Metod

Polynomdivision

För att utföra divisioner där både täljare och nämnare är polynom, t.ex. $\dfrac{x^3+7x-2-3x^2}{x-4},$ använder man liggande stolen. Det finns dock ett villkor: Täljaren måste ha samma eller högre gradtal än nämnaren.

1

Sortera termer och skriv divisionen med liggande stolen

Till att börja med bör man sortera termerna i polynomen efter deras gradtal, så att de står i fallande ordning, samt ställa upp divisionen med liggande stolen. För exemplet får man då följande uttryck.

$$\begin{array}{l}\begin{array}{r}\hline x^3-3x^2+7x-2 & \begin{array}{|l}x-4 \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}$$

2

Dividera första termen i täljaren med första termen i nämnaren

Nu dividerar man täljarens första term med nämnarens första term. I detta fall innebär det att $x^3$ divideras med $x.$ Resultatet skrivs på stolens rygg och kallas kvotterm eftersom den kommer att utgöra en term i kvoten.

${\textstyle \begin{array}{l}\begin{array}{r}\hline {\color{#0000FF}{x^3}}-3x^2+7x-2 & \begin{array}{|l}{\color{#0000FF}{x}}-4 \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}}$

$\dfrac{{\color{#0000FF}{x^3}}}{{\color{#0000FF}{x}}}= x^2$

${\textstyle \begin{array}{l}{\color{#FF0000}{x^2}} \\[-1em] \begin{array}{r}\hline x^3-3x^2+7x-2 & \begin{array}{|l}{\color{#FF0000}{x-4}} \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}}$

3

Multiplicera kvottermen från steg $2$ med nämnaren

Kvottermen från förra steget multipliceras nu med nämnaren i fråga. Det ger ${\color{#FF0000}{x^2}}({\color{#FF0000}{x-4}})=x^3-4x^2.$

4

Subtrahera produkten från steg $3$ från täljaren

Produkten från föregående steg subtraheras nu från täljaren.

${\textstyle \begin{array}{l}{\color{#FF0000}{x^2}} \\[-1em] \begin{array}{r}\hline x^3-3x^2+7x-2 & \begin{array}{|l}{\color{#FF0000}{x-4}} \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}}$

Subtrahera ${\color{#FF0000}{x^2}}\cdot \left({\color{#FF0000}{x-4}}\right) = x^3-4x^2$

${\textstyle \begin{array}{l}x^2 \\[-1em] \begin{array}{rl}\hline x^3 &- 3x^2 &+ 7x &- 2 & \begin{array}{|l}x-4 \\ \hline \end{array}\\ -\big(x^3 & -4x^2\big) \end{array}\end{array}}$

Ta bort parentes & byt tecken

${\textstyle \begin{array}{l}x^2 \\[-1em] \begin{array}{rl}\hline x^3 &- 3x^2 &+ 7x &- 2 & \begin{array}{|l}x-4 \\ \hline \end{array}\\ -x^3 & +4x^2 \end{array}\end{array}}$

Förenkla termer

${\textstyle \begin{array}{l}x^2 \\[-1em] \begin{array}{r}\hline x^2+7x-2 & \begin{array}{|l}x-4 \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}}$

Förenklingen i sista steget kan kännas krånglig, men här förtydligas den.

Förenkla

Uttrycket i liggande stolen kan nu tolkas som $x^2+\dfrac{x^2+7x-2}{x-4}.$ Eftersom täljaren i restbråket har högre grad än nämnaren kan man utföra steg $2,$ $3$ och $4$ igen.

5

Upprepa steg $2-4$ tills täljaren har lägre gradtal än nämnaren

Steg $2-4$ upprepas tills polynomet i täljaren har lägre gradtal än polynomet i nämnaren.

${\textstyle \begin{array}{l}x^2 \\[-1em] \begin{array}{r}\hline {\color{#0000FF}{x^2}}+7x-2 & \begin{array}{|l}{\color{#0000FF}{x}}-4 \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}}$

$\dfrac{{\color{#0000FF}{{\color{#0000FF}{x^2}}}}}{{\color{#0000FF}{{\color{#0000FF}{x}}}}}= x$

${\textstyle \begin{array}{l}x^2{\color{#FF0000}{\phantom{}+x}} \\[-1em] \begin{array}{r}\hline x^2+7x-2 & \begin{array}{|l}{\color{#FF0000}{x-4}} \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}}$

Subtrahera ${\color{#FF0000}{x}}\cdot \left({\color{#FF0000}{x-4}}\right) = x^2-4x$

${\textstyle \begin{array}{l}x^2+x \\[-1em] \begin{array}{rl}\hline x^2 &+ 7x &- 2 & \begin{array}{|l}x-4 \\ \hline \end{array}\\ -\big(x^2 & -4x\big) \end{array}\end{array}}$

Ta bort parentes & byt tecken

${\textstyle \begin{array}{l}x^2+x \\[-1em] \begin{array}{rl}\hline x^2 &+ 7x &- 2 & \begin{array}{|l}x-4 \\ \hline \end{array}\\ -x^2 & +4x \end{array}\end{array}}$

Förenkla termer

${\textstyle \begin{array}{l}x^2+x \\[-1em] \begin{array}{r}\hline 11x-2 & \begin{array}{|l}x-4 \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}}$

Täljaren har fortfarande inte lägre grad än nämnaren, så steg $2-4$ utförs ytterligare en gång.

${\textstyle \begin{array}{l}x^2+x \\[-1em] \begin{array}{r}\hline {\color{#0000FF}{11x}}-2 & \begin{array}{|l}{\color{#0000FF}{x}}-4 \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}}$

$\dfrac{{\color{#0000FF}{{\color{#0000FF}{11x}}}}}{{\color{#0000FF}{{\color{#0000FF}{x}}}}}= 11$

${\textstyle \begin{array}{l}x^2+x{\color{#FF0000}{\phantom{}+11}} \\[-1em] \begin{array}{r}\hline 11x-2 & \begin{array}{|l}{\color{#FF0000}{x-4}} \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}}$

Subtrahera ${\color{#FF0000}{11}}\cdot \left({\color{#FF0000}{x-4}}\right) = 11x-44$

${\textstyle \begin{array}{l}x^2+x+11 \\[-1em] \begin{array}{rl}\hline 11x &- 2 & \begin{array}{|l}x-4 \\ \hline \end{array}\\ -\big(11x & -44\big) \end{array}\end{array}}$

Ta bort parentes & byt tecken

${\textstyle \begin{array}{l}x^2+x+11 \\[-1em] \begin{array}{rl}\hline 11x &- 2 & \begin{array}{|l}x-4 \\ \hline \end{array}\\ -11x & +44 \end{array}\end{array}}$

Förenkla termer

${\textstyle \begin{array}{l}x^2+x+11 \\[-1em] \begin{array}{r}\hline 42 & \begin{array}{|l}x-4 \\ \hline \end{array}\end{array}\end{array}}$

Talet $42$ är av grad $0$ (precis som alla konstanter), vilket blir tydligare om den skrivs $42x^0.$ Därför är täljarens grad nu lägre än nämnarens och divisionen slutförd. När man utför liggande stolen på papper får man en uppställning som ser ut ungefär såhär.

Resultatet av divisionen $\dfrac{x^3+7x-2-3x^2}{x-4}$ är summan av kvoten och restbråket, dvs. $(x^2+x+11)+\dfrac{42}{x-4}.$