2. Polynomdivision
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 3
2.
Polynomdivision
Polynomdivision är en matematisk teknik som används för att dela ett polynom med ett annat polynom. Denna sida ger en detaljerad förklaring av processen, inklusive användning av en metod kallad "liggande stolen". Detta är en visuell representation som hjälper till att organisera beräkningarna. Sajten förklarar också begreppen kvot och rest i detta sammanhang. Dessutom ges exempel på hur man utför polynomdivision steg för steg, vilket gör det lättare att förstå processen.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 4 sidor teori |
| | 11 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Polynomdivision
Sida av 4
För att primtalsfaktorisera ett sammansatt tal, exempelvis 42, kan man först hitta en primtalsfaktor, t.ex. 2. Om man sedan dividerar 42 med 2 får man kvoten 21, som innehåller övriga primtalsfaktorer. Polynom kan faktoriseras på liknande sätt: Efter att en faktor hittats divideras den bort för att ge en kvot som innehåller de andra faktorerna. Vid polynomdivision används liggande stolen, en metod som tidigare lärdes ut i grundskolan för vanliga divisionsberäkningar.
Förklaring
Hur tolkas liggande stolen?
I uppställningen för liggande stolen sätter man bråkets täljare på "stolens" sits och nämnaren mellan stolsbenen. Bilden visar hur man ställer upp 213, samt hur metoden fått sitt namn.
När divisionen är klar finns ett tal på stolsryggen, och en ny täljare.
6+21.
Talet som skrivs på stolens rygg är alltså divisionens heltalskvot, eller ofta bara "kvot". Den säger att talet 2 går 6 hela gånger i talet 13. Men 2⋅6=12, så det "fattas" 1 vilket kallas divisionens rest. Är resten 0 har divisionen gått jämnt upp.
Begrepp
Terminologi för polynomdivision
x+1x2+4x−1hej
När divisionen är klar får man följande uttryck. hejx+13x−1hej
Detta kan också skrivas på ett mer bekant sätt:
(x+1)+x−13.
Namnen på de olika delarna av resultatet specificeras i bilden. 
Metod
Polynomdivision
För att utföra divisioner där både täljare och nämnare är polynom, t.ex.
x−4x3+7x−2−3x2,
använder man liggande stolen. Det finns dock ett villkor: Täljaren måste ha samma eller högre gradtal än nämnaren.
1
Sortera termer och skriv divisionen med liggande stolen
expand_more Till att börja med bör man sortera termerna i polynomen efter deras gradtal, så att de står i fallande ordning, samt ställa upp divisionen med liggande stolen. För exemplet får man då följande uttryck.
x3−3x2+7x−2x−4
2
Dividera första termen i täljaren med första termen i nämnaren
expand_more Nu dividerar man täljarens första term med nämnarens första term. I detta fall innebär det att x3 divideras med x. Resultatet skrivs på stolens rygg och kallas kvotterm eftersom den kommer att utgöra en term i kvoten.
3
Multiplicera kvottermen från steg 2 med nämnaren
expand_more Kvottermen från förra steget multipliceras nu med nämnaren i fråga. Det ger
x2(x−4)=x3−4x2.
4
Subtrahera produkten från steg 3 från täljaren
expand_more Produkten från föregående steg subtraheras nu från täljaren.
Förenklingen i sista steget kan kännas krånglig, men här förtydligas den. 
Uttrycket i liggande stolen kan nu tolkas som
x2x3−3x2+7x−2x−4
PolDivSub
Subtrahera x2⋅(x−4)=x3−4x2
x2x3−(x3−3x2−4x2)+7x−2x−4
RemoveParSigns
Ta bort parentes & byt tecken
x2x3−x3−3x2+4x2+7x−2x−4
SimpTerms
Förenkla termer
x2x2+7x−2x−4
Förenkla
x2+x−4x2+7x−2.
Eftersom täljaren i restbråket har högre grad än nämnaren kan man utföra steg 2, 3 och 4 igen. 5
Upprepa steg 2−4 tills täljaren har lägre gradtal än nämnaren
expand_more Steg 2−4 upprepas tills polynomet i täljaren har lägre gradtal än polynomet i nämnaren.
