Innehållsförteckning
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 2
3.
Algebraisk lösning av ekvationssystem
Utforska den fascinerande världen av algebraiska lösningar av ekvationssystem. Denna lektion förklarar hur man löser ekvationssystem algebraiskt med hjälp av substitutionsmetoden och additionsmetoden. Ekvationssystem används för att lösa olika typer av problem där man har olika samband mellan okända värden. Det är viktigt att komma ihåg att man behöver lika många ekvationer som antalet okända variabler för att kunna lösa ekvationssystemet. Lektionenen ger också exempel på hur man löser ekvationssystem med tre okända. Detta är ett ovärderligt verktyg för alla som är intresserade av att förstå och tillämpa konceptet algebraisk lösning av ekvationssystem inom matematik.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 9 sidor teori |
| | 32 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Algebraisk lösning av ekvationssystem
Sida av 9
Ekvationssystem kan användas för att lösa olika typer av verkliga problem där man har olika samband mellan okända värden. Det är inte alltid meningsfullt att rita upp sambanden som räta linjer och då kan man använda en algebraisk metod, t.ex. substitutions- eller additionsmetoden.
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Ekvationssytem som modeller
- Substitutionsmetoden
- Additionsmetoden
- Ekvationssytem med fler än två okända
Förkunskaper
Metod
Ekvationssystem som modeller
Många problem kan lösas med ekvationssystem. Man kan göra det på följande sätt.
- Identifiera okända värden och ge dem variabelnamn.
- Ställ upp olika samband mellan variablerna.
- Bilda ett ekvationssystem av sambanden.
- Lös ekvationssystemet och tolka resultatet.
Exempel
Ställ upp ekvationssystemet
Det totala antalet enkronor och femkronor i en plånbok är 10 st. och det sammanlagda värdet av dessa är 34 kr. Ställ upp ett ekvationssystem som kan användas för att bestämma antalet enkronor och femkronor i plånboken.
Svar
Ekvationssystem: {a+b=10a+5b=34
Ledtråd
Skriv en ekvation för det totala antalet mynt och en annan ekvation för myntens totala värde.
Lösning
Ekvationssystemet ska kunna användas för att bestämma hur många enkronor respektive femkronor det finns, så antalet mynt av varje sort är våra okända variabler. Vi väljer att kalla antalet enkronor för a och antalet femkronor för b. Eftersom vi vet hur många mynt det finns samt deras totala värde kan vi ställa upp följande två ekvationer.
- En ekvation beskriver totala antalet mynt: a+b=10.
- En ekvation beskriver myntens sammanlagda värde: 1⋅a+5⋅b=34.
{a+b=10a+5b=34
som kan lösas med valfri metod. Metod
Substitutionsmetoden
Substitutionsmetoden går ut på att man substituerar, dvs. ersätter, en variabel i någon av ekvationerna med ett uttryck som bara innehåller den andra variabeln. Exempelvis kan ekvationssystemet
Lösningen till ekvationssystemet är
{y−4=2x9x+6=3y
lösas på detta sätt.
1
Lös ut en av variablerna i den ena ekvationen
expand_more Lös ut en av variablerna ur valfri ekvation så att den står ensam på ena sidan om likhetstecknet. Då ska uttrycket på andra sidan enbart innehålla den andra variabeln. Genom att addera 4 till båda led i den första ekvationen kan man lösa ut y:
{y=2x+49x+6=3y.
2
Ersätt variabeln i den andra ekvationen
expand_more Ersätt variabeln i den andra ekvationen med det uttryck man fick i första steget. Uttrycket 2x+4 sätts in istället för y i den andra ekvationen:
{y=2x+49x+6=3(2x+4).
3
Lös den andra ekvationen
expand_more Nu innehåller den andra ekvationen endast en variabel och kan lösas.
4
Sätt in värdet i valfri ursprungsekvation
expand_more Sätt in värdet på variabeln som löstes ut i förra steget i någon av ursprungsekvationerna och beräkna värdet av den andra variabeln.
{y=2x+4x=2(I)(II)
Substitute
(I): x=2
{y=2⋅2+4x=2
Multiply
(I): Multiplicera faktorer
{y=4+4x=2
AddTerms
(I): Addera termer
{y=8x=2
{x=2y=8.
Metod
Additionsmetoden
Denna metod går ut på att man gör sig av med en variabel genom att addera ekvationerna ledvis. Exempelvis kan ekvationssystemet
{y−4=2x9x+6=3y
lösas med additionsmetoden på följande sätt.
1
Arrangera om ekvationerna
expand_more För att lättare kunna jämföra de två ekvationerna kan det vara bra att arrangera om termerna så att de står i samma ordning. I exemplet flyttas variabeltermerna till vänsterleden och konstanttermerna till högerleden.
