Funktioner och olikheter

Vi ska ta reda på för vilka x-värden g(x) antar funktionsvärden (y-värden) som är mindre än 3. Vi markerar därför det område i koordinatsystemet där y är mindre än 3. De sökta x-värdena motsvarar då x-koordinaterna i punkterna på grafen i detta område.

Den nedre gränsen är x=-3 och den övre x=4, men vi måste komma ihåg att g(x) är lika med 3 för dessa värden. De x-värden som gör att g(x) är mindre än 3 är därför alla x-värden mellan -3 och 4. Vi kan skriva mängden av dessa x-värden som ett intervall med hjälp av olikhetstecken: -3 < x < 4.

Här ska vi bestämma för vilka värden på x som f(x)-g(x)=0. Vi ska alltså avgöra vilka x som gör att man får resultatet 0 om man subtraherar funktionsvärdet g(x) från funktionsvärdet f(x). För att lättare förstå vad detta innebär grafiskt kan vi skriva om likheten på följande sätt. f(x)-g(x)=0 ⇔ f(x)=g(x) Vi letar nu efter de punkter i koordinatsystemet där funktionerna antar samma funktionsvärde, dvs. där graferna skär varandra.

Vi ser att det sker i punkterna där x-värdena är -2 och 4, så f(x)-g(x)=0 för x=-2 och x=4.

Att bestämma funktionen f innebär att vi ska bestämma värdet på k respektive m i funktionens allmänna form, f(x)=kx+m. Vi studerar ett villkor i taget för att se vilken information det ger om funktionen.

Första villkoret

För att använda likheten f(x+2)-f(x)=3 kan vi utnyttja att f(x)=kx+m. Vi ser direkt att f(x) kan skrivas som kx+m, och för att bestämma f(x+2) ersätter vi x med x+2 i funktionen.

Nu kan sätter vi in detta, samt f(x) i uttrycket och förenklar. Från första villkoret får vi alltså att k=1,5. Vi sätter in det i funktionen: y=1.5x+m. Nu återstår bara att bestämma värdet på m.

Andra villkoret

Här utgår vi från likheten f(4)=2m. Den betyder att om man sätter in x=4 i funktionen ska funktionsuttrycket bli 2m.

Till sist sätter vi in detta värde på m i funktionen och konstaterar att funktionen f är f(x)=1,5x+6.

y≥1 betyder alla y som är större än eller lika med 1. Vi börjar med att titta på när y är lika med 1. Det motsvaras av en vågrät linje.

Alla punkter där y är större än 1 befinner sig ovanför denna linje.

Linjen och det markerade området representerar y≥ 1. Därför är det korrekta svaret alternativet B.

För att a+b ska bli så stort som möjligt ska a och b anta sina största värden. Det är 3 och 8, vilket ger 3+8=11. För att a+b ska bli så litet som möjligt vill vi att a och b ska bli så små som möjligt. Det minsta värdet som a kan anta är -2 och det minsta som b kan anta är 1. Det ger det minsta värdet -2+1=-1. Slutsatsen blir att a+b varierar mellan -1 och 11, vilket vi kan skriva som -1≤ a+b≤ 11.

Största värdet

Ett bråk blir så stort som möjligt om täljaren är så stor som möjligt och nämnaren är så liten som möjligt. Det betyder att det största värdet ab kan anta är 31=3.

Minsta värdet

När blir ett bråk så litet som möjligt? För positiva bråk gäller det omvända mot ovan, dvs. när täljaren så liten som möjligt och nämnaren är så stor som möjligt. Men eftersom vi kan göra bråket negativt måste vi tänka tvärtom. Vi kan tänka att vi skapar ett så stort negativt bråk som möjligt. Exempelvis är -100/2 mindre än -3/2. Det är bara täljaren a som kan göra bråket negativt. För att a ska vara så stort och negativt som möjligt sätter vi a=-2. Därefter sätter vi in det minsta värdet på b, som är 1, och får då -2/1=-2. Sammanfattningsvis får vi intervallet -2≤a/b≤3.

Största värdet

För att a^2+b^2 ska bli så stort som möjligt måste a^2 och b^2 vara så stora som möjligt. Det blir de om man sätter in de största värdena på a och b.

Minsta värdet

För att a^2+b^2 ska bli så litet så möjligt ska a^2 och b^2 vara så små som möjligt. För b, som endast kan vara positivt, väljer vi det minsta värdet b kan anta dvs. 1. Alltså blir termen b^2 lika med 1^2=1. Gäller samma sak för a? Nej, det minsta värdet på a är -2 och det kommer att bli 4 om vi tar det i kvadrat. Ett tal i kvadrat aldrig kan bli negativt, och därför är 0 vårt bästa val då a^2=0. Det betyder att a^2+b^2≥0^2+1^2=1. Uttrycket varierar alltså mellan 1 och 73, vilket vi skriver som 1≤ a^2+b^2≤73.