Täljaren har fortfarande inte lägre grad än nämnaren, så steg 2−4 utförs ytterligare en gång.
Talet 42 är av grad 0 (precis som alla konstanter), vilket blir tydligare om den skrivs 42x0. Därför är täljarens grad nu lägre än nämnarens och divisionen slutförd. När man utför liggande stolen på papper får man en uppställning som ser ut ungefär såhär. 
Resultatet av divisionen
x2x2+7x−2x−4
PolDivQuot
xx2=x
x2+xx2+7x−2x−4
PolDivSub
Subtrahera x⋅(x−4)=x2−4x
x2+xx2−(x2+7x−4x)−2x−4
RemoveParSigns
Ta bort parentes & byt tecken
x2+xx2−x2+7x+4x−2x−4
SimpTerms
Förenkla termer
x2+x11x−2x−4
x2+x11x−2x−4
PolDivQuot
x11x=11
x2+x+1111x−2x−4
PolDivSub
Subtrahera 11⋅(x−4)=11x−44
x2+x+1111x−(11x−2−44)x−4
RemoveParSigns
Ta bort parentes & byt tecken
x2+x+1111x−11x−2+44x−4
SimpTerms
Förenkla termer
x2+x+1142x−4
x−4x3+7x−2−3x2
är summan av kvoten och restbråket, dvs.
(x2+x+11)+x−442.
Exempel
Lös ekvationen med polynomdivision
x=2 är en rot till ekvationen
x3−19x+30=0.
Använd polynomdivision för att hitta de två andra rötterna. Visa Lösning expand_more
Att x=2 löser ekvationen innebär att det är ett nollställe till polynomet x3−19x+30. Enligt faktorsatsen kan nollstället användas för att skriva om polynomet som en produkt. Ekvationen blir då
Eftersom man får resten 0 går divisionen jämnt upp. Det bekräftar att x−2 är en faktor till polynomet. Vi ser nu att
(x−2)q(x)=0,
där q(x) är ett annat polynom. Om vi kan bestämma q(x) kan ekvationen lösas med nollproduktmetoden. Genom att likställa de två vänsterleden kan q(x) lösas ut.
x3−19x⇔ q(x)+30=(x−2)q(x)=x−2x3−19x+30
Polynomet q(x) kan alltså bestämmas med en polynomdivision.
x3−19x+30x−2
PolDivQuot
xx3=x2
x2x3−19x+30x−2
PolDivSub
Subtrahera x2⋅(x−2)=x3−2x2
x2x3−(x3−2x2)−19x+30x−2
RemoveParSigns
Ta bort parentes & byt tecken
x2x3−x3+2x2−19x+30x−2
SimpTerms
Förenkla termer
x22x2−19x+30x−2
PolDivQuot
x2x2=2x
x2+2x2x2−19x+30x−2
PolDivSub
Subtrahera 2x⋅(x−2)=2x2−4x
x2+2x2x2−(2x2−19x−4x)+30x−2
RemoveParSigns
Ta bort parentes & byt tecken
x2+2x2x2−2x2−19x+4x+30x−2
SimpTerms
Förenkla termer
x2+2x−15x+30x−2
PolDivQuot
x−15x=−15
x2+2x−15−15x+30x−2
PolDivSub
Subtrahera −15⋅(x−2)=−15x+30
x2+2x−15−15x−(−15x+30+30)x−2
RemoveParSigns
Ta bort parentes & byt tecken
x2+2x−15−15x+15x+30−30x−2
SimpTerms
Förenkla termer
x2+2x−15m0x−2
q(x)=x2+2x−15,
vilket kan sättas in i ekvationen.
(x−2)q(x)=0
SubstituteExpressions
Sätt in uttryck
(x−2)(x2+2x−15)=0
ZeroProdProp
Använd nollproduktmetoden
x−2=0x2+2x−15=0
Lösningen på den övre ekvationen är redan känd, x=2, så man kan fokusera på andragradsekvationen. Den kan lösas med pq−formeln.
x2+2x−15=0
x1=−5x2=3
Ekvationen x3−19x+30=0 har alltså rötterna x=−5, x=2 och x=3.
