Coinus

Cosinus har många användningsområden och tolkningar inom trigonometrin, t.ex. som ett samband mellan sidor och vinklar i trianglar. För varje vinkel i en triangel finns det ett entydigt cosinusvärde och med hjälp av enhetscirkeln kan man även bestämma cosinusvärden för negativa vinklar samt vinklar större än 180^(∘). Mer generellt är cosinus också en matematisk funktion.

I rätvinkliga trianglar definierar man cosinus för en vinkel som förhållandet mellan längden på hypotenusan och längden på den närliggande kateten.

För vinklar som inte finns i trianglar kan man använda enhetscirkeln för att tolka deras cosinusvärden. Varje vinkel i enhetscirkeln motsvarar en punkt på cirkelns rand. Cosinusvärdet för vinkeln går att läsa av som x-koordinaten för denna punkt.

Varje vinkel har exakt ett motsvarande cosinusvärde, vilket innebär att man kan tolka cosinus som en matematisk funktion: f(x)=cos(x). Det går att beräkna ett cosinusvärde för alla vinklar x, vilket betyder att definitionsmängden för funktionen är alla reella tal. I enhetscirkeln kan man se att cosinus varierar mellan -1 och 1, så värdemängden för cos(x) är -1≤ y ≤ 1.

När cosinusvärdena varierar mellan -1 och 1 skapas ett periodiskt mönster: Värdena ökar från -1 till 0 för att fortsätta stiga upp till 1 och sedan sjunka ner till 0 och -1 igen. Mönstret upprepas därefter med perioden 2π.

När man deriverar cos(x) får man -sin(x). D(cos(x))=-sin(x) Man kan visa detta med derivatans definition.

En primitiv funktion till cos(x) är sin(x). Regeln brukar skrivas D^(- 1)(cos(x))=sin(x)+C, där C är en godtycklig konstant.

För varje vinkel finns det ett cosinusvärde. Om man vill gå från cosinusvärde till vinkel använder man funktionen arcuscosinus, som brukar skrivas arccos. Det finns dock oändligt många vinklar med samma cosinusvärde. Man måste därför välja vilken av dessa som arcusfunktionen ska beräkna då värdet sätts in. För arccos gäller intervallet 0^(∘) ≤ v ≤ 180^(∘) eller 0 ≤ v ≤ π beroende på om man använder grader eller radianer.

Med hjälp av bl.a. enhetscirkeln kan man härleda exakta cosinusvärden för några standardvinklar.

Cosinusvärdet för en summa eller differens av två vinklar kan beräknas med sinus- och cosinusvärdena av de individuella vinklarna. cos(u+v)=cos(u)cos(v)-sin(u)sin(v) cos(u-v)=cos(u)cos(v)+sin(u)sin(v)

Cosinusvärdet för en dubbel vinkel kan delas upp som differensen mellan cos^2(v) och sin^2(v). cos(2v)=cos^2(v)-sin^2(v) Formeln kan även uttryckas med enbart sinus eller cosinus. cos(2v)=1-2sin^2(v) cos(2v)=2cos^2(v)-1

Cosinusvärdet för en negativ vinkel är samma som för motsvarande positiva vinkel. cos(- v)=cos(v)

När en vinkel speglas i y-axeln byter cosinusvärdet tecken. cos(180^(∘)-v)=-cos(v) cos(π-v)=-cos(v)

För ett komplext tal på formen a+bi är realdelen a=cos(v) om v är talets argument.