Metod

Lösa problem med integraler

Integraler kan användas för att lösa problem när något förändras, t.ex. för att beräkna sträckan en cyklist färdas under en cykeltur då farten varierar. Om cyklistens hastighet under en viss tid beskrivs med funktionen f(t)=0.5t0.002t2, f(t)=0.5t-0.002t^2, där tt är tiden i sekunder efter att cykeln börjar rulla och f(t)f(t) är hastigheten i m/s, kan man beräkna sträckan som cyklisten färdas de första 3030 sekunderna med en integral.

1

Bestäm integrationsgränser

Man ska beräkna sträckan under de 3030 första sekunderna dvs. på intervallet 0300-30 sekunder. Det betyder att integrationsgränserna är 00 och 30.30.

2

Ställ upp integralen

Hastighet beskriver en förändring av sträcka. Hastigheten 55 m/s innebär t.ex. att sträckan ökar med 55 meter varje sekund. Den totala sträckan beräknas därför med integralen av hastigheten. Sträckan under de 3030 första sekunderna ges då av 030(0.5t0.002t2)dt. \int_0^{30}\left(0.5t-0.002t^2\right)\, \text dt.

3

Beräkna integralen
För att beräkna integralen börjar man med att bestämma en primitiv funktion till f(t).f(t).
f(t)=0.5t0.002t2f(t)=0.5t-0.002t^2
F(t)=D-1(0.5t)D-1(0.002t2)F(t)=D^{\text{-}1}(0.5t)-D^{\text{-}1}\left(0.002t^2\right)
F(t)=0.5t22D-1(0.002t2)F(t)=\dfrac{0.5t^2}{2}-D^{\text{-}1}\left(0.002t^2\right)
F(t)=0.5t220.002t33F(t)=\dfrac{0.5t^2}{2}-\dfrac{0.002t^3}{3}
Nu kan man använda denna primitiva funktion för att beräkna integralen.
030(0.5t0.002t2)dt\displaystyle\int_{0}^{30}\left(0.5t-0.002t^2 \right) \, \text d t
[0.5t220.002t33]030\left[\dfrac{0.5t^2}{2}-\dfrac{0.002t^3}{3}\right]_0^{30}
0.530220.0023033(0.50220.002033)\dfrac{0.5\cdot{\color{#0000FF}{30}}^2}{2}-\dfrac{0.002\cdot{\color{#0000FF}{30}}^3}{3}-\left(\dfrac{0.5\cdot{\color{#009600}{0}}^2}{2}-\dfrac{0.002\cdot{\color{#009600}{0}}^3}{3}\right)
0.530220.0023033\dfrac{0.5\cdot{\color{#0000FF}{30}}^2}{2}-\dfrac{0.002\cdot{\color{#0000FF}{30}}^3}{3}
0.590020.002270003\dfrac{0.5\cdot900}{2}-\dfrac{0.002\cdot27\,000}{3}
0.54500.00290000.5\cdot450-0.002\cdot9000
22518225-18
207207
Integralens värde är 207.207.

4

Besvara frågan i uppgiften

Eftersom integralens värde är 207207 hinner cyklisten alltså 207 meter 207 \text{ meter} under de 3030 första sekunderna. Man kan kontrollera att det är en sträcka man har räknat ut. f(t)f(t) har enheten m/s och tt har enheten s. Det betyder att integralen får enheten mss=m. \dfrac{\text{m}}{\text{s}}\cdot \text{s}=\text{m}.

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}