8. Polynomdivision
+ Anpassa lektionen
0
0
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 4
8.
Polynomdivision
Polynomdivision är en matematisk teknik som används för att dela ett polynom med ett annat polynom. Denna sida ger en detaljerad förklaring av processen, inklusive användning av en metod kallad "liggande stolen". Detta är en visuell representation som hjälper till att organisera beräkningarna. Sajten förklarar också begreppen kvot och rest i detta sammanhang. Dessutom ges exempel på hur man utför polynomdivision steg för steg, vilket gör det lättare att förstå processen.
Visa mindre Visa mer expand_more| | 4 sidor teori |
| | 18 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Polynomdivision
Sida av 4
För att primtalsfaktorisera ett sammansatt tal, exempelvis 42, kan man först hitta en primtalsfaktor, t.ex. 2. Om man sedan dividerar 42 med 2 får man kvoten 21, som innehåller övriga primtalsfaktorer. Polynom kan faktoriseras på liknande sätt: Efter att en faktor hittats divideras den bort för att ge en kvot som innehåller de andra faktorerna. Vid polynomdivision används liggande stolen, en metod som tidigare lärdes ut i grundskolan för vanliga divisionsberäkningar.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Förklaring
Hur tolkas liggande stolen?
I uppställningen för liggande stolen sätter man bråkets täljare på "stolens" sits och nämnaren mellan stolsbenen. Bilden visar hur man ställer upp 132, samt hur metoden fått sitt namn.
När divisionen är klar finns ett tal på stolsryggen, och en ny täljare.
Resultatet kan skrivas om på den mer välbekanta formen 6+1/2. Talet som skrivs på stolens rygg är alltså divisionens heltalskvot, eller ofta bara "kvot". Den säger att talet 2 går 6 hela gånger i talet 13. Men 2* 6 = 12, så det "fattas" 1 vilket kallas divisionens rest. Är resten 0 har divisionen gått jämnt upp.
Begrepp
Terminologi för polynomdivision
Begreppen täljare, nämnare, kvot och rest används även när det är polynom som divideras. Om man exempelvis dividerar x^2 + 4 med x-1 ställer man upp divisionen så här. l 0.5em r x^2+4 & |lx-1 När divisionen är klar får man följande uttryck. l 0.5em x+1 r 3 & |lx-1 Detta kan också skrivas på ett mer bekant sätt: (x+1)+3/x-1. Namnen på de olika delarna av resultatet specificeras i bilden.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Metod
Polynomdivision
För att utföra divisioner där både täljare och nämnare är polynom, t.ex.
x^3+7x-2-3x^2/x-4,
använder man liggande stolen. Det finns dock ett villkor: Täljaren måste ha samma eller högre gradtal än nämnaren.
1
Sortera termer och skriv divisionen med liggande stolen
expand_more Till att börja med bör man sortera termerna i polynomen efter deras gradtal, så att de står i fallande ordning, samt ställa upp divisionen med liggande stolen. För exemplet får man då följande uttryck.
l r x^3-3x^2+7x-2 & |lx-4
l r x^3-3x^2+7x-2 & |lx-4
2
Dividera första termen i täljaren med första termen i nämnaren
expand_more Nu dividerar man täljarens första term med nämnarens första term. I detta fall innebär det att x^3 divideras med x. Resultatet skrivs på stolens rygg och kallas
kvottermeftersom den kommer att utgöra en term i kvoten.
3
Multiplicera kvottermen från steg 2 med nämnaren
expand_more Kvottermen från förra steget multipliceras nu med nämnaren i fråga. Det ger
x^2( x-4)=x^3-4x^2.
x^2( x-4)=x^3-4x^2.
4
Subtrahera produkten från steg 3 från täljaren
expand_more Produkten från föregående steg subtraheras nu från täljaren.
l 0.5em x^2 r x^3-3x^2+7x-2 & |l x-4
PolDivSub
Subtrahera x^2* ( x-4) = x^3-4x^2
l 0.5em x^2 rl x^3 &- 3x^2 &+ 7x &- 2 & |lx-4 -(x^3 & -4x^2)
RemoveParSigns
Ta bort parentes & byt tecken
l 0.5em x^2 rl x^3 &- 3x^2 &+ 7x &- 2 & |lx-4 -x^3 & +4x^2
SimpTerms
Förenkla termerna
l 0.5em x^2 r x^2+7x-2 & |lx-4
Förenklingen i sista steget kan kännas krånglig, men här förtydligas den.
Förenkla
Uttrycket i liggande stolen kan nu tolkas som
x^2+x^2+7x-2/x-4.
Eftersom täljaren i restbråket har högre grad än nämnaren kan man utföra steg 2, 3 och 4 igen.
5
Upprepa steg 2--4 tills täljaren har lägre gradtal än nämnaren
expand_more Steg 2--4 upprepas tills polynomet i täljaren har 
lägregradtal än polynomet i nämnaren.
l 0.5em x^2 r x^2+7x-2 & |l x-4
PolDivQuot
x^2/x= x
l 0.5em x^2 +x r x^2+7x-2 & |l x-4
PolDivSub
Subtrahera x* ( x-4) = x^2-4x
l 0.5em x^2+x rl x^2 &+ 7x &- 2 & |lx-4 -(x^2 & -4x)
RemoveParSigns
Ta bort parentes & byt tecken
l 0.5em x^2+x rl x^2 &+ 7x &- 2 & |lx-4 -x^2 & +4x
SimpTerms
Förenkla termerna
l 0.5em x^2+x r 11x-2 & |lx-4
Täljaren har fortfarande inte lägre grad än nämnaren, så steg 2--4 utförs ytterligare en gång.
l 0.5em x^2+x r 11x-2 & |l x-4
PolDivQuot
11x/x= 11
l 0.5em x^2+x +11 r 11x-2 & |l x-4
PolDivSub
Subtrahera 11* ( x-4) = 11x-44
l 0.5em x^2+x+11 rl 11x &- 2 & |lx-4 -(11x & -44)
RemoveParSigns
Ta bort parentes & byt tecken
l 0.5em x^2+x+11 rl 11x &- 2 & |lx-4 -11x & +44
SimpTerms
Förenkla termerna
l 0.5em x^2+x+11 r 42 & |lx-4
Talet 42 är av grad 0 (precis som alla konstanter), vilket blir tydligare om den skrivs 42x^0. Därför är täljarens grad nu lägre än nämnarens och divisionen slutförd. När man utför liggande stolen på papper får man en uppställning som ser ut ungefär såhär.
Resultatet av divisionen
x^3+7x-2-3x^2/x-4
är summan av kvoten och restbråket
, dvs.
(x^2+x+11)+42/x-4.
p(x)/x-a=q(x)+r/x-a
Detta samband mellan polynomen kan också skrivas på följande sätt.
p(x)=q(x)(x-a)+r
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Lös ekvationen med polynomdivision
x=2 är en rot till ekvationen x^3 - 19x + 30 = 0. Använd polynomdivision för att hitta de två andra rötterna.
Visa Lösning expand_more
Att x=2 löser ekvationen innebär att det är ett nollställe till polynomet x^3 - 19x + 30. Enligt faktorsatsen kan nollstället användas för att skriva om polynomet som en produkt. Ekvationen blir då (x-2)q(x) = 0, där q(x) är ett annat polynom. Om vi kan bestämma q(x) kan ekvationen lösas med nollproduktmetoden. Genom att likställa de två vänsterleden kan q(x) lösas ut. x^3 - 19x & + 30 = (x-2)q(x) ⇔ q(x) & = x^3 - 19x + 30/x-2 Polynomet q(x) kan alltså bestämmas med en polynomdivision.
l r x^3 - 19x + 30 & |l x-2
PolDivQuot
x^3/x= x^2
l 0.5em x^2 r x^3 - 19x + 30 & |l x-2
PolDivSub
Subtrahera x^2* ( x-2) = x^3-2x^2
l 0.5em x^2 rl x^3 & &- 19x &+ 30 & |lx-2 -(x^3 & -2x^2)
RemoveParSigns
Ta bort parentes & byt tecken
l 0.5em x^2 rl x^3 & &- 19x &+ 30 & |lx-2 -x^3 & +2x^2
SimpTerms
Förenkla termerna
l 0.5em x^2 r 2x^2 - 19x + 30 & |l x-2
PolDivQuot
2x^2/x= 2x
l 0.5em x^2 +2x r 2x^2 - 19x + 30 & |l x-2
PolDivSub
Subtrahera 2x* ( x-2) = 2x^2-4x
l 0.5em x^2+2x rl 2x^2 &- 19x &+ 30 & |lx-2 -(2x^2 & -4x)
RemoveParSigns
Ta bort parentes & byt tecken
l 0.5em x^2+2x rl 2x^2 &- 19x &+ 30 & |lx-2 -2x^2 & +4x
SimpTerms
Förenkla termerna
l 0.5em x^2+2x r - 15x + 30 & |l x-2
PolDivQuot
- 15x/x= - 15
l 0.5em x^2+2x -15 r - 15x + 30 & |l x-2
PolDivSub
Subtrahera - 15* ( x-2) = - 15 x + 30
l 0.5em x^2+2x-15 rl - 15x &+ 30 & |lx-2 -(- 15x & +30)
RemoveParSigns
Ta bort parentes & byt tecken
l 0.5em x^2+2x-15 rl - 15x &+ 30 & |lx-2 +15x & -30
SimpTerms
Förenkla termerna
l 0.5em x^2+2x-15 r 0 & |lx-2
Eftersom man får resten 0 går divisionen jämnt upp. Det bekräftar att x-2 är en faktor till polynomet. Vi ser nu att
q(x) = x^2+2x-15,
vilket kan sättas in i ekvationen.
(x-2)q(x) = 0
SubstituteExpressions
Sätt in uttryck
(x-2)(x^2+2x-15) = 0
ZeroProdProp
Använd nollproduktmetoden
lx-2=0 x^2+2x-15=0
Lösningen på den övre ekvationen är redan känd, x=2, så man kan fokusera på andragradsekvationen. Den kan lösas med pq-formeln.
x^2+2x-15 = 0
lx_1=- 5 x_2=3
Ekvationen x^3 - 19x + 30 = 0 har alltså rötterna x=-5, x=2 och x=3.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Polynomdivision
Uppgift 3.1
Ett nollställe till polynomet p(x) = (0,3x - 1,3)^(16) - (0,3x - 0,3)^(16) + 0,6x - 1,6 är x=1. Är p(x) delbart med polynomet q(x)? q(x) = x^3 - 8x^2 + 167/9x - 104/9
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
Det vore möjligt att genomföra polynomdivisionen p(x)/q(x) för att visa delbarheten, men det skulle ta enormt lång tid och vara väldigt krångligt. Därför vill vi istället hitta något snabbare sätt att visa delbarheten på. Att p(x) är delbart med q(x) innebär att det finns ett polynom r(x) sådant att p(x)/q(x) = r(x). Denna likhet kan vi istället skriva som p(x) = q(x) * r(x). Vi vill nu besöka faktorsatsen, som handlar om polynom och delbarhet. Enligt faktorsatsen kan q(x), som är av grad 3, faktoriseras till q(x) = A(x - a_1)(x - a_2)(x - a_3), där A är en konstant och a_1, a_2 och a_3 är nollställen till q(x). I det här fallet är A = 1, eftersom koefficienten framför x^3 är 1. Vi sätter in detta i uttrycket för p(x). p(x) = (x - a_1)(x - a_2)(x - a_3)r(x) Om p(x) innehåller dessa tre faktorer måste polynomet vara delbart med q(x). Enligt faktorsatsen innehåller p(x) faktorerna om a_1, a_2 och a_3 är nollställen till p(x). Det räcker alltså att visa att nollställena för q(x) också är nollställen för p(x) för att vara säker på att p(x) är delbar med q(x). Eftersom x = 1 är nollställe till p(x) testar vi det i q(x) för att kanske hitta ett första nollställe.
Nu när vi hittat och noterat att x = 1 är ett nollställe till q(x) kan vi dividera polynomet med x - 1 för att lättare hitta de återstående två nollställena.
Vi kan nu skriva q(x) som q(x) = (x-1)(x^2 - 7x + 104/9) och hitta fler nollställen med hjälp av nollproduktmetoden. Vi känner redan till nollstället från den första parentesen, så vi ställer upp ekvationen som ger oss nollställena förknippade med andra parentesen.
Utöver x = 1 har vi nu även hittat de två nollställena x = 8/3 och x=13/3 till q(x). Vi behöver nu visa att även dessa är nollställen till p(x), vilket medför att p(x) är delbart med q(x). Vi börjar med x = 8/3.
x = 8/13 är alltså ett nollställe till p(x). Vidare gör vi en liknande beräkning för att visa att 13/3 också är ett nollställe till p(x).
Vi har nu visat att alla nollställen till q(x) även är nollställen till p(x). Alltså har vi även visat att p(x) är delbart med q(x).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Givet f(x) = x^4 - 9x^3 + 17x^2 + 33x - 90, som har dubbelroten x = 3, lös ekvationen f(x) = 0 fullständigt med hjälp av polynomdivision.
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-2","3","5"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi ska alltså hitta alla nollställen till f(x). Eftersom x = 3 är en dubbelrot till f(x) måste två faktorer i f(x) anta värdet 0 då x är 3. Det här, tillsammans med faktorsatsen, ger att funktionen kan skrivas om till f(x) = q(x)(x - 3)(x-3), där q(x) är ett okänt polynom. Vi multiplicerar ihop parenteserna (x-3) för att få ett mer lättanvänt uttryck.
Vi kan nu skriva om funktionsuttrycket för att få likheten q(x) = x^4 - 9x^3 + 17x^2 + 33x - 90/x^2 - 6x + 9, vilket kan beräknas med en polynomdivision.
Vi har nu hittat att q(x) = x^2 - 3x - 10. Vi beräknar de kvarvarande nollställena genom att lösa ekvationen q(x) = 0.
Ekvationen f(x) = 0 har alltså de tre lösningarna x = - 2, x = 3 och x = 5, där x = 3 är en dubbelrot.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Beräkna följande gränsvärde. lim _(x→ 1)x^5-1/x-1
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["5"]}}
security
report
code
security
report
code
Betrakta det givna gränsvärdet. lim _(x→ 1)x^5-1/x-1 Låt oss se vad som händer om vi sätter in x=1 för att beräkna gränsvärdet.
Att sätta in x=1 i gränsvärdet ger en obestämd form. I stället ska vi försöka förenkla kvoten med hjälp av polynomdivision.
Resten är 0, vilket betyder att vi kan skriva om gränsvärdet på följande sätt. lim _(x→ 1)x^5-1/x-1 = lim _(x→ 1)(x^4+x^3+x^2+x+1) Vi kan nu beräkna detta gränsvärde genom direkt insättning.
Därför är gränsvärdets värde 5. lim _(x→ 1)x^5-1/x-1 = 5
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Polynomet p(x)=x^3-4x^2+kx+30 är restfritt delbart med (x-5). Bestäm kvoten p(x)/x-5.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["x^2+x-6"]}}
security
report
code
security
report
code
Låt oss titta på det givna polynomet. p(x)=x^3-4x^2+kx+30 Vi vill bestämma värdet på kvoten p(x)/x-5 men vi känner inte till värdet på k. Vi kan använda faktorsatsen för att bestämma det. Eftersom x-5 delar p(x) jämnt gäller att p(5)=0.
Nu när vi känner till värdet på k kan vi skriva vårt polynom. p(x)=x^3-4x^2-11x+30 Låt oss dividera det med x-5 för att bestämma kvoten!
Kvoten är p(x)/x-5=x^2+x-6. Observera att resten är 0 eftersom vi använde faktorsatsen för att bestämma ett värde på k som gör divisionen restfri.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Polynomdivision
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll