Radianer

Vi kan börja med att rita enhetscirkeln och sätta ut punkterna P och Q. Då ser vi att det finns två cirkelbågar mellan punkterna, vilka markerats med rött respektive blått i figuren.

Vi ser att den röda cirkelbågen är kortast, så det är den vi ska bestämma längden på. För att göra det använder vi formeln för båglängd: b = v360^(∘) * 2π r, där b är längden på cirkelbågen, v är medelpunktsvinkeln, som visas i figuren nedan, och r är cirkelns radie.

Vi kan förenkla formeln genom att skriva om 360^(∘) som 2π och utnyttja att radien i enhetscirkeln är 1 le.

Nu ser vi att båglängden faktiskt motsvarar vinkeln v, så vi kan bestämma längden på cirkelbågen genom att bestämma v. Vi gör det genom att beräkna differensen mellan vinklarna som markerats p och q i figuren.

Vi kan ställa upp följande samband med triangeldefinitionen av cosinus. cos(p) = 0.11 = 0.1 cos(q) = 0.61 = 0.6 Med arcuscosinus får vi uttryck för själva vinklarna p och q. Vi behåller värdena exakta för att undvika senare avrundningsfel. cos(p)=0.1 ⇔ p = arccos(0.1) cos(q)=0.6 ⇔ q = arccos(0.6) Nu kan vi beräkna vinkeln v genom att subtrahera q från p. Se till att räknaren är inställd på radianer. Det är viktigt eftersom sambandet b=v endast gäller för radianer.

Vinkeln v, och således längden på den kortaste cirkelbågen, är alltså ca 0.54 radianer.

Eftersom vi inte får några givna längder i figuren måste vi försöka hitta uttryck som vi kan jämföra. Vi ställer upp ett uttryck för den röda och blå sträckan.

Röd sträcka

Vi undersöker figuren för att kunna beskriva hur långt varje rött streck i femhörningen är.

Vi ser att längderna på femhörningen är lika långa som två radier i cirkeln, r + r = 2r. Eftersom femhörningen har 5 sidor blir uttrycket för hela längden 5 * 2r = 10 r.

Blå sträcka

Den blå sträckan består av cirkelbågar och vi kan räkna ut dem om vi vet vinkeln v. Det här beror på att måttet radianer beskriver hur många radier som vinkeln spänner upp, b = v * r.

Vi ser att vinkeln v är samma vinkel som i femhörningen. Eftersom femhörningen är regelbunden kommer alla vinklar vara lika stora. Vinkelsumman i en femhörning är 540^(∘), vilket motsvarar 3π radianer. Vinkeln kommer då att vara v = 3π5 = 0.6π. Vinkeln 0.6π ger båglängden b = 0.6π * r. Den blå vägen består av 5 cirkelbågar vilket gör att den totala sträckan blir 5 * 0.6 π r = 3π r. Vi jämför längden för den röda vägen 10r med den blå vägen 3 π r genom att dela uttrycket för den röda vägen med den blå.

Kvoten mellan de två sträckorna blir alltså ungefär 1.06.

Vi ritar upp figuren med 6 cirklar istället.

Precis som i förra deluppgiften kan vi ställa upp uttryck för den röda och blå sträckan. Vi markerar radien och vinkeln i cirklarna för att kunna räkna ut sträckorna.

Varje sida i sexhörningen är r + r = 2r. Eftersom den totalt har 6 sidor blir hela den röda sträckan 6 * 2r = 12r. För att räkna ut den blå sträckan använder vi formeln för båglängd. Då måste vi veta vinkeln v och den kan vi beräkna om vi vet vinkelsumman i en sexhörning. I en femhörning var den 3π och för varje hörn som läggs till ökar summan med π. Vinkelsumman i sexhörningen är alltså 4π och vinkeln v är då v = 4π6 = 2π3 . Vinkeln v är alltså 2π3 och båglängden blir b = 2π3 * r. Hela den blå sträckan blir då 6 * 2π3 * r = 4 π r. Jämför vi nu de två längderna får vi förhållandet 12r4 π r= 3π≈0.95. Nu blev motsvarande kvot istället mindre än 1 vilket betyder att den röda sträckan är kortare.

Vi gör på samma sätt som tidigare och ställer upp uttryck för den blå längden och den röda men för n st. cirklar, där n är ett positivt heltal.

Röd sträcka

När vi räknade ut den röda sträckan med 5 och 6 cirklar multiplicerade vi diametern av en cirkel, 2r, med antal cirklar. Det betyder att om vi har n cirklar kommer den röda längden att vara n * 2r =2nr.

Blå sträcka

Den blå sträckan beräknas med formeln för båglängden. Då måste vi veta vinkeln v och den räknar vi ut med vinkelsumman för en n-hörning. Hur hittar vi vinkelsumman i n-hörning? Vi kan börja med att titta på vinkelsummorna i en triangel, fyrhörning och femhörning.

Vinkelsumman ökar med π för varje hörn. Första tanken kan då vara att vinkelsumman i en n-hörning kommer vara n* π. Det här stämmer inte eftersom en triangel då skulle få vinkelsumman 3π. Om vi tar bort 2π blir det dock rätt. Uttrycket för vinkelsumman i en n-hörning blir n*π - 2π= π(n - 2). Nu har vi ett uttryck för vinkelsumman och för att få vinkeln v måste vi dela summan på antal vinklar, dvs. n. v =π(n-2)/n Vi får då att båglängden är b = π(n-2)n * r. I en n-hörning kommer vi att ha n cirklar så den blå längden blir n * π r(n-2)n = π r(n-2).

Jämföra uttryck

Förhållandet i en n-hörning får vi genom dela uttrycket för den röda sträckan, 2nr, med uttrycket för den blå sträckan, π r(n-2).

Nu har vi ett uttryck för förhållandet mellan längderna om vi har n cirklar. Vi undersöker nu gränsvärdet för uttrycket när n går mot oändligheten dvs. beräknar lim _(n → ∞) 2n/π n - 2π. Det kan vi göra genom att förkorta bråket med n.

När man lägger på fler och fler cirklar kommer alltså förhållandet mellan den röda och blå vägen att gå mot 2π.