Expandera meny menu_open Minimera Gå till startsidan home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu
{{ courseTrack.displayTitle }} {{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
search Använd offline Verktyg apps
Digitala verktyg Grafräknare Geometri 3D Grafritare Geogebra Classic Mathleaks Kalkylator Kodfönster
Kurs & Bok Jämför mattebok Studieläge Avsluta studieläge Skriv ut kurs
Handledning Videohandledningar Formelsamling

Videohandledningar

 Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

 play_circle_outline Studera med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

 play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

 play_circle_outline Verktyg för elever & lärare

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

 play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

 play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

 play_circle_outline

Formelsamling

 Formelsamlingar för mattekurser looks_one

Kurs 1

 looks_two

Kurs 2

 looks_3

Kurs 3

 looks_4

Kurs 4

 looks_5

Kurs 5

 Logga in account_circle menu_open

Polynomdivision

Metod

Polynomdivision

För att utföra divisioner där både täljare och nämnare är polynom, t.ex. x3+7x−2−3x2x−4, \dfrac{x^3+7x-2-3x^2}{x-4}, använder man liggande stolen. Det finns dock ett villkor: Täljaren måste ha samma eller högre gradtal än nämnaren.

1

Sortera termer och skriv divisionen med liggande stolen

Till att börja med bör man sortera termerna i polynomen efter deras gradtal, så att de står i fallande ordning, samt ställa upp divisionen med liggande stolen. För exemplet får man då följande uttryck. x3−3x2+7x−2x−4 \begin{array}{l}\begin{array}{r}\hline x^3-3x^2+7x-2 & \begin{array}{|l}x-4 \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}

2

Dividera första termen i täljaren med första termen i nämnaren
Nu dividerar man täljarens första term med nämnarens första term. I detta fall innebär det att x3x^3 divideras med x.x. Resultatet skrivs på stolens rygg och kallas kvotterm eftersom den kommer att utgöra en term i kvoten.
x3−3x2+7x−2x−4\begin{array}{l}\begin{array}{r}\hline {\color{#0000FF}{x^3}}-3x^2+7x-2 & \begin{array}{|l}{\color{#0000FF}{x}}-4 \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}
x3x=x2\dfrac{{\color{#0000FF}{x^3}}}{{\color{#0000FF}{x}}}= x^2
x2x3−3x2+7x−2x−4\begin{array}{l}{\color{#FF0000}{x^2}} \\[-1em] \begin{array}{r}\hline x^3-3x^2+7x-2 & \begin{array}{|l}{\color{#FF0000}{x-4}} \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}

3

Multiplicera kvottermen från steg 22 med nämnaren

Kvottermen från förra steget multipliceras nu med nämnaren i fråga. Det ger x2(x−4)=x3−4x2. {\color{#FF0000}{x^2}}({\color{#FF0000}{x-4}})=x^3-4x^2.

4

Subtrahera produkten från steg 33 från täljaren
Produkten från föregående steg subtraheras nu från täljaren.
x2x3−3x2+7x−2x−4\begin{array}{l}{\color{#FF0000}{x^2}} \\[-1em] \begin{array}{r}\hline x^3-3x^2+7x-2 & \begin{array}{|l}{\color{#FF0000}{x-4}} \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}
Subtrahera x2⋅(x−4)=x3−4x2{\color{#FF0000}{x^2}}\cdot \left({\color{#FF0000}{x-4}}\right) = x^3-4x^2
x2x3−3x2+7x−2x−4−(x3−4x2)\begin{array}{l}x^2 \\[-1em] \begin{array}{rl}\hline x^3 &- 3x^2 &+ 7x &- 2 & \begin{array}{|l}x-4 \\ \hline \end{array}\\ -\big(x^3 & -4x^2\big) \end{array}\end{array}
Ta bort parentes & byt tecken
x2x3−3x2+7x−2x−4−x3+4x2\begin{array}{l}x^2 \\[-1em] \begin{array}{rl}\hline x^3 &- 3x^2 &+ 7x &- 2 & \begin{array}{|l}x-4 \\ \hline \end{array}\\ -x^3 & +4x^2 \end{array}\end{array}
Förenkla termer
x2x2+7x−2x−4\begin{array}{l}x^2 \\[-1em] \begin{array}{r}\hline x^2+7x-2 & \begin{array}{|l}x-4 \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}
Förenklingen i sista steget kan kännas krånglig, men här förtydligas den.
Förenkla

Uttrycket i liggande stolen kan nu tolkas som x2+x2+7x−2x−4. x^2+\dfrac{x^2+7x-2}{x-4}. Eftersom täljaren i restbråket har högre grad än nämnaren kan man utföra steg 2,2, 33 och 44 igen.

5

Upprepa steg 2−42-4 tills täljaren har lägre gradtal än nämnaren
Steg 2−42-4 upprepas tills polynomet i täljaren har lägre gradtal än polynomet i nämnaren.
x2x2+7x−2x−4\begin{array}{l}x^2 \\[-1em] \begin{array}{r}\hline {\color{#0000FF}{x^2}}+7x-2 & \begin{array}{|l}{\color{#0000FF}{x}}-4 \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}
x2x=x\dfrac{{\color{#0000FF}{{\color{#0000FF}{x^2}}}}}{{\color{#0000FF}{{\color{#0000FF}{x}}}}}= x
x2+xx2+7x−2x−4\begin{array}{l}x^2{\color{#FF0000}{\phantom{}+x}} \\[-1em] \begin{array}{r}\hline x^2+7x-2 & \begin{array}{|l}{\color{#FF0000}{x-4}} \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}
Subtrahera x⋅(x−4)=x2−4x{\color{#FF0000}{x}}\cdot \left({\color{#FF0000}{x-4}}\right) = x^2-4x
x2+xx2+7x−2x−4−(x2−4x)\begin{array}{l}x^2+x \\[-1em] \begin{array}{rl}\hline x^2 &+ 7x &- 2 & \begin{array}{|l}x-4 \\ \hline \end{array}\\ -\big(x^2 & -4x\big) \end{array}\end{array}
Ta bort parentes & byt tecken
x2+xx2+7x−2x−4−x2+4x\begin{array}{l}x^2+x \\[-1em] \begin{array}{rl}\hline x^2 &+ 7x &- 2 & \begin{array}{|l}x-4 \\ \hline \end{array}\\ -x^2 & +4x \end{array}\end{array}
Förenkla termer
x2+x11x−2x−4\begin{array}{l}x^2+x \\[-1em] \begin{array}{r}\hline 11x-2 & \begin{array}{|l}x-4 \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}
Täljaren har fortfarande inte lägre grad än nämnaren, så steg 2−42-4 utförs ytterligare en gång.
x2+x11x−2x−4\begin{array}{l}x^2+x \\[-1em] \begin{array}{r}\hline {\color{#0000FF}{11x}}-2 & \begin{array}{|l}{\color{#0000FF}{x}}-4 \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}
11xx=11\dfrac{{\color{#0000FF}{{\color{#0000FF}{11x}}}}}{{\color{#0000FF}{{\color{#0000FF}{x}}}}}= 11
x2+x+1111x−2x−4\begin{array}{l}x^2+x{\color{#FF0000}{\phantom{}+11}} \\[-1em] \begin{array}{r}\hline 11x-2 & \begin{array}{|l}{\color{#FF0000}{x-4}} \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}
Subtrahera 11⋅(x−4)=11x−44{\color{#FF0000}{11}}\cdot \left({\color{#FF0000}{x-4}}\right) = 11x-44
x2+x+1111x−2x−4−(11x−44)\begin{array}{l}x^2+x+11 \\[-1em] \begin{array}{rl}\hline 11x &- 2 & \begin{array}{|l}x-4 \\ \hline \end{array}\\ -\big(11x & -44\big) \end{array}\end{array}
Ta bort parentes & byt tecken
x2+x+1111x−2x−4−11x+44\begin{array}{l}x^2+x+11 \\[-1em] \begin{array}{rl}\hline 11x &- 2 & \begin{array}{|l}x-4 \\ \hline \end{array}\\ -11x & +44 \end{array}\end{array}
Förenkla termer
x2+x+1142x−4\begin{array}{l}x^2+x+11 \\[-1em] \begin{array}{r}\hline 42 & \begin{array}{|l}x-4 \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}
Talet 4242 är av grad 00 (precis som alla konstanter), vilket blir tydligare om den skrivs 42x0.42x^0. Därför är täljarens grad nu lägre än nämnarens och divisionen slutförd. När man utför liggande stolen på papper får man en uppställning som ser ut ungefär såhär.
Rutat papper med polynomdivision2.svg

Resultatet av divisionen x3+7x−2−3x2x−4 \dfrac{x^3+7x-2-3x^2}{x-4} är summan av kvoten och restbråket, dvs. (x2+x+11)+42x−4. (x^2+x+11)+\dfrac{42}{x-4}.

Se även