{y−4=2x9x+6=3y(I)(II)
SubEqn
(I): VL−y=HL−y
{−4=2x−y9x+6=3y
RearrangeEqn
(I): Omarrangera ekvation
{2x−y=−49x+6=3y
SubEqn
(II): VL−6=HL−6
{2x−y=−49x=3y−6
SubEqn
(II): VL−3y=HL−3y
{2x−y=−49x−3y=−6
2
Multiplicera med konstant
expand_more Nu vill man att koefficienten framför någon av variablerna ska vara likadan i båda ekvationerna, fast med omvänt tecken. Det gör man genom att multiplicera båda led i någon av ekvationerna med lämpliga konstanter. I exemplet multipliceras ekvation (I) med −3 så att termen 3y finns i ekvation (I) och −3y i ekvation (II).
{−6x+3y=129x−3y=−6
3
Addera ekvationerna
expand_more Ekvationerna adderas ledvis. Det innebär att vänsterledet för en ekvation adderas till vänsterledet för den andra och högerledet för den ena adderas till högerledet för den andra. Här adderas den andra ekvationen till den första.
Detta ger ekvationssystemet
−6x+3y+(9x−3y)=12+(−6)
▼
Förenkla
RemovePar
Ta bort parentes
−6x+3y+9x−3y=12+(−6)
AddNeg
a+(−b)=a−b
−6x+3y+9x−3y=12−6
RearrangeTerms
Omarrangera termer
−6x+9x+3y−3y=12−6
AddSubTerms
Addera och subtrahera termer
3x=6
{3x=69x−3y=−6.
4
Lös den nya ekvationen
expand_more Nu kan man lösa den nya ekvationen för att bestämma den ena variabeln:
3x=6⇔x=2.
Då får man
{x=29x−3y=−6.
5
Sätt in värdet i valfri ursprungsekvation
expand_more Sätt in värdet på den nu kända variabeln i någon av ursprungsekvationerna. Här sätts x=2 in i ekvation (II).
Lösningen till ekvationssystemet är
{x=29x−3y=−6(I)(II)
Substitute
(II): x=2
{x=29⋅2−3y=−6
Multiply
(II): Multiplicera faktorer
{x=218−3y=−6
SubEqn
(II): VL−18=HL−18
{x=2−3y=−24
DivEqn
(II): VL/(−3)=HL/(−3)
{x=2y=8
{x=2y=8.
Exempel
Lös ekvationssystemet algebraiskt
Lös ekvationssystemet med valfri algebraisk metod.
{2x+6y=−65x+2y=11
{"type":"text","form":{"type":"equation","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"","description":[{"id":0,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><\/span><\/span><\/span>"},{"id":1,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.19444em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.03588em;\">y<\/span><\/span><\/span><\/span>"}]},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":[{"id":0,"text":"3"},{"id":1,"text":"-2"}],"noSolution":false,"infiniteSolution":false}}
Lösning
Här fungerar båda metoder ganska bra, men vi väljer att lösa systemet med substitutionsmetoden. Vi börjar med att lösa ut x ur den första ekvationen.
Vi sätter sedan in uttrycket för x i den andra ekvationne och löser ut y.
Nu när y är känt kan vi sättas in det i den första ekvationen för att beräkna x.
Lösningen till ekvationssystemet är alltså
{2x+6y=−65x+2y=11(I)(II)
SubEqn
(I): VL−6y=HL−6y
{2x=−6y−65x+2y=11
DivEqn
(I): VL/2=HL/2
{x=−3y−35x+2y=11
{x=−3y−35x+2y=11
Substitute
(II): x=−3y−3
{x=−3y−35(−3y−3)+2y=11
Distr
(II): Multiplicera in 5
{x=−3y−3−15y−15+2y=11
SimpTerms
(II): Förenkla termer
{x=−3y−3−13y−15=11
AddEqn
(II): VL+15=HL+15
{x=−3y−3−13y=26
DivEqn
(II): VL/(−13)=HL/(−13)
{x=−3y−3y=−2
{x=−3y−3y=−2
Substitute
(I): y=−2
{x=−3⋅(−2)−3y=−2
Multiply
(I): Multiplicera faktorer
{x=6−3y=−2
SubTerm
(I): Subtrahera term
{x=3y=−2
{x=3y=−2.
Övning
Att lösa ekvationssystem algebraiskt
Lös ekvationssystemet med valfri algebraisk metod.
