2. Avstånds- och mittpunktsformlerna
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 5
3.
Avstånds- och mittpunktsformlerna
Denna lektion fokuserar på att lösa geometriska problem med hjälp av punkter och geometriska figurer som ritats in i koordinatsystem. Den förklarar hur man kan beräkna avståndet och mittpunkten mellan två punkter med hjälp av deras koordinater. Detta görs genom att använda avståndsformeln för att beräkna avståndet och mittpunktsformeln för att bestämma mittpunkten. Lektionenen inkluderar exempel och förklaringar som illustrerar hur dessa formler kan användas i praktiken, vilket gör det lättare att förstå och tillämpa dessa koncept.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 4 sidor teori |
| | 21 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Avstånds- och mittpunktsformlerna
Sida av 4
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Avståndsformeln
- Mittpunktsformeln
Förkunskaper
Regel
Avstånds- och mittpunktsformlerna
För två punkter (x1,y1) och (x2,y2) i ett koordinatsystem kan avståndet
, d, mellan dem beräknas med avståndsformeln.
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2
Mittpunkten, (xm,ym), mellan samma punkter bestämmer man med mittpunktsformeln.
xm=2x1+x2ochym=2y1+y2
Exempel
Bestäm avståndet och mittpunkten mellan punkterna
Observera koordinatsystemet.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.69444em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">d<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["16,97"]}}
b Bestäm också mittpunktens koordinater.
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text1":"0","text2":"-2"}}
Ledtråd
a Läs av punkternas koordinater i rutnätet och använd sedan avståndsformeln.
b För att hitta mittpunkten, ta medelvärdet av punkternas x-koordinater och y-koordinater.
Lösning
a Vi börjar med att läsa av punkternas koordinater.
d=(x2−x1)2+(y2−y1)2
SubstitutePoints
Sätt in (−6,4) & (6,−8)
d=(−6−6)2+(4−(−8))2
SubTerm
Subtrahera term
d=(−12)2+(4−(−8))2
SubNeg
a−(−b)=a+b
d=(−12)2+122
CalcPow
Beräkna potens
d=144+144
AddTerms
Addera termer
d=288
UseCalc
Slå in på räknare
d=16,970562…
RoundDec
Avrunda till 2 decimal(er)
d≈16,97
b Nu använder vi mittpunktsformeln för x- och y-koordinaterna.
xm=2x1+x2
SubstituteII
x1=−6 och x2=6
xm=2−6+6
AddTerms
Addera termer
xm=20
CalcQuot
Beräkna kvot
xm=0
ym=2y1+y2
SubstituteII
y1=4 och y2=−8
ym=24+(−8)
AddNeg
a+(−b)=a−b
ym=2−4
CalcQuot
Beräkna kvot
ym=−2
Övning
Öva på att hitta avstånd och mittpunkt mellan punkter
Avstånds- och mittpunktsformlerna
Övningar
En triangel ABC har hörn i punkterna
A=(−2,2),B=(6,6),C=(−6,10).
Är triangeln rätvinklig? Motivera ditt svar.
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
För att avgöra om triangeln är rätvinklig kan vi använda Pythagoras sats. Om den gäller är triangeln rätvinklig. Men för att använda den behöver vi triangelns sidlängder. Vi beräknar dem med avståndsformeln.
Sträckan AB
Sträckan AB är sqrt(80) le.
Sträckan AC
Sträckan AC är också sqrt(80) le.
Sträckan BC
Hypotenusan i en rätvinklig triangel är alltid den längsta sidan så om triangeln är rätvinklig är sqrt(160) le. hypotenusan. Vi sätter in våra värden i Pythagoras sats och undersöker om likheten stämmer.
När vi sätter in sidlängderna i Pythagoras sats blir leden lika stora, så triangeln måste vara rätvinklig.
security
report
code
Figuren visar en rätvinklig triangel, bildad av de två punkterna med koordinaterna A=(0,0) och B=(4,8) samt punkten C. Bestäm koordinaterna för punkten C, givet att hypotenusan har längden 10 och AC har längden 20.
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.68333em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.07153em;\">C<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text1":"-4","text2":"2"}}
security
report
code
security
report
code
Vi vet att sträckan BC är 10 le. och att AC är sqrt(20) le. Med avståndsformeln kan vi skapa två olika ekvationer som båda använder punkten C=(x,y). Vi får då ett ekvationssystem med två okända som kan lösas.
Sträckan AC
Vi sätter in A=(0,0) och C=(x,y) i formeln och likställer med sqrt(20).
Nu har vi en ekvation med x och y. Vi använder avståndsformeln på BC för att hitta en till.
Sträckan BC
Vi sätter in B=(4,8) och C=(x,y) i formeln och likställer med 10.
Nu har vi två ekvationer med x och y, vilket ger oss ett icke-linjärt ekvationssystem: x^2 + y^2=20 & (I) x^2+y^2-8x-16y=20. & (II) Vi kan lösa det t.ex. med substitutionsmetoden, men istället för att ersätta en bara variabel kan vi ersätta hela uttrycket x^2 + y^2 med 20 i ekvation (II). Vi sätter in detta och löser ut y. För enkelhetens skull behandlar vi ekvation (II) separat.
Nu har vi ett uttryck för y som kan sättas in i ekvation (I). Det ger oss koordinaten x.
Vi får två lösningar, x=- 4 och x=4. Men från figuren ser vi att C ligger i den andra kvadranten, dvs. på den negativa delen av x-axeln. Vi kan alltså bortse från den positiva lösningen. Vi sätter därför in x=- 4 i uttrycket för y för att bestämma y-koordinaten för C.
Punkten C finns alltså i koordinaterna (- 4, 2).
security
report
code
Vad är avståndet mellan (4,f(4)) och (7,f(7)) om
f(x)=2x+3?
Svara med en decimal.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"le.","answer":{"text":["6,7"]}}
security
report
code
security
report
code
För att kunna räkna ut avståndet mellan de två punkterna på grafen måste vi först bestämma deras koordinater. Vi har fått x-koordinaterna givna, och vi får de motsvarande y-koordinaterna genom att sätta in dessa i f(x) och räkna ut funktionsvärdet. För x = 4 får vi f(4) = 2 * 4 + 3 = 11 och för x = 7 får vi f(7) = 2 * 7 + 3 = 17. De två punkterna är alltså (4, 11) och (7,17). För att räkna ut avståndet mellan dem sätter vi in koordinaterna i avståndsformeln.
Avståndet mellan de två punkterna är 6,7 le.
security
report
code
En sträcka går mellan punkterna (−20,5) och (32,17). Bestäm mittpunkten.
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":true,"function":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text1":"6","text2":"11"}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att att hitta den punkt som delar in sträckan på mitten, alltså mittpunkten. Vi sätter in punkterna (- 20, 5) och (32, 17) i mittpunktsformeln. Vi börjar med x-koordinaten.
Vi gör samma sak för y-koordinaten.
Mittpunkten finns är (6,11), vilket är punkten som delar sträckan på mitten.
security
report
code
Sträckorna d1 och d2 är lika långa. Bestäm a exakt.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">a<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{73}{16}"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att ta fram ett uttryck för d_1, dvs. avståndet mellan punkten (- 4,a) och origo. Det gör vi med hjälp av avståndsformeln.
Avståndet mellan origo och (- 4,a) kan uttryckas som sqrt(16+a^2). Detta ska vara lika med avståndet mellan (- 4,a) och (1,8), dvs. d_2. Vi tar fram ett uttryck för det också.
Eftersom avstånden ska vara lika ställer vi upp ekvationen d_1=d_2 och löser ut a.
a ska alltså vara 7316.
security
report
code
Bestäm ett uttryck för mittpunktens koordinater mellan punkterna (a−3,7a) och (3−a,35a), där a är en konstant.
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["a"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text1":"0","text2":"21a"}}
security
report
code
security
report
code
Vi sätter in de två x-koordinaterna, alltså a - 3 och 3 - a, i mittpunktsformeln för att räkna ut x_m och förenklar.
Mittpunkten har alltså x-koordinaten 0. Vi bestämmer nu ett uttryck för y-koordinaten för mittpunkten.
Nu har vi mittpunktens x- och y-koordinater, uttryckta i a. Mittpunkten är (0,21a).
security
report
code
Avstånds- och mittpunktsformlerna
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll