1. Integraler och digitala verktyg
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 8
1.
Integraler och digitala verktyg
Denna lektion förklarar hur man kan använda digitala verktyg för att lösa integraler. Integraler används för att bestämma förändringen i processer som kan modelleras med funktioner som beskriver förändringshastigheter. Grafräknare har inbyggda funktioner för att beräkna integraler numeriskt. Man kan också använda Geogebra, som utför beräkningar algebraiskt och ger svar på exakt form. Dessa verktyg kan vara särskilt användbara när man arbetar med komplicerade integraler som kan vara svåra att lösa för hand.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 5 sidor teori |
| | 10 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Integraler och digitala verktyg
Sida av 5
Många processer i verkligheten kan modelleras med funktioner som beskriver förändringshastigheter. Om man känner till en sådan funktion kan man använda integraler för att bestämma förändringen. Exempelvis kan integralen
s=∫t1t2v(t)dt
beskriva körsträckan s för en bil, vars hastighet v varierar med tiden t. I det här fallet integreras hastighet över tid, vilket ger en sträcka. Mer generellt kan man bestämma integralens enhet genom att multiplicera enheterna för integranden och den variabel man integrerar med avseende på.Digitala verktyg
Beräkna integraler numeriskt med räknare
Grafräknare har flera inbyggda funktioner för att beräkna integraler numeriskt. Man kan t.ex. använda kommandot fnInt, som man hittar genom att trycka på MATH och gå näst längst ner i menyn.
∫03x2dx
på följande sätt. 
Det går också att beräkna integraler genom att först rita integrandens graf på räknaren.
När grafen är utritad trycker man på CALC (2nd + TRACE) och väljer alternativet ∫f(x)dx.
Räknaren ber då om en undre och en övre integrationsgräns. Man kan ange dessa antingen genom att stega sig fram till ett x-värde med piltangenterna eller genom att skriva in värdet direkt. När man valt den övre gränsen markeras området mellan grafen och x-axeln och värdet av integralen visas.
Exempel
Bestäm godiskonsumtionen
v=5sin(0.25t2)+5,
där v är antalet gram som äts per minut och t är hur många minuter som har gått sedan Sindre började äta. Bestäm hur många gram godis han äter under de första 8 minuterna. Svara i hela gram. Visa Lösning expand_more
Funktionen beskriver den hastighet som Sindre har när han äter godis. Om man integrerar den över de första 8 minuterna kommer man att få den totala mängden godis, m, som han äter under den perioden.
Integralens värde är ungefär 47. Det är viktigt att räknaren är inställd på radianer, annars får man fel svar. Enheten får vi genom att multiplicera enheterna för v och t:
m=∫08(5sin(0.25t2)+5)dt
Det här är inte en integral som vi kan beräkna algebraiskt med de regler och metoder som vi känner till. Därför måste vi använda grafräknaren. Vi trycker på knappen MATH och väljer sedan fnInt(i menyn). Vi skriver sedan in funktionen som vi vill integrera och vilken variabel vi ska integrera med avseende på. Det går bra att använda t, men om man tycker det är enklare går det också bra att byta ut t mot x. Efter variabeln skriver man in den undre gränsen, alltså 0, och sedan den övre, alltså 8.
mingram⋅min=gram.
Han åt alltså ungefär 47 gram godis under de första 8 minuterna.
Digitala verktyg
Beräkna integraler med Geogebra
Integraler kan beräknas med hjälp av Geogebra CAS kommando Integral. Om man skriver in ordet Integral på en tom rad får man upp flera förslag på hur kommandot kan användas.
De två första alternativen används för att bestämma primitiva funktioner. För det andra alternativet anger man även den variabel som uttrycket ska integreras med avseende på, vilket är nödvändigt om integranden innehåller fler än en obekant variabel.
Vill man istället beräkna värdet av en integral använder man det tredje eller fjärde alternativet. Det fjärde används då funktionen som integreras innehåller fler än en okänd.
Eftersom Geogebra CAS utför beräkningar algebraiskt behöver man inte representera tal med siffror. Det innebär t.ex. att man kan bestämma integralen
Kommandot Integral utför beräkningar algebraiskt och ger alltid svar på exakt form. Ibland kan dessa exakta svar bli mycket komplicerade. Då kan man istället räkna fram ett numeriskt värde på integralen med hjälp av kommandot NIntegral. Om man t.ex. vill beräkna integralen
Integral( <Funktion> )
Integral( <Funktion>, <Variabel> )
Integral( <Funktion>, <Från x>, <Till x> )
Integral( <Funktion>, <Variabel>, <Från>, <Till> )
Integral (cos(x))
→sin(x)+c1
Integral (3x2+5y4,x)
→5xy4+x3+c2
Integral (3x2,1,5)
→124
Integral (3x2+5y4,x,1,4)
→15y4+63
∫ab(kx+m)dx
på följande sätt.
Integral (k⋅x+m,x,a,b)
→2−a2k−2am+b2k+2bm
∫23(x⋅ln(6.3x0.45))dx
och svara på decimalform är det lämpligt att använda NIntegral. NIntegral (x⋅ln(6.3x0.45),x,2,3)
→5.64
Exempel
Beräkna integralen med Geogebra
∫πbcos3(w)dw.
Visa Lösning expand_more
Att bestämma en primitiv funktion till cos3(w) kan vara krångligt att göra för hand. Därför använder vi ett digitalt verktyg istället. Eftersom den övre integrationsgränsen inte är ett tal är Geogebra lämpligt — en vanlig räknare kan nämligen bara beräkna integraler om gränserna är tal. Vi använder kommandot
Integral (cos3(w),pi,b)
→31 (−sin3(b) + 3 sin(b))
31(−sin3(b)+3sin(b)).
Integraler och digitala verktyg
Uppgift 3.1
Abenayo arbetar som bartender och har ett 6-timmarsskift varje natt. Hur många kronor i dricks hon får i timmen kan beskrivas av funktionen
f(t)=−2t3+6t2−18t+216,
där t är tiden i timmar efter klockan 18.00. När bör hon starta sitt skift för att få så mycket dricks som möjligt? Nattklubben hon arbetar på öppnar klockan 18.00 och stänger klockan 6.00.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"Kl.","formTextAfter":null,"answer":{"text":["20.00"]}}
security
report
code
security
report
code
Funktionen beskriver hur mycket dricks Abenayo får per timme. Om vi integrerar den över arbetstiden kan vi beräkna hur mycket hon får ihop under ett skift. Vi vet dock inte när hon börjar, men om vi antar att hon börjar a timmar efter kl. 18.00 kan vi ställa upp en integral som beskriver hur mycket hon tjänar under natten. ∫_a^(a+6)(-t^3/2 + 6t^2 - 18t + 216 ) d t Eftersom hennes skift är 6 timmar långt integrerar vi från a till a + 6. Med hjälp av Geogebra kan vi nu bestämma ett uttryck för integralen.
Integral ( -t^3/2 + 6t^2 - 18t + 216,t,a,a+6 )
→ -3a^3+9a^2+1242
Abenayos dricks kan alltså beskrivas av uttrycket -3^3+9a^2+1242, där a är antalet timmar efter kl. 18.00 som hon börjar arbeta. Vi vill veta när denna funktion når sitt maximum, och det kan vi göra med hjälp av derivata. Vi börjar med att derivera vår dricksfunktion med avseende på a.
Derivera (-3a^3+9a^2+1242 )
→ -9a^2+18a
Nu vill vi veta när derivatan är 0, så vi löser ekvationen - a^2-18a=0. Det går bra att lösa den för hand men vi kan också använda Geogebra.
Lös (-9a^2+18a=0 )
→ {a=0,a=2}
Funktionen har stationära punkter där a=0 och a=2, men vi måste komma ihåg att funktionen även kan nå sitt maximum i någon av ändpunkterna. Abenayo kan inte börja före kl. 18.00, så a=0 är den vänstra ändpunkten. Eftersom hennes skift är 6 timmar och klubben stänger 6.00 kan hon inte heller börja senare än kl. 00.00. Vi ska därför jämföra dricksen för a=0, a=2 och a=6.
-3* 0^3+9*0^2+1242
→ 1242
-3* 2^3+9*2^2+1242
→ 1254
-3* 6^3+9*6^2+1242
→ 918
Funktionen har sitt största värde när a=2. För att få så mycket dricks som möjligt ska alltså Abenayo börja jobba två timmar efter kl. 18.00, dvs. kl. 20.00.
security
report
code
Integraler och digitala verktyg
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll