Deriverbarhet

a Vi behöver undersöka funktionen vid

x = 1 .

f_{+}^{'} (1) = h \to 0^{+} lim \frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 )}{h}

Eftersom den högra derivatan av en funktion innebär att vi närmar oss punkten från höger sida, ska vi använda den första raden i funktionen. Med det i åtanke, låt oss beräkna

f (1 + h)

och

f (1) .

f (x) = x^{2} + x

▼

Sätt in

1 + h = x

och förenkla

SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

f (1 + h) = (1 + h)^{2} + 1 + h

ExpandPosPerfectSquare

Utveckla med första kvadreringsregeln

f (1 + h) = 1 + 2 h + h^{2} + 1 + h

AddTerms

Addera termer

f (1 + h) = h^{2} + 3 h + 2

Vi kommer också att hitta

f (1) .

f (x) = x^{2} + x

▼

Sätt in

1 = x

och beräkna

Substitute

$x = 1$

f (1) = (1)^{2} + 1

BaseOne

$1^{a} = 1$

f (1) = 1 + 1

AddTerms

Addera termer

f (1) = 2

Dessa värden sätts sedan in för att beräkna gränsvärdet.

f_{+}^{'} (1) = h \to 0^{+} lim \frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 )}{h}

SubstituteII

$f (1 + h) = h^{2} + 3 h + 2$ och $f (1) = 2$

f_{+}^{'} (1) = h \to 0^{+} lim \frac{h ^{2} + 3 h + 2 - 2}{h}

▼

Beräkna högerled

SubTerm

Subtrahera term

f_{+}^{'} (1) = h \to 0^{+} lim \frac{h ^{2} + 3 h}{h}

FactorOut

Bryt ut $h$

f_{+}^{'} (1) = h \to 0^{+} lim \frac{h ( h + 3 )}{h}

SimpQuot

Förenkla kvot

f_{+}^{'} (1) = h \to 0^{+} lim h + 3

$h \to 0$

f_{+}^{'} (1) = 0 + 3

AddTerms

Addera termer

f_{+}^{'} (1) = 3

b Vi kommer nu att beräkna den vänstra derivatan.

f_{-}^{'} (1) = h \to 0^{-} lim \frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 )}{h}

Observera att

1 + h

är mindre än

1 .

Det betyder att vi behöver använda uttrycket på andra raden i den givna funktionen.

f (x) = 2 x

▼

Sätt in

1 + h = x

och förenkla

Substitute

$x = - 2.5 + h$

f (1 + h) = 2 (1 + h)

Distr

Multiplicera in $2$

f (1 + h) = 2 + 2 h

RearrangeTerms

Omarrangera termer

f (1 + h) = 2 h + 2

Vi vet redan att

f (1) = 2 .

Dessa värden sätts in i uttrycket för att bestämma det vänstra gränsvärdet.

f_{-}^{'} (1) = h \to 0^{-} lim \frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 )}{h}

SubstituteII

$f (- 2.5 + h) = 2 h + 2$ och $f (1) = 2$

f_{-}^{'} (1) = h \to 0^{-} lim \frac{2 h + 2 - 2}{h}

▼

Beräkna högerled

SubTerm

Subtrahera term

f_{-}^{'} (1) = h \to 0^{-} lim \frac{2 h}{h}

SimpQuot

Förenkla kvot

f_{-}^{'} (1) = h \to 0^{-} lim 2

LimConst

$x \to a lim C = C$

f_{-}^{'} (1) = 2

b Vi har beräknat att värdet på den högra derivatan är

3

och värdet på den vänstra derivatan är

2 .

f_{+}^{'} (1) = 3 f_{-}^{'} (1) = 2 \Rightarrow f_{+}^{'} (1) \neq = f_{-}^{'} (1)

Eftersom värdena inte är lika, existerar inte derivatan av funktionen vid

x = 1 .

{{ article.displayTitle }}

Förkunskaper

Närmar sig från vänster och höger

Högerderivata

Vänsterderivata

Beräkna vänster- och högerderivatan

Ledtråd

Lösning

Utforska egenskaper hos funktioner

Är funktionen deriverbar?

Ledtråd

Lösning

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}