Funktioner och olikheter

En ekvation kan ha en eller flera rötter som gör att det som står i vänster- och högerledet får samma värde. T.ex. har ekvationen 3x-9=0 roten x=3 eftersom båda led blir 0 när man satt in detta värde i ekvationen. En funktion däremot beskriver ett samband mellan två eller flera variabler. Funktionen f(x)=3x-9 kan anta olika värden beroende på vilket x man sätter in. I en funktion beror alltså f(x) på vilket x man sätter in, medan en ekvation kan ha ett eller flera bestämda x som löser ekvationen.

Ekvation betyder likhet. Det innebär att den måste innehålla ett likhetstecken, och att höger- och vänsterled måste vara lika stora. I en olikhet måste inte detta gälla, och därför använder vi olikhetstecken. T.ex. är 3 mindre än 4, vilket vi kan skriva som 3 < 4. Detta är ingen likhet eftersom leden inte är lika stora.

Ett exempel på ett algebraiskt uttryck är 4x^2+3x, och som vi kan se saknar det likhetstecken. I en funktion finns däremot ett likhetstecken som visar att det finns ett samband mellan variabler, t.ex. mellan y och x: y=4x^2+3x.

En funktion beskriver ett samband mellan minst två variabler. I B och D finns det bara en variabel så ingen av dem är funktioner. Däremot beskriver både A och C ett samband mellan variablerna x och y, till och med samma samband. Den enda skillnaden är hur funktionsvärdet anges: y respektive f(x). Vi kan alltså konstatera att A ochC är funktioner.

Att uppskatta f(2) innebär att vi ska uppskatta funktionsvärdet (y-värdet) där x=2. Det gör vi genom avläsning i grafen. Vi utgår då från x=2 på x-axeln och går upp mot grafen. När vi träffar grafen läser vi av funktionsvärdet på y-axeln.

Funktionsvärdet verkar ligga ungefär mittemellan 0 och 1 så f(2)≈ 0,5.

För att lösa ekvationen f(x)=-6 behöver vi bestämma de x-värden där funktionsvärdet är -6. Vi markerar punkterna på grafen där y=-6 och läser av x-värdena.

Vi ser att funktionsvärdet är -6 när x=-3 och x=7, så dessa x-värden är ekvationens lösningar.

Nu ska vi avgöra om f(-5)=f(1)=f(3)=f(9), dvs. om funktionsvärdena för x-värdena -5, 1, 3 och 9 är samma. Vi markerar därför dessa x-värden på grafen och ser om y-värdena i dessa punkter är lika.

Vi ser att y-värdet är 0 i alla punkter, så det stämmer att f(-5)=f(1)=f(3)=f(9). x-värdena i fråga är alltså funktionens nollställen.

y≥1 betyder alla y som är större än eller lika med 1. Vi börjar med att titta på när y är lika med 1. Det motsvaras av en vågrät linje.

Alla punkter där y är större än 1 befinner sig ovanför denna linje.

Linjen och det markerade området representerar y≥ 1. Därför är det korrekta svaret alternativet B.

För att bestämma f(x) måste vi ta reda på konstanterna a och b. Vi vet att funktionen har nollstället x=-1,5, dvs. att f(x) är 0 där x=-1,5. Sätter vi in detta i f(x)=ax+b får vi ekvationen 0=-1,5a+b (I). Vi numrerar den för att lättare kunna hänvisa till den senare. Ekvationen innehåller två okända så vi kan inte lösa den, men vi har hjälp av att grafen till f(x) går genom (-2, -1). Detta betyder att funktionen antar funktionsvärdet -1 där x=-2. Sätter vi in detta i f(x) får vi en till ekvation: -1=-2a+b (II). Vi strukturerar om ekvation II så att en av de okända står själv i ena ledet, t.ex. så att b blir ensam i vänsterledet.

Den okända konstanten b kan alltså uttryckas -1+2a. Genom att ersätta b:et i ekvation I med detta uttryck får vi en ekvation med bara en okänd: 0=-1,5a+(-1)+2a. Denna kan vi lösa som vanligt.

Att a=2 använder vi nu för att bestämma värdet på b, som vi sett kan uttryckas b=-1+2a.

Nu vet vi att a=2 och b=3, och kan sätta in det i f(x)=ax+b för att få f(x): f(x)=2x+3.