Metod
Ekvationssystem med fler än två okända
Lösningsmetoderna för ekvationssystem är inte begränsade till två ekvationer och två okända värden, utan gäller även för ekvationssystem med fler ekvationer och okända. För att ett sådant ekvationssystem ska kunna lösas måste det finnas lika många ekvationer som okända värden. Ekvationssystemet nedan har tre ekvationer och tre okända värden: x, y och z.
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x+y+z=6−x+2y−z=0x−y+3z=8
I dessa fall kan man använda substitutionsmetoden. På samma sätt som för två ekvationer löser man först ut en variabel ur en av ekvationerna. Uttrycket man får då sätter man in i de andra, vilka skapar ett nytt ekvationssystem med bara två okända som kan lösas på valfritt sätt. Värdena på de variablerna används sedan för att beräkna den tredje. Man kan även använda additionsmetoden. I det här fallet kan man addera första och andra ekvationen för att få en ekvation som enbart innehåller den okända variabeln y.Exempel
Lös ekvationssystemet med tre okända variabler
Lös ekvationssystemet.
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧2x+y−3z=14x−y−5z=9x+2y+z=0
{"type":"text","form":{"type":"equation","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"","description":[{"id":0,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><\/span><\/span><\/span>"},{"id":1,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.19444em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.03588em;\">y<\/span><\/span><\/span><\/span>"},{"id":2,"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.04398em;\">z<\/span><\/span><\/span><\/span>"}]},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":[{"id":0,"text":"3"},{"id":1,"text":"-2"},{"id":2,"text":"1"}],"noSolution":false,"infiniteSolution":false}}
Lösning
Vi väljer att lösa ekvationssystemet med substitutionsmetoden och börjar med att lösa ut en variabel ur en av ekvationerna. Det spelar ingen roll vilken variabel eller vilken ekvation, så vi väljer att lösa ut x ur den tredje ekvationen.
Vi sätter in detta uttryck i båda de andra ekvationerna och förenklar.
Nu har x försvunnit från ekvation (I) och (II), som tillsammans bildar ett ekvationssystem med bara två okända:
Nu har vi löst ut y och z. Vi sätter vi in dem i ekvation (III) för att till sist lösa ut x.
Nu har vi löst ut alla okända variabler och lösningen är alltså
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧2x+y−3z=14x−y−5z=9x+2y+z=0(I)(II)(III)
SubEqn
(III): VL−2y=HL−2y
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧2x+y−3z=14x−y−5z=9x+z=−2y
SubEqn
(III): VL−z=HL−z
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧2x+y−3z=14x−y−5z=9x=−2y−z
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧2x+y−3z=14x−y−5z=9x=−2y−z
(I), (II): x=−2y−z
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧2(−2y−z)+y−3z=14(−2y−z)−y−5z=9x=−2y−z
(I), (II): Multiplicera in 2&4
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧2(−2y)−2⋅z+y−3z=14(−2y)−4⋅z−y−5z=9x=−2y−z
(I), (II): Multiplicera faktorer
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧−4y−2z+y−3z=1−8y−4z−y−5z=9x=−2y−z
(I), (II): Förenkla termer
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧−3y−5z=1−9y−9z=9x=−2y−z
DivEqn
(II): VL/9=HL/9
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧−3y−5z=1−y−z=1x=−2y−z
{−3y−5z=1−y−z=1.
Vi väljer att lösa detta med additionsmetoden, men det hade också gått bra med substitutionsmetoden. Genom att byta tecken i den nedre ekvationen och därefter multiplicera den med 3 kommer y-termerna att ta ur varandra vid additionen.
{−3y−5z=1−y−z=1(I)(II)
ChangeSigns
(II): Byt tecken
{−3y−5z=1y+z=−1
MultEqn
(II): VL⋅3=HL⋅3
{−3y−5z=13y+3z=−3
SysEqnAdd
(I): Addera (II)
{−3y−5z+3y+3z=1−33y+3z=−3
SimpTerms
(I): Förenkla termer
{−2z=−23y+3z=−3
DivEqn
(I): VL/(−2)=HL/(−2)
{z=13y+3z=−3
Substitute
(II): z=1
{z=13y+3⋅1=−3
Multiply
(II): Multiplicera faktorer
{z=13y+3=−3
SubEqn
(II): VL−3=HL−3
{z=13y=−6
DivEqn
(II): VL/3=HL/3
{z=1y=−2
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧z=1y=−2x=−2y−z(I)(II)(III)
SubstituteII
(III): y=−2 och z=1
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧z=1y=−2x=−2(−2)−1
Multiply
(III): Multiplicera faktorer
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧z=1y=−2x=4−1
SubTerm
(III): Subtrahera term
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧z=1y=−2x=3
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x=3y=−2z=1.
Algebraisk lösning av ekvationssystem
Algebraisk lösning av ekvationssystem
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll