Metod

Polynomdivision

För att utföra divisioner där både täljare och nämnare är polynom, t.ex.

\frac{x ^{3} + 7 x - 2 - 3 x ^{2}}{x - 4},

använder man liggande stolen. Det finns dock ett villkor: Täljaren måste ha samma eller högre gradtal än nämnaren.

Sortera termer och skriv divisionen med liggande stolen

Till att börja med bör man sortera termerna i polynomen efter deras gradtal, så att de står i fallande ordning, samt ställa upp divisionen med liggande stolen. För exemplet får man då följande uttryck.

x^{3} - 3 x^{2} + 7 x - 2 x - 4

Dividera första termen i täljaren med första termen i nämnaren

Nu dividerar man täljarens första term med nämnarens första term. I detta fall innebär det att

x^{3}

divideras med

x .

Resultatet skrivs på stolens rygg och kallas kvotterm eftersom den kommer att utgöra en term i kvoten.

x^{3} - 3 x^{2} + 7 x - 2 x - 4

PolDivQuot

$\frac{x ^{3}}{x} = x^{2}$

x^{2} x^{3} - 3 x^{2} + 7 x - 2 x - 4

Multiplicera kvottermen från steg

2

med nämnaren

Kvottermen från förra steget multipliceras nu med nämnaren i fråga. Det ger

x^{2} (x - 4) = x^{3} - 4 x^{2} .

Subtrahera produkten från steg

3

från täljaren

Produkten från föregående steg subtraheras nu från täljaren.

x^{2} x^{3} - 3 x^{2} + 7 x - 2 x - 4

PolDivSub

Subtrahera $x^{2} \cdot (x - 4) = x^{3} - 4 x^{2}$

x^{2} x^{3} - (x^{3} - 3 x^{2} - 4 x^{2}) + 7 x - 2 x - 4

RemoveParSigns

Ta bort parentes & byt tecken

x^{2} x^{3} - x^{3} - 3 x^{2} + 4 x^{2} + 7 x - 2 x - 4

SimpTerms

Förenkla termer

x^{2} x^{2} + 7 x - 2 x - 4

Förenklingen i sista steget kan kännas krånglig, men här förtydligas den.

Förenkla

Uttrycket i liggande stolen kan nu tolkas som

x^{2} + \frac{x ^{2} + 7 x - 2}{x - 4} .

Eftersom täljaren i restbråket har högre grad än nämnaren kan man utföra steg

2,

3

och

4

igen.

Upprepa steg

2 - 4

tills täljaren har lägre gradtal än nämnaren

Steg

2 - 4

upprepas tills polynomet i täljaren har lägre gradtal än polynomet i nämnaren.

x^{2} x^{2} + 7 x - 2 x - 4

PolDivQuot

$\frac{x ^{2}}{x} = x$

x^{2} + x x^{2} + 7 x - 2 x - 4

PolDivSub

Subtrahera $x \cdot (x - 4) = x^{2} - 4 x$

x^{2} + x x^{2} - (x^{2} + 7 x - 4 x) - 2 x - 4

RemoveParSigns

Ta bort parentes & byt tecken

x^{2} + x x^{2} - x^{2} + 7 x + 4 x - 2 x - 4

SimpTerms

Förenkla termer

x^{2} + x 11 x - 2 x - 4

Täljaren har fortfarande inte lägre grad än nämnaren, så steg

2 - 4

utförs ytterligare en gång.

x^{2} + x 11 x - 2 x - 4

PolDivQuot

$\frac{1 1 x}{x} = 11$

x^{2} + x + 11 11 x - 2 x - 4

PolDivSub

Subtrahera $11 \cdot (x - 4) = 11 x - 44$

x^{2} + x + 11 11 x - (11 x - 2 - 44) x - 4

RemoveParSigns

Ta bort parentes & byt tecken

x^{2} + x + 11 11 x - 11 x - 2 + 44 x - 4

SimpTerms

Förenkla termer

x^{2} + x + 11 42 x - 4

Talet

42

är av grad

0

(precis som alla konstanter), vilket blir tydligare om den skrivs

42 x^{0} .

Därför är täljarens grad nu lägre än nämnarens och divisionen slutförd. När man utför liggande stolen på papper får man en uppställning som ser ut ungefär såhär.

Resultatet av divisionen

\frac{x ^{3} + 7 x - 2 - 3 x ^{2}}{x - 4}

är summan av kvoten och restbråket, dvs.

(x^{2} + x + 11) + \frac{4 2}{x - 4} .

Rekommenderade uppgifter