

Radianer

Den angivna Lektionen handlar om radianer, en enhet för att mäta vinklar som är särskilt användbar inom trigonometri. I vardagen är grader den vanligaste enheten för att mäta vinklar, definierad så att 360 grader motsvarar en hel cirkel. Men radianer erbjuder vissa fördelar, särskilt i beräkningar som involverar derivata och integration. Relationen mellan radianer och grader utforskas, med exempel på konvertering mellan de två. Innehållet inkluderar också övningar och lösningar för att beräkna och konvertera vinklar i radianer och grader. Informationen presenteras klart och förståeligt, och är lämplig för dem som studerar matematik.

Inställningar & verktyg för lektion

	6 sidor teori
	13 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Radianer

Sida av 6

Till vardags är grader den absolut vanligaste enheten för att mäta vinklar. En grad är definierad så att 360 grader motsvarar ett helt varv, men varför inte välja något annat? Fördelen med grader är att 360 kan delas på många olika sätt, men det finns även enheter för att mäta vinklar som har andra fördelar. En sådan är radianer, som är speciellt användbar inom trigonometri.

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Radian
Samband mellan radianer och grader
Trigonometriska värden för standardvinklar

Förkunskaper

Koncept

Radian

Radianer är, precis som grader, en enhet för att mäta vinklar. Om båglängden till en cirkelsektor är lika lång som cirkelns radie bildas en vinkel som är 1 radian (rad), vilket motsvarar ungefär 57.3^(∘).

Animation av att bilda en båge som mäter 1 radian

Om båglängden istället är 2 radier lång blir vinkeln 2 radianer, osv. Radianbegreppet är alltså ett mått på antalet r som vinkeln spänner upp på cirkelranden.

Rotation of a point on a circle

I beräkningar skriver man sällan ut "rad" efter en vinkel angiven i radianer. Det betyder att om man t.ex. ska beräkna cosinusvärdena cos(64^(∘)) och cos(5)

måste man i första beräkningen ha räknaren inställd på grader och i den andra på radianer. Radianer kan upplevas som besvärliga, men de förenklar beräkningar vid bl.a. derivering och integrering. Dessutom är det SI-enheten för vinklar, så det är bra att vänja sig.

Regel

Samband mellan radianer och grader

Eftersom både grader och radianer är vanliga vinkelenheter vill man ibland växla mellan dem. Omvandlingsreglerna kan vara lätta att blanda ihop, men genom att komma ihåg ett övergripande samband kan man härleda dem för sig själv.

360^(∘) = 2π rad eller 180^(∘) = π rad

Från sambandet 180^(∘) = π rad kan man härleda två omvandlingsregler genom att dela båda led med antingen 180 eller π.

Regel

180 ^(∘) = π rad

Hur många radianer motsvarar 360^(∘), alltså ett helt varv? Cirkelbågen för ett helt varv är cirkelns omkrets, 2π r. Om man dividerar det med längden r, som motsvarar cirkelbågen för 1 radian, får man hur många radianer som går på ett helt varv. 2π r/r = 2π Ett varv är alltså 2π radianer. I grader är det 360^(∘), vilket ger sambandet 360^(∘) = 2π rad. Dividerar man sedan båda led med 2 får man 180^(∘) = π rad. Ett halvt varv motsvarar alltså π radianer.

Regel

1 ^(∘) = π/180 rad

Genom att dela med 180 får man ett uttryck för 1^(∘).

180 ^(∘) = π rad

.VL /180.=.HL /180.

180/180 ^(∘) = π/180 rad

Beräkna kvot

1 ^(∘) = π/180 rad

1^(∘) motsvarar alltså π/180 ≈ 0,017 radianer. Andra vinklar i grader kan omvandlas till radianer genom att multiplicera med detta värde.

Regel

1 rad = 180^(∘)/π

Genom att dela med π får man ett uttryck för 1 radian.

180 ^(∘) = π rad

.VL /π.=.HL /π.

180^(∘)/π = π/π rad

Beräkna kvot

180^(∘)/π = 1 rad

Omarrangera ekvation

1 rad = 180^(∘)/π

1 radian motsvarar alltså 180/π ≈ 57,3 grader. Andra vinklar i radianer kan omvandlas till grader genom att multiplicera med detta värde.

Exempel

Omvandla mellan grader och radianer

Omvandla 45^(∘) till radianer och π/2 rad till grader.

Svar

45^(∘) = π/4rad och π/2rad=90^(∘)

Ledtråd

Kom ihåg sambandet mellan radianer och grader.

Lösning

För att omvandla en vinkel från grader till radianer använder vi 1^(∘)= π/180rad. Detta anger hur många radianer 1^(∘) motsvarar, och 45^(∘) motsvarar då 45 gånger detta.

45^(∘)

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

45 * 1^(∘)

1^(∘)= π/180rad

45 * π/180rad

MoveLeftFacToNum

a*b/c= a* b/c

45π/180rad

Förkorta med 5

9π/36rad

Förkorta med 9

π/4rad

45^(∘) är alltså π4 radianer. Det går förstås att knappa in detta på räknaren och svara på decimalform, men eftersom decimalföljden blir oändlig brukar man lämna det på exakt form, alltså 45^(∘) = π/4rad. För att omvandla från radianer till grader använder vi istället 1rad= 180^(∘)/π. Detta anger hur många grader en radian motsvarar. På samma sätt som tidigare multiplicerar vi vår vinkel med den här omvandlingsfaktorn för att byta enhet.

π/2rad

1rad= 180^(∘)/π

π/2* 180^(∘)/π

Multiplicera bråk

π 180^(∘)/2π

Förkorta med π

180^(∘)/2

Beräkna kvot

90^(∘)

π/2 radianer är alltså 90^(∘).

Övning

Öva omvandling mellan grader och radianer

Använd sambandet mellan grader och radianer för att omvandla dem. Avrunda svaren enligt instruktionerna.

Memo

Trigonometriska värden för standardvinklar

I tabeller med sinus-, cosinus- och tangensvärden för standardvinklar anges vinklarna ofta i både grader och radianer. Dessa vinklar har exakta trigonometriska värden. Värdena kan skrivas med enkla bråk och kvadratrötter. Detta gör dem särskilt användbara för exakta beräkningar.

v (grader)	0^(∘)	30^(∘)	45^(∘)	60^(∘)	90^(∘)	120^(∘)	135^(∘)	150^(∘)	180^(∘)
v (radianer)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2π/3	3π/4	5π/6	π
sin(v)	0	1/2	1/sqrt(2)	sqrt(3)/2	1	sqrt(3)/2	1/sqrt(2)	1/2	0
cos(v)	1	sqrt(3)/2	1/sqrt(2)	1/2	0	-1/2	-1/sqrt(2)	-sqrt(3)/2	-1
tan(v)	0	1/sqrt(3)	1	sqrt(3)	Odef.	-sqrt(3)	- 1	-1/sqrt(3)	0

Radianer

Uppgift 2.1

Beräkna utan räknare.

sin^2(π/3)+cos^2(π/3)

cos^2(3π/4)+sin^2(3π/4)

Vi sätter in de trigonometriska värdena för π/3 och beräknar.

Uttrycket är lika med 1.

Vi gör på samma sätt som i förra deluppgiften och använder de trigonometriska värdena för 3π/4.

Även här fick vi summan 1.

Beräkna den likbenta triangelns basvinklar. Svara i radianer med två decimaler.

Eftersom triangeln är likbent kommer höjden dela triangeln i två mindre kongruenta rätvinkliga trianglar. Vi kan kalla basvinklarna i den stora triangeln för v.

Dessa vinklar kan bestämmas med triangeldefinitionen av cosinus.

Nu slår vi in uttrycket på räknaren och ser till att den är inställd på radianer.

Basvinklarna är ca 1,25 radianer.

Bestäm vinkelsumman för en sjuhörning. Svara i radianer.

För att räkna ut vinkelsumman i en sjuhörning kan vi börja med en vinkelsumma vi känner till. Vinkelsumman för en triangel är 180^(∘) eller π radianer. Om vi skulle lägga ihop två trianglar får vi en fyrhörning.

Eftersom varje triangel har vinkelsumman π kommer en fyrhörning ha vinkelsumman π + π = 2 π. Lägger vi till ytterligare en triangel får vi en femhörning.

Vinkelsumman i en femhörning blir alltså π +π +π = 3π. Nu ritar vi en sjuhörning och skapar trianglar i den.

Vi skapar trianglarna genom att dra linjer från en punkt ut till alla andra punkter. Det bildas 5 så en sjuhörning har vinkelsumman 5π.

Finns det någon vinkel som har samma värde i radianer och grader? Motivera!

Vi ska undersöka om det finns någon vinkel som har samma värde i grader och radianer. Om vi utgår från att en eventuell sådan vinkel har värdet v när den uttrycks i grader ska den ha värdet v * π/180 när den uttrycks i radianer, eftersom 1 ^(∘) = π/180 rad.

Grader	Radianer
v	v * π/180

Genom att likställa dessa värden får vi en ekvation att lösa ut v ur.

Den enda vinkel som har samma värde i radianer och grader är 0. Det gäller alltså att 0^(∘)=0 rad.

Skriv talen i storleksordning med det minsta först, utan att använda räknare. tan(π/3) sin(π/9) cos(36^(∘)) sqrt(1/4)

Vi undersöker värdet av ett tal i taget och kan börja med de som kan bestämmas exakt, dvs. sqrt(1/4) och tan(π/3).

Värdet av sqrt(1/4)

Vi kan räkna oss fram till detta genom ett par omskrivningar. sqrt(1/4) = sqrt(1)/sqrt(4) = 1/2

Värdet av tan(π/3)

π/3 är en standardvinkel så vi kan hitta dess tangensvärde bland de trigonometriska värdena för standardvinklar: tan(π/3) = sqrt(3) Vi kan inte bestämma sqrt()3 med huvudräkning men vi vet att det är ett tal mellan 1 och 2, eftersom sqrt(1) = 1 och sqrt(4) = 2. 1 < tan(π/3) < 2

Värdet av cos(36^(∘))

Vinkeln 36^(∘) är inte en standardvinkel, så vi kan inte hitta cosinusvärdet för den i tabellen. För att uppskatta värdet använder vi istället enhetscirkeln. Där vi kan jämföra värdet av cos(36^(∘)) med någon närliggande standardvinkels cosinusvärde, t.ex. cos(60^(∘))=0,5.

Det gör ingenting om vinkeln vi ritar inte är exakt 36^(∘). Vi kan ändå se att cos(36^(∘)) är större än 0,5, men mindre än 1. 0,5 < cos (36^(∘) ) < 1

Värdet av sin(π/9)

Vinkeln π/9 rad är inte heller en standarvinkel, så vi tar hjälp av enhetscirkeln igen. Om man känner sig obekväm med att använda radianer kan man omvandla vinkeln till grader: π/9 rad = π/9*180^(∘)/π. Vi förenklar uttrycket.

Nu kan vi skissa vinkeln 20^(∘) samt en närliggande standardvinkel, t.ex. 30^(∘), i enhetscirkeln. Enligt tabellen med standardvinklar är sin(30^(∘)) = 0,5.

Vi ser att sin(20^(∘)) är mindre än 0,5. sin ( π/9) < 0,5

Slutsats

Vi vet att sin(π/9) är mindre än 0,5 och att sqrt(1/4) är precis 0,5. Dessutom har vi sett att cos(36^(∘)) är större än 0,5, men mindre än 1, och att tan(π/3) är det enda talet som är större än 1. Nu gör vi till sist själva storlekssorteringen: sin(π/9) < sqrt(1/4) < cos(36^(∘)) < tan(π/3).

Radianer

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Redigera lektion

≥

>

■2

■▢

e▢

7

8

9

×

÷■1

=

=

√▢

▢√

∫▢▢

4

5

6

+

−

≤

<

log

ln

log▢

1

2

3

()

∣

sin

cos

tan

0

.

π

x

y