Polynomdivision
Övningar
På hur många olika sätt kan man avgöra om x=−3 är ett nollställe till ett polynom p(x)? Motivera!
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"P\u00e5","formTextAfter":"s\u00e4tt","answer":{"text":["2"]}}
security
report
code
security
report
code
Att x = - 3 är ett nollställe till p(x) betyder att man får 0 när man sätter in x=-3 och beräknar funktionsvärdet p(-3). Om det blir 0 är x=-3 ett nollställe, annars inte. Ett andra sätt utnyttjar faktorsatsen, som säger att om p(a) = 0 så är p(x) jämnt delbart med (x-a), alltså att polynomdivisionen l r p(x) & |lx-a har resten 0. För att testa om x = - 3 är ett nollställe kan man alltså utföra polynomdivisionen med nämnaren (x+3). Om resten är 0 vet vi att det är ett nollställe.
security
report
code
Ekvationen har en rot som är x=3. Hitta samtliga rötter.
x3−5x2−2x+24=0
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-2","3","4"]}}
x3−10x2+27x−18=0
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["1","3","6"]}}
security
report
code
security
report
code
Eftersom x=3 är ett nollställe till polynomet x^3-5x^2-2x+24 är (x-1), enligt faktorsatsen, en faktor i polynomet. Det betyder att (x-3)q(x)=x^3-5x^2-2x+24 ⇕ q(x)=x^3-5x^2-2x+24/x-3, där q(x) är ett andragradspolynom. Vi utför polynomdivisionen med liggande stolen.
Nu har vi bestämt polynomet q(x) och vill hitta rötterna till (x-3)(x^2-2x-8)=0. Den första faktorn ger nollstället x=3. Det känner vi redan till så vi löser ekvationen x^2-2x-8=0 för att hitta de andra.
Ekvationen x^3-5x^2-2x+24=0 alltså har rötterna x=-2, x=3 och x=4.
Vi gör på samma sätt och dividerar polynomet i vänsterledet med (x-3). Därefter bestämmer vi nollställena till det andragradspolynom som blir kvar.
Nu vill vi hitta rötterna till x^2-7x+6=0, och det kan vi göra med pq-formeln.
Ekvationen x^3-10x^2+27x-18=0 har rötterna x=1, x=3 och x=6.
security
report
code
Ekvationen z4−z3−z−1=0 har fyra rötter. En rot är z1=i och en annan rot är z2=−i. Vilka är de övriga rötterna?
Nationella provet VT02 MaE
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["i"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"z"},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["\\frac{1-\\sqrt{5}}{2}","\\frac{1+\\sqrt{5}}{2}"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi får veta att ekvationen har rötterna z_1=i och z_2=- i. Enligt faktorsatsen är då (x-i) och (x+i) faktorer i polynomet. Det betyder att man kan skriva det som en produkt av de två faktorerna samt ett sista polynom som vi kan kalla q(z). &(z+i)(z-i)q(z)=z^4-z^3-z-1 &⇔ q(z)=z^4-z^3-z-1/(z+i)(z-i) Nu kan vi förenkla nämnaren med konjugatregeln för att få en polynomdivision.
Nu har vi två polynom delat med varandra och kan då ställa upp dem med liggande stolen och utföra polynomdivisionen.
Kvoten till polynomdivisionen blir alltså z^2-z-1 och för att hitta de två sista rötterna använder vi pq-formeln på kvoten.
Ekvationens övriga rötter är alltså z= 1-sqrt(5)2 och z= 1+sqrt(5)2.
security
report
code
Utför polynomdivisionen.
x+2x5−3x3+5x2−12
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["x^4 - 2x^3 + x^2 + 3x - 6"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi ställer upp och genomför polynomdivisionen. Eftersom den blir så pass lång gäller det att hålla tungan rätt i mun och undvika misstag.
Svaret är alltså x^4 - 2x^3 + x^2 + 3x - 6.
security
report
code
Polynomdivision
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll