body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Mitt konto

Kurs 2a Visa detaljer

1. Funktioner och olikheter

Fortsätt till nästa lektion

Lektion

Övningar

Tester

eKurser /

Matematik 2a /

Kapitel 2

Funktioner och olikheter

Funktioner och olikheter är centrala koncept inom matematiken. En funktion är en omvandlingsregel som tar ett värde, bearbetar det enligt en viss regel och ger tillbaka ett nytt värde. Olikheter är liknande, men istället för att ge ett exakt värde, ger de ett intervall av möjliga värden. Att kunna rita och tolka grafer för dessa funktioner och olikheter är en viktig färdighet. Detta kan vara mycket användbart för att förstå hur funktioner och olikheter beter sig och hur de relaterar till varandra. Man kan också använda en graf för att hitta funktionens värde för ett visst argument. Att förstå och kunna använda funktioner och olikheter är en viktig del av matematikundervisningen.

Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	8 sidor teori
	18 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Funktioner och olikheter

Sida av 8

Koncept

Funktion

En funktion är en regel som tar ett inputvärde och kopplar det till exakt ett outputvärde. Inputvärdet betecknas vanligtvis med

x

medan outputvärdet betecknas med

y .

I detta fall sägs det att

y

är en funktion av

x

eller att

y

beror på

x .

Betrakta till exempel följande funktion.

y = regel x + 3

Regeln här är att addera

3

till varje input. Om input är

x = 2,

är output

y = 2 + 3 = 5 .

Funktioner brukar vanligtvis kallas

f,

g,

och

h,

men vilken bokstav som helst kan användas.

f(x)=y. Bokstaven f är funktionsnamnet. Bokstaven x är indata. Bokstaven y är utdata.

Det tidigare uttrycket läses som $f$ av $x$ är lika med $y .$ Detta sätt att skriva en funktion kallas funktionsnotation. En funktion kan representeras med hjälp av en ekvation, en tabell, eller en graf.

Representationer av en funktion (Ekvation, tabell, graf)

Koncept

Funktionsvärde

Ett funktionsvärde är utvärdet ( $y -$ värdet) man får från en funktion, givet ett visst invärde. Man kan t.ex. beräkna det genom att sätta in ett $x -$ värde i en funktion. I en graf kan man läsa av funktionsvärdet på $y -$ axeln.

Exempel

Vad är funktionsvärdet?

Nedan syns grafen till funktionen $g (x) = 2 x - 5 .$

a Bestäm

g (4) .

b Bestäm

g (300) .

Ledtråd

a Använd grafen.

b Substituera

x -

värdet i funktionsuttrycket.

Lösning

a För att bestämma

g (4)

utgår vi från

x = 4

på

x -

axeln och går rakt uppåt till vi når grafen. Där läser vi av funktionsvärdet på

y -

axeln.

Funktionsvärdet är

3

när

x = 4,

så

g (4) = 3 .

b Grafen är enbart uppritad för relativt små

x

så vi kan inte bestämma

g (300)

grafiskt. Istället räknar vi ut det genom att sätta in

x = 300

i funktionsuttrycket.

g (x) = 2 x - 5

Substitute

$x = 300$

g (300) = 2 \cdot 300 - 5

Multiply

Multiplicera faktorer

g (300) = 600 - 5

SubTerm

Subtrahera term

g (300) = 595

De funktionsvärdet är $g (300) = 595 .$

Koncept

Nollställe

En funktions nollställen anger de

x -

värden som gör att funktionsvärdet blir

0 .

Nollställen kan bestämmas algebraiskt genom att man sätter funktionsuttrycket lika med

0

och löser ekvationen.

f (x) = 0

Grafiskt motsvarar det de

x -

värden där grafen skär

x -

axeln, eftersom

y

är

0

längs hela

x -

axeln. Exempelvis har funktionen

y = x^{2} - 4

två nollställen eftersom dess graf skär

x -

axeln två gånger.

Exempel

Bestäm nollstället algebraiskt

Bestäm nollstället till funktionen

y = 0, 5 x + 6 .

Ledtråd

Ställ in funktionsuttryck lika med $0$ och lös ekvationen för $x .$

Lösning

Nollställen är de $x -$ värden där $y$ är lika med $0 .$ Vi låter därför $y$ vara $0$ och löser ekvationen.

y = 0, 5 x + 6

Substitute

$y = 0$

0 = 0, 5 x + 6

SubEqn

$VL - 6 = HL - 6$

- 6 = 0, 5 x

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

0, 5 x = - 6

MultEqn

$VL \cdot 2 = HL \cdot 2$

x = - 12

Funktionen har alltså nollstället

x = - 12 .

Digitala verktyg

Rita grafer med räknare

Följ dessa steg för att rita grafer på räknaren.

Ange funktionsregeln

Tryck först på knappen $Y =$ och skriver sedan in funktionsuttrycken på raderna $Y_{1},$ $Y_{2}$ osv. Använd knappen $X, T, θ, n$ för att skriva $x .$ Om en funktion börjar med ett minustecken måste man trycka på $(-)$ och inte $- .$

Rita grafen

För att rita upp grafen trycker man på $GRAPH .$ Om grafen inte syns kan man behöva ändra inställningarna för koordinatsystemet.

Utforska grafen

Genom att trycka på $TRACE$ kan man läsa av $x -$ och $y -$ värde för någon punkt på grafen. Om man vill flytta markören och läsa av andra punkter använder man höger- och vänsterpilarna. Med uppåt- och nedåtpilarna byter man graf om det finns fler än en inritad.

Man kan också själv sätta in ett $x -$ värde och låta räknaren beräkna $y -$ värdet genom att trycka på $2 ND$ och $TRACE$ och välja value.

Nu kan man välja vilket $x -$ värde man är intresserad av.

Trycker man på $ENTER$ visas funktionens $y -$ värde för detta $x -$ värde och markören ställer sig även där.

Extra

Rita flera grafer

Om man vill rita fler grafer går man tillbaka till funktionsfönstret $Y =$ och skriver in dem på nya rader. Byt rad med $ENTER .$

Om man nu trycker på $GRAPH$ kommer alla funktioner man skrivit in att ritas upp.

Man kan också välja bort funktioner genom att flytta markören till likhetstecknet och trycka på $ENTER .$

Om man nu trycker på $GRAPH$ kommer endast $Y_{1}$ och $Y_{3}$ att ritas upp i koordinatsystemet.

För att välja tillbaka $Y_{2}$ trycker man på likhetstecknet en gång till.

Koncept

Olikhet

Olikheter används för att ange hur tal eller uttryck förhåller sig till varandra, och för att beskriva intervall. De känns igen på att man använt något av tecknen i tabellens vänsterkolumn.

Tecken	Betyder	Exempel
$<$	Är mindre än	$3 < 4$
$\leq$	Är mindre än eller lika med	$x \leq 2$
$>$	Är större än	$4 > 3$
$\geq$	Är större än eller lika med	$x \geq 0$

Den sista olikheten,

x \geq 0,

säger att

x

är noll eller positivt.

Exempel

Sätt in rätt tal i olikheten

Vilka av talen

- 7,

- 2,

0,

4

och

9

kan man sätta in istället för

x

så att olikheten är sann?

x > - 3, 5

Ledtråd

Vilka tal är större än $- 3, 5 ?$

Lösning

I olikheten representerar

x : et

de tal som är större än

- 3, 5,

så vi frågar oss vilka av de givna talen som är det. Talet

0

och positiva tal är alltid större än negativa tal så dessa kan sättas in istället för

x .

Negativa tal blir mindre ju mer negativa de är. Det betyder att

- 7

är mindre än

- 3, 5,

medan

- 2

är större. Sammanfattningsvis kan alltså talen

- 2, 0, 4 och 9

sättas in istället för

x

i olikheten.

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Funktioner och olikheter

Övningar

Beräkna $f (3)$ om $f (x) = 9 + x^{2} .$

Nationella provet HT13 2a

Uttrycket f(3) innebär att att vi ska beräkna funktionsvärdet när x=3.

När x=3 är alltså f(x)=18.

Bestäm

f (3)

f (x) = 3 x^{2} - 2 x + 5 .

f(3) betyder funktionens värde när x=3. Vi beräknar det genom att sätta in x=3 i funktionsuttrycket.

Funktionsvärdet f(3) är alltså 26.

I koordinatsystemet visas graferna till funktionerna $f (x),$ $g (x)$ och $h (x) .$

Bestäm nollställena till funktionen.

f (x)

g (x)

h (x)

Nollställen kan tolkas grafiskt som de x-värden där en graf skär x-axeln, eftersom y är 0 där. Vi ser att grafen till f(x) skär x-axeln på två ställen: där x är -2 och 5.

Det innebär att funktionen f(x) har nollställena x=-2 och x=5.

Nollställen kan tolkas grafiskt som de x-värden där en graf skär x-axeln, eftersom y är 0 där. Grafen till g(x) skär x-axeln endast där x är 1.

Funktionen g(x) har alltså nollstället x=1.

Nollställen kan tolkas grafiskt som de x-värden där en graf skär x-axeln, eftersom y är 0 där. På samma sätt som tidigare kan vi se att funktionen h(x) har nollställena x=-4, x=3 och x=8.

En funktion beskrivs av

g (x) = \frac{2 x}{5} - 3

Bestäm

g (5) .

Lös ekvationen

g (x) = 5 .

I vilken punkt skär funktionens graf

y

-axeln?

Hur mycket ökar funktionsvärdet om

x

-värdet ökar med 1?

Uttrycket g(5) innebär att vi ska beräkna funktionsvärdet när x=5. Vi ersätter alltså x med 5 och förenklar.

När x=5 är funktionsvärdet -1.

Ekvationen g(x)=5 innebär att vi ska bestämma vilket x som ger funktionsvärdet 5. Vi likställer alltså funktionsuttrycket med 5 och löser ut x.

g(x)=5 när x=20.

Grafen skär y-axeln då x=0, dvs. den skär i (0, ?). Om vi sätter in x=0 i funktionsuttrycket får vi reda på y-koordinaten.

Funktionens graf skär alltså y-axeln i punkten (0,-3).

Nu ska vi beräkna några värden, så därför skriver vi om 25 till 0.4: g(x)=2/5x-3 ⇔ g(x)=0.4x-3. Vi sätter in några x-värden med avståndet 1, t.ex. 0,1,2,3.

x	0.4x-3	g(x)	Ökning
0	0.4 * 0-3	-3
1	0.4 * 1-3	-2.6	0.4
2	0.4 * 2-3	-2.2	0.4
3	0.4* 3-3	-1.8	0.4

Sammanfattningsvis ser vi alltså att funktionsvärdet ökar med 25 eller 0.4 för varje steg i x-led.

En linjär funktion beskrivs av funktionsuttrycket $y = 3 x - 2 .$

Beräkna

y

när

x = 0 .

Beräkna

y

när

x = - 2 .

Lös ekvationen

y = 7 .

Vi sätter in x = 0 och beräknar. Kom ihåg att multiplikation ska beräknas före subtraktion.

När x = 0 är y = -2. Vill vi kan vi tolka detta som att linjen skär y-axeln i punkten (0,-2).

Vi beräknar funktionsvärdet när x = -2.

När x = -2 är y = -8. Detta kan vi tolka som att linjen går igenom punkten (-2,-8).

Att lösa ekvationen y = 7 innebär att vi ska ersätta y med 7 och bestämma x-värdet när funktionsvärdet är 7.

När x = 3 är y = 7. Detta betyder att linjen går igenom punkten (3,7).

Bestäm funktionens nollställe(n).

y = 7 x + 1.4

y = 2.3 x - 6.9

y = 18 x + 216

Nollställen är de x-värden där y är lika med 0. Vi låter därför y vara 0 och löser ekvationen.

Funktionen har alltså nollstället x=-0.2.

Vi gör på samma sätt igen, dvs. sätter in y=0 och löser ekvationen.

Funktionen har nollstället x=3.

Vi gör på samma sätt en gång till.

Funktionen har nollstället x=-12.

Skriv som olikheter.

Alla

x

större än

5 .

Alla

y

större än

- 2

och mindre än eller lika med

8 .

Vi ska skriva alla x större än 5, så vi kan börja med x ? 5. Vad ska det stå mellan x och 5? x ska vara större än 5, så gapet på olikhetstecknet ska riktas mot x:et. Vi får därför x>5.

Börja med att sätta ut det minsta värdet till vänster och det största till höger och y i mitten: -2 ? y ? 8. Vad ska stå istället för frågetecknen? När man skriver upp det på det här sättet ska olikhetstecknen vara < eller ≤. y ska vara mindre än eller lika med 8 och därför är ska det olikhetstecknet ha ett streck under. Samtidigt ska -2 vara strikt mindre än y. Det ger oss ett olikhetstecken utan streck. Vi får alltså -2< y≤8.

Använd räknaren.

Rita funktionerna

y y y y = x^{2} + 3 x - 6, = - 0.7 x - 2, = 5 x = 4

i samma koordinatsystem.

Rita endast funktionen $y = x^{2} + 3 x - 6$ i koordinatsystemet, utan att radera övriga funktioner från plot-listan.

Rita alla funktioner utom $y = x^{2} + 3 x - 6,$ men radera inte denna från plot-listan.

Börja med att trycka på knappen Y= för att skriva in funktionerna på räknaren.

För att rita graferna trycker man på knappen GRAPH. Om graferna inte syns kan du behöva ändra koordinatsystemets inställningar.

För att rita endast en av funktionerna ska vi avmarkera likhetstecknet i plot-listan för alla grafer utom den vi vill rita. Vi gör det genom att först trycka på knappen Y= så att vi ännu en gång kommer till plotlistan. Där placerar vi markören på de likhetstecken som finns på raderna med funktioner som inte ska ritas ut och trycker på ENTER.

Vi trycker på GRAPH igen, och ser att endast y=x^2+3x-6 ritas ut.

Vi går ännu en gång in i plot-listan, men denna gång ska endast y=x^2+3x-6 vara avmarkerad.

Tryck på GRAPH.

Bestäm funktionsvärdet $y$ för följande $x$ -värden för funktionen $y = x^{2} + 2 .$ Använd räknarens "value"-funktion. Svara med alla decimaler.

x = 1

x = 3.25

x = - 1.75

Vi börjar med att rita grafen på räknaren och trycker då på knappen Y=, där funktionen skrivs in.

Sedan trycker vi på GRAPH.

För att beräkna funktionsvärdet då x=1 trycker vi nu på CALC (2nd + TRACE) och väljer value.

Nu kan vi välja vilket x-värde vi är intresserad av.

Trycker vi på ENTER visas funktionens y-värde för detta x-värde och markören ställer sig också där.

Vi ser alltså att funktionsvärdet är 3 när x=1.

Vi gör på samma sätt som i föregående deluppgift och ser att funktionsvärdet är 12.5625.

Även nu använder vi value-funktionen.

Vi ser att funktionsvärdet är 5.0625.

Funktioner och olikheter

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.