Begrepp

Coinus

Cosinus har många användningsområden och tolkningar inom trigonometrin, t.ex. som ett samband mellan sidor och vinklar i trianglar. För varje vinkel i en triangel finns det ett entydigt cosinusvärde och med hjälp av enhetscirkeln kan man även bestämma cosinusvärden för negativa vinklar samt vinklar större än 180180^\circ. Mer generellt är cosinus också en matematisk funktion.

Begrepp

Triangeldefinition

I rätvinkliga trianglar definierar man cosinus för en vinkel som förhållandet mellan längden på hypotenusan och längden på den närliggande kateten.

Rules CosinDefTisc 1a.svg

cos(v)=Nrliggande kateta¨Hypotenusa\cos{(v)}=\dfrac{\text{Närliggande katet}}{\text{Hypotenusa}}

Begrepp

Enhetscirkeln

För vinklar som inte finns i trianglar kan man använda enhetscirkeln för att tolka deras cosinusvärden. Varje vinkel i enhetscirkeln motsvarar en punkt på cirkelns rand. Cosinusvärdet för vinkeln går att läsa av som xx-koordinaten för denna punkt.

x=cos(v)x=\cos(v)

Begrepp

Funktion

Varje vinkel har exakt ett motsvarande cosinusvärde, vilket innebär att man kan tolka cosinus som en matematisk funktion: f(x)=cos(x). f(x)=\cos(x). Det går att beräkna ett cosinusvärde för alla vinklar x,x, vilket betyder att definitionsmängden för funktionen är alla reella tal. I enhetscirkeln kan man se att cosinus varierar mellan -1\text{-}1 och 11, så värdemängden för cos(x)\cos(x) är -1y1.\text{-}1\leq y \leq 1.

Begrepp

Graf

När cosinusvärdena varierar mellan -1\text{-}1 och 11 skapas ett periodiskt mönster: Värdena ökar från -1\text{-}1 till 00 för att fortsätta stiga upp till 11 och sedan sjunka ner till 00 och -1\text{-}1 igen. Mönstret upprepas därefter med perioden 2π2\pi.


Begrepp

Derivata

När man deriverar cos(x)\cos(x) får man -sin(x).\text{-}\sin(x). D(cos(x))=-sin(x) D(\cos(x))=\text{-}\sin(x) Man kan visa detta med derivatans definition.

Begrepp

Primitiv funktion

En primitiv funktion till cos(x)\cos(x) är sin(x).\sin(x). Regeln brukar skrivas D-1(cos(x))=sin(x)+C, D ^{\text{-}1}(\cos(x))=\sin(x)+C, där CC är en godtycklig konstant.

Begrepp

Invers funktion

För varje vinkel finns det ett cosinusvärde. Om man vill gå från cosinusvärde till vinkel använder man funktionen arcuscosinus, som brukar skrivas arccos.\arccos. Det finns dock oändligt många vinklar med samma cosinusvärde. Man måste därför välja vilken av dessa som arcusfunktionen ska beräkna då värdet sätts in. För arccos\arccos gäller intervallet 0v180eller0vπ 0^\circ \leq v \leq 180^\circ \quad \text{eller} \quad 0 \leq v \leq \pi beroende på om man använder grader eller radianer.

Begrepp

Cosinusvärden för standardvinklar

Med hjälp av bl.a. enhetscirkeln kan man härleda exakta cosinusvärden för några standardvinklar.

vv (grader) 00^\circ 3030^\circ 4545^\circ 6060^\circ 9090^\circ 120120^\circ 135135^\circ 150150^\circ 180180^\circ
vv (radianer) 00 π6\dfrac{\pi}{6} π4\dfrac{\pi}{4} π3\dfrac{\pi}{3} π2\dfrac{\pi}{2} 2π3\dfrac{2\pi}{3} 3π4\dfrac{3\pi}{4} 5π6\dfrac{5\pi}{6} π\pi
cos(v) \cos(v) 11 32\dfrac{\sqrt{3}}{2} 12\dfrac{1}{\sqrt{2}} 12\dfrac{1}{2} 00 -12\text{-}\dfrac{1}{2} -12\text{-}\dfrac{1}{\sqrt{2}} -32\text{-}\dfrac{\sqrt{3}}{2} -1\text{-}1
Begrepp

Samband med cosinus

Begrepp

Addition- och subtraktionsformler

Cosinusvärdet för en summa eller differens av två vinklar kan beräknas med sinus- och cosinusvärdena av de individuella vinklarna. cos(u+v)=cos(u)cos(v)sin(u)sin(v)cos(uv)=cos(u)cos(v)+sin(u)sin(v)\begin{aligned} \cos(u+v)=\cos(u)\cos(v)-\sin(u)\sin(v)\\ \cos(u-v)=\cos(u)\cos(v)+\sin(u)\sin(v) \end{aligned}

Begrepp

Dubbla vinkeln

Cosinusvärdet för en dubbel vinkel kan delas upp som differensen mellan cos2(v)\cos^2(v) och sin2(v).\sin^2(v). cos(2v)=cos2(v)sin2(v) \cos(2v)=\cos^2(v)-\sin^2(v) Formeln kan även uttryckas med enbart sinus eller cosinus. cos(2v)=12sin2(v)cos(2v)=2cos2(v)1\begin{aligned} \cos(2v)=1-2\sin^2(v)\\ \cos(2v)=2\cos^2(v)-1 \end{aligned}

Begrepp

Negativa vinklar

Cosinusvärdet för en negativ vinkel är samma som för motsvarande positiva vinkel. cos(-v)=cos(v) \cos(\text{-} v)=\cos(v)

Begrepp

Spegling i yy-axeln

När en vinkel speglas i yy-axeln byter cosinusvärdet tecken. cos(180v)=-cos(v)cos(πv)=-cos(v)\begin{aligned} \cos(180^\circ-v)=\text{-}\cos(v)\\ \cos(\pi-v)=\text{-}\cos(v) \end{aligned}

Begrepp

Komplexa tal

För ett komplext tal på formen a+bia+bi är realdelen a=cos(v)a=\cos(v) om vv är talets argument.

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}