Polynomdivision

Vi ska alltså hitta alla nollställen till f(x). Eftersom x = 3 är en dubbelrot till f(x) måste två faktorer i f(x) anta värdet 0 då x är 3. Det här, tillsammans med faktorsatsen, ger att funktionen kan skrivas om till f(x) = q(x)(x - 3)(x-3), där q(x) är ett okänt polynom. Vi multiplicerar ihop parenteserna (x-3) för att få ett mer lättanvänt uttryck.

Vi kan nu skriva om funktionsuttrycket för att få likheten q(x) = x^4 - 9x^3 + 17x^2 + 33x - 90/x^2 - 6x + 9, vilket kan beräknas med en polynomdivision.

Vi har nu hittat att q(x) = x^2 - 3x - 10. Vi beräknar de kvarvarande nollställena genom att lösa ekvationen q(x) = 0.

Ekvationen f(x) = 0 har alltså de tre lösningarna x = - 2, x = 3 och x = 5, där x = 3 är en dubbelrot.

Det vore möjligt att genomföra polynomdivisionen p(x)q(x) för att visa delbarheten, men det skulle ta enormt lång tid och vara väldigt krångligt. Därför vill vi istället hitta något snabbare sätt att visa delbarheten på. Att p(x) är delbart med q(x) innebär att det finns ett polynom r(x) sådant att p(x)/q(x) = r(x). Denna likhet kan vi istället skriva som p(x) = q(x) * r(x). Vi vill nu besöka faktorsatsen, som handlar om polynom och delbarhet. Enligt faktorsatsen kan q(x), som är av grad 3, faktoriseras till q(x) = A(x - a_1)(x - a_2)(x - a_3), där A är en konstant och a_1, a_2 och a_3 är nollställen till q(x). I det här fallet är A = 1, eftersom koefficienten framför x^3 är 1. Vi sätter in detta i uttrycket för p(x). p(x) = (x - a_1)(x - a_2)(x - a_3)r(x) Om p(x) innehåller dessa tre faktorer måste polynomet vara delbart med q(x). Enligt faktorsatsen innehåller p(x) faktorerna om a_1, a_2 och a_3 är nollställen till p(x). Det räcker alltså att visa att nollställena för q(x) också är nollställen för p(x) för att vara säker på att p(x) är delbar med q(x). Eftersom x = 1 är nollställe till p(x) testar vi det i q(x) för att kanske hitta ett första nollställe.

Nu när vi hittat och noterat att x = 1 är ett nollställe till q(x) kan vi dividera polynomet med x - 1 för att lättare hitta de återstående två nollställena.

Vi kan nu skriva q(x) som q(x) = (x-1)(x^2 - 7x + 104/9) och hitta fler nollställen med hjälp av nollproduktmetoden. Vi känner redan till nollstället från den första parentesen, så vi ställer upp ekvationen som ger oss nollställena förknippade med andra parentesen.

Utöver x = 1 har vi nu även hittat de två nollställena x = 83 och x = 133 till q(x). Vi behöver nu visa att även dessa är nollställen till p(x), vilket medför att p(x) är delbart med q(x). Vi börjar med x = 83.

x = 813 är alltså ett nollställe till p(x). Vidare gör vi en liknande beräkning för att visa att 133 också är ett nollställe till p(x).

Vi har nu visat att alla nollställen till q(x) även är nollställen till p(x). Alltså har vi även visat att p(x) är delbart med q(x).