Beräkna Integraler: Både med GeoGebra och Miniräknare

Göran funderar på hur det känns att bada i nyponsoppa och bestämmer sig för att undersöka det. Han köper därför en plastpool som rymmer

7200

liter och börjar fylla den med nyponsoppa. Det tar lite tid så han roar sig med att formulera en funktion,

L (t),

som beskriver hur många liter nyponsoppa som fylls på per minut efter ett visst antal minuter

t

L (t) = 0.2 sin (200 t) + 3 .

Hur lång tid tar det för Göran att fylla hela poolen? Svara i timmar.

Funktionen L(t) anger hur snabbt poolen fylls i liter per minut, så om man integrerar den över tid får man den volym som poolen fyllts på med under det tidsintervall man integrerade över. Poolens volym är 7200 liter, så det är det resultatet vi är ute efter. Vi vet alltså vad värdet på integralen ska bli, men inte gränserna: ∫_a^b(0.2sin(200t)+3 ) d t =7200. När Göran börjar hälla har det gått 0 minuter så det är den undre gränsen, a=0. Nu har vi allt utom den övre gränsen. Det är den tid som har gått när Göran hällt ut 7200 liter nyponsoppa dvs. när poolen är fylld. Om vi bestämmer integralen i vänsterledet, ∫_0^b(0.2sin(200t)+3 ) d t , får vi en ekvation vi kan lösa. Vi använder Geogebra CAS och funktionen Integral.

Integral ( 0.2 sin(200t)+3, , b )

→ 3000b-cos(200b)+1/1000

Nu har vi ett algebraiskt uttryck vi kan byta ut integralen mot. Det ska vara lika med 7200, vilket ger oss ekvationen 3000b-cos(200b)+1/1000=7200. Den är ganska svår att lösa för hand och även Geogebra har svårt att lösa den algebraiskt, så vi löser den numeriskt istället. Då använder vi funktionen NLös.

NLös ( 3000b-cos(200b)+1/1000=7200 )

→ {b=2400}

Den övre integrationsgränsen blir alltså 2400. Det betyder att det tar 2400 minuter eller 2400/60=40 timmar för Göran att fylla poolen.

Integraler kan användas till mycket, bland annat för att beräkna längden av en kurva. Förutsatt att kurvan kan beskrivas av en deriverbar funktion

f (x)

som sträcker sig från

x = a

till

x = b

kan kurvans längd beräknas som

\int_{a}^{b} 1 + (f^{'} (x)^{2}) d x .

Tanishia märker till sin stora förskräckelse att hennes

10

cm långa ost har skivats till en "skidbacke". Tittar man på osten från sidan ser man att skidbacken följer kurvan

f (x) = 0.05 x^{2} - 0.7 x + 2.95 .

Använd metoden ovan för att beräkna den längsta möjliga ostskivan. Avrunda till en decimal.

Ost vars form kan representeras av en graf.

Vi kan se att den längsta möjliga ostskivan motsvarar längden av kurvan f(x)=0.05x^2-0.7x+2.95 från x=0 till x=10.

Det är därför lämpligt att använda den formel för kurvlängd vi fick presenterad i uppgiften: ∫_a^bsqrt(1+(f'(x)^2)) d x . Vi vet att den undre och övre gränsen är 0 respektive 10, och vi kan bestämma f'(x) genom att derivera f(x).

Längden av den längsta ostskivan ges alltså av integralen ∫_0^(10)sqrt(1+(0.1x-0.7)^2) d x . Denna integral är inte så lätt att beräkna för hand, men vi kan använda ett digitalt verktyg av något slag. Man kan t.ex. slå in integralen på räknaren.

Om man vill kan man istället använda Geogebra. Då väljer man kommandot NIntegral för att göra en numerisk integrering och få svaret i decimalform.

NIntegral ( sqrt((1+(0.1x-0.7)^2)),0,10 )

→ 10.58

Den längsta möjliga ostskivan är alltså ca 10.6 cm lång.

Företaget "Vilken soppa! AB" tillverkar olika soppor. Funktionen $p (t) = m - (r \cdot t + m^{- 1})^{- 1}$ beskriver produktionstakten för nyponsoppa i liter per timme. Konstanterna $r$ och $m$ är positiva tal och är beroende av nyponens vätskeinnehåll, och $t$ är tiden i timmar efter produktionsstart. Under en arbetsdag är kostnaden för att tillverka en liter nyponsoppa $k$ kr/liter under de första åtta timmarna och därefter är kostnaden $k + 2$ kr/liter.

Bestäm ett uttryck för hur mycket det kostar att driva produktionsanläggningen i

8

timmar.

Nästa måndag vill företagsledningen att produktionen skall köras två timmar extra eftersom "Vilken soppa! AB" har fått en stor order från Schweiz. Soppan har enligt ryktet blivit oerhört populär bland hamnarbetarna där. Bestäm ett uttryck för hur mycket det kostar att driva produktionsanläggningen de två sista timmarna denna dag.

Vi vet att produktionstakten ges av uttrycket p(t) = m-( r* t + m^(- 1) ) ^(- 1). Mängden producerad soppa får vi genom att integrera denna funktion över tiden. På 8 timmar produceras totalt ∫_0^8p(t) d t liter nyponsoppa. För att bestämma kostnaden för att driva produktionsanläggningen multiplicerar vi sedan med hur mycket det kostar att producera en liter soppa. Under de första 8 timmarna kostar det k kronor per liter och den sammanlagda kostnaden kan därför skrivas som k* ∫_0^8p(t) d t = ∫_0^8k* p(t) d t . För att bestämma ett uttryck för denna integral behöver vi använda Geogebra. Vi använder funktionen Integral(,,,) eftersom vi behöver förtydliga vilken variabel vi skall integrera över. Vi för in integranden, variabeln och integrationsgränserna i kommandot.

Integral (k* ( m - ( r* t+m^(- 1))^(- 1)), t, 0, 8 )

→ 8 k m r-k ln(|8 m r+1|)/r

Det uttryck vi får för de första 8 timmarna är alltså 8kmr-k* ln(|8mr+1|)/r. Men eftersom m och r är positiva konstanter är 8mr+1 alltid positivt. Det betyder att man inte behöver absolutbeloppstecknen, så vi tar bort dem. 8kmr-k* ln(8mr+1)/r

Under de extra två timmarna som produktionen körs blir kostnaden k+2 kronor per liter producerad nyponsoppa. Kostnaden för att driva produktionsanläggningen kan vi då skriva med uttrycket (k+2) * ∫_8^(10)p(t) d t . Innan vi skriver in detta i Geogebra skriver vi om det till ∫_8^(10)(k+2)* p(t) d t . Nu kan vi bestämma ett uttryck för de sista två timmarna av dagen och vi använder samma kommando som i förra deluppgiften. Vi skriver in funktionen, variabeln vi integrerar över och integrationsgränserna.

Integral ((k+2)* ( m - ( r* t+m^(- 1))^(- 1)), t, 8, 10 )

→ m^2 r (k+2) (-(8 m r-ln(|8 m r+1|))/m^2 r^2 + (10 m r-ln(|10 m r+1|))/m^2 r^2)

Geogebra är ett kraftfullt verktyg och kan, som vi ser här, lösa komplicerade problem. Men det har sina begränsningar. Svaret vi fick är nämligen mer komplicerat än det behöver vara. Vi förenklar det.

Nu har vi kommit fram till ett klart enklare uttryck. Vi kan dessutom göra ytterligare en förenkling som Geogebra inte kunde eftersom vi känner till att m och r båda är positiva. Absolutbeloppen behövs därför inte och vi kan skriva uttrycket som k+2/r* (2mr+ln ( 8mr+1/10mr+1 )).

När man upptäckte exoplaneten Xonus bodde det

7

miljoner Xonister där. Man valde att förflytta en miljon individer av den utrotningshotade fågeln Gyllene Flax till exoplaneten. Flaxarna stormtrivs på Xonus och antalet fåglar i miljoner kan beskrivas av

f (x) = \frac{sin ( 2 t ) + 2 t}{4} + 1

där

t

är antal år efter Xonus upptäcktes. Under samma tidsperiod förändras antalet Xonister enligt

g (x) = 4 cos (2 (t - 4)) sin (2 (t - 4)) - 0.5 miljoner / \overset{˚}{a} r .

Bestäm den tidpunkt då det finns en Flax för varje Xonist. Svara med en decimal.

Vi har två funktioner: f(t) som beskriver antalet Flaxar och g(t) som beskriver förändringstakten för Xonisterna. Om vi även kan bestämma en funktion som beskriver antalet Xonister kan vi sätta den lika med den som beskriver antalet Flaxar och hitta tidpunkten då de är lika stora. Eftersom funktionen g(t)=4cos(2(t-4))sin(2(t-4))-0.5 är en förändringshastighet bör man kunna bestämma en primitiv funktion till den som beskriver antalet Xonister vid en viss tidpunkt. Det är en ganska knölig funktion att bestämma en primitiv funktion till så vi använder Geogebra.

Integral (4cos(2(t-4))sin(2(t-4))-0.5 )

→ sin^2(2(t-4))-1/2t+c_1

Nu har vi alla primitiva funktioner, men för att hitta just den vi är ute efter måste vi bestämma konstanten c_1. Vi vet att när exoplaneten upptäcktes fanns det 7 miljoner Xonister där, vilket betyder att G(0)=7. Vi sätter in t = 0 och låter Geogebra lösa ut c_1 numeriskt.

NLös (sin^2(2(0-4))-1/2* 0+c_1=7)

→ {c_1=6.02}

Konstanten är alltså c_1=6.02. Eftersom ekvationen löstes numeriskt är antagligen 6.02 ett avrundat värde, men två decimaler duger bra för vårt ändamål. Nu vill vi veta när G(t) och f(t) är lika. Det ger oss en ekvation som vi låter Geogebra lösa.

NLös (sin^2(2(t-4))-1/2* t+6.02=sin(2t)+2t/4+1)

→ {x=5.39}

Ungefär 5.4 år efter att Xonus upptäcktes finns det alltså en Flax för varje Xonist.

Integraler och digitala verktyg

Beräkna integraler numeriskt med räknare

Exempel

Bestäm godiskonsumtionen

Beräkna integraler med Geogebra

Exempel

Beräkna integralen med Geogebra

Integraler och digitala verktyg

Rekommenderade uppgifter

	5 sidor teori
	10 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.