body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Mitt konto

Kurs 1c Visa detaljer

5. Vektorer

Fortsätt till nästa lektion

Lektion

Övningar

Tester

eKurser /

Matematik 1c /

Kapitel 5

Vektorer

Vektorer är matematiska objekt som beskriver både storlek och riktning. De används inom fysik och matematik för att representera storheter som hastighet, acceleration och kraft. Vektorer kan beskrivas med koordinater, och deras längd kan beräknas med Pythagoras sats. De kan också representeras grafiskt som pilar. Vektorer kan parallellförflyttas utan att ändra sina egenskaper, och de kan beskrivas i både vågrät och lodrät form. Vektorer är skiljer sig från skalärer, vilka har storlek men ingen riktning. Ett exempel på en vektor är vindens fart och riktning.

Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	12 sidor teori
	17 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Vektorer

Sida av 12

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Vektor
Parallellavektorer
Motsatta vektorer
Koordinatform för vektor
Parallellförflyttning av vektor
Komposant
Längden av en vektor

Teori

Vektor

En vektor beskriver en storhet som har både storlek och riktning. Storheter som kan beskrivas med vektorer är t.ex. hastighet, acceleration och kraft. Den vanligaste notationen för vektorer är att sätta en pil eller ett streck över en bokstav, exempelvis

v eller \overset{v}{ˉ} .

Grafiskt brukar en vektor representeras av en pil, där pilens längd motsvarar vektorns storlek och pilhuvudet visar riktningen. Drar man en vektor mellan två namngivna punkter, t.ex. startpunkten

A

och slutpunkten

B,

brukar man namnge den

A B,

och om den riktas åt andra hållet får den namnet

B A .

Teori

Parallella vektorer

Två vektorer, $v_{1}$ och $v_{2},$ sägs vara parallella om de har samma riktning eller om de har motsatta riktningar.

I exemplet ovan är vektorerna

v_{1},

v_{2},

v_{3}

och

v_{4}

alla parallella. Observera att parallella vektorer kan ha olika längd.

Teori

Motsatta vektorer

Två vektorer, $v_{1}$ och $v_{2},$ sägs vara motsatta om de har samma längd men motsatta riktningar.

I exemplet ovan är

v_{1}

och

v_{2}

motsatta. Vektorerna

v_{1}

och

v_{3}

är inte motsatta eftersom deras riktningar inte är motsatta. Vektorerna

v_{1}

och

v_{4}

är inte motsatta eftersom de inte har samma längd. När två vektorer är motsatta kan den ena skrivas som den negativa av den andra.

v_{2} = - v_{1}

Följande applet kan användas för att visualisera en vektor och dess motsatta vektor.

Exempel

Beskriver ett par vektorer

Betrakta följande par av vektorer.

a Är vektorerna parallella?

b Är vektorerna motsatta?

Ledtråd

a Parallella vektorer har samma eller motsatt riktning.

b Motsatta vektorer har samma längd och motsatt riktning.

Lösning

a Parallella vektorer har samma riktning eller motsatt riktning. Detta innebär att om de placeras tillsammans, kommer de att ligga på samma linje.

Vektorerna har motsatt riktning. Detta innebär att de är parallella.

b Motsatta vektorer har samma längd och motsatt riktning. Det konstaterades i del A att de givna vektorerna har motsatt riktning. Dock kan det ses, genom att placera dem bredvid varandra, att de inte har samma längd.

Eftersom vektorerna inte har samma längd, är de inte motsatta.

Teori

Koordinatform för vektor

Vektorer brukar beskrivas i koordinatform, där koordinaterna anger förändringen i

x -

och

y -

led. För en utritad vektor kan man bestämma koordinaterna genom att beräkna skillnaden i

x -

och

y -

led mellan start- och slutpunkten.

Till skillnad från punkter på koordinatform, som anger en specifik position i koordinatsystemet, anger vektorer förändring, och är alltså inte bundna till en viss position.

Exempel

Skriv vektorerna på koordinatform

Skriv vektorerna $u$ och $v$ på koordinatform.

Ledtråd

Använd rutnätet för att hitta den horisontella och den vertikala förskjutningen för varje vektor.

Lösning

För att skriva vektorerna på koordinatform mäter vi förändringen i $x -$ och $y -$ led mellan start- och slutpunkterna. För $v$ noterar vi att slutpunkten finns till vänster om startpunkten, vilket ger en negativ förändring i $x -$ led.

Skillnaden är $4$ längdenheter i $x -$ led och $2$ i $y$ -led. Det innebär att koordinatformen för $u$ är $(4, 2) .$ Skillnaden i $x$ -led är $- 3$ längdenheter och $1$ i $y -$ led, så koordinatformen för $v$ är $(- 3, 1) .$

Teori

Parallellförflyttning av vektor

När en vektor flyttas utan att vridas eller ändra längd sägs den ha parallellförflyttas. Vektorn hamnar i en annan position i koordinatsystemet men beskrivs av samma koordinater eftersom ändringen i

x -

och

y -

led inte beror på var vektorn är. Exempelvis beskrivs alla vektorer i figuren av

v = (3, 3) .

Parallellförflyttas vektorn så att startpunkten hamnar i origo kommer slutpunkten att få samma koordinater som själva vektorn.

Teori

Komposant

En vektor kan alltid delas upp i två eller flera delvektorer som anger förändringar i olika riktningar. Dessa delvektorer kallas komposanter. Oftast delar man upp dem i en vågrät $x -$ komposant och en lodrät $y -$ komposant, vars längder ges av vektorns koordinater. I figuren har vektorn $v = (6, 4)$ delats upp i komposanterna $v_{x} = (6, 0)$ och $v_{y} = (0, 4) .$

Exempel

Dela upp vektor i komposanter

Dela upp vektorn $v$ i komposanter.

Ledtråd

Använd rutnätet för att hitta den horisontella och den vertikala förskjutningen för varje vektor. Skriv en vektor för var och en av dessa förskjutningar.

Lösning

Från startpunkt till slutpunkt ser vi att $v$ ändras med $7$ steg åt vänster och $8$ steg ner i rutnätet vilket ger oss dess koordinatform: $(- 7, - 8) .$ Vi kan dela upp denna vektor i en vågrät $x -$ komposant och en lodrät $y -$ komposant som nedan.

Den vågräta komposanten visar hur vektorn ändrats i $x -$ led, dvs. $- 7$ steg så $y_{x}$ har koordinatformen $(- 7, 0) .$ På samma sätt visar den lodräta komposanten vektorns förändring i $y$ -led, dvs. $- 8$ steg så koordinatformen för $v_{y}$ blir $(0, - 8) .$

Teori

Längden av en vektor

Längden av en vektor $v$ brukar skrivas $∣ v ∣,$ vilket utläses normen eller absolutbeloppet av $v .$ Längden på vågräta och lodräta vektorer kan avläsas direkt i koordinatsystemet, men mer generellt går det att använda Pythagoras sats för att beräkna längden.

x -

och

y -

komposanten av vektorn

v = (a, b)

har ritats ut som kateterna i en rätvinklig triangel där

v

är hypotenusan. Längden för kateterna är

a

och

b,

och Pythagoras sats ger då

∣ (a, b) ∣^{2} = a^{2} + b^{2} .

Dras kvadratroten ur båda led ger detta den generella formeln för längden av en vektor. Eftersom längder alltid är positiva bortser man från den negativa roten.

∣ (a, b) ∣ = a^{2} + b^{2}

Exempel

Vad är vektorns längd?

Vad är längden av vektorerna $u$ och $v ?$

Ledtråd

Använd formeln för en vektors längd.

Lösning

Vi går igenom en vektor i taget.

Vektor $u$

Vektorn $u$ är lodrät och längden av en sådan vektor kan bestämmas genom att räkna hur många rutor den sträcker sig. Vi ser att den löper fem rutor uppåt så längden av vektorn blir alltså $5$ le.

Vektor $v$

Denna vektor är varken lodrät eller vågrät så för att bestämma dess längd sätter vi in koordinatformen i formeln

∣ (a, b) ∣ = a^{2} + b^{2} .

Koordinatformen anger förändringen i

x -

och

y -

led mellan vektorns start- och slutpunkt. Från rutnätet ser vi att förändringen i

x -

och

y -

led är

4

och

3

så vektorn är

(4, 3) .

∣ (a, b) ∣ = a^{2} + b^{2}

SubstituteII

$a = 4$ och $b = 3$

∣ (4, 3) ∣ = 4^{2} + 3^{2}

CalcPow

Beräkna potens

∣ (4, 3) ∣ = 16 + 9

AddTerms

Addera termer

∣ (4, 3) ∣ = 25

CalcRoot

Beräkna rot

∣ (4, 3) ∣ = 5

Längden på vektorn $v$ är också $5$ le.

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Vektorer

Övningar

Vektorerna $u$ , $v$ , $w$ och $z$ är inritade i en cirkel.

Avgör om påståendet är sant eller falskt.

∣ u ∣ = ∣ v ∣

u = v

z = u

∣ w ∣ = 2 ∣ z ∣

|u| är längden av vektorn u. Påståendet att |u|=|v| säger alltså att längden av u och v är samma. Båda utgår från cirkelns mittpunkt och slutar på cirkelns rand. Båda är alltså en radie långa och därmed är påståendet sant.

För att två vektorer ska vara lika, ska de både ha samma längd och riktning. Vi har redan konstaterat att de är lika långa, men har de samma riktning?

Nej, de pekar åt olika håll! Det är alltså inte samma vektor, så påståendet är falskt.

Är vektorerna z och u samma? Båda har längden av en radie i cirkeln så de är lika långa. Tänk nu att vi parallellförflyttar z så att den startar i cirkelns mittpunkt, precis som u.

Då sammanfaller dem. Det är alltså samma vektor, så påståendet är sant.

|z| är längden av z dvs. en cirkelradie. |w| är längden av w. Den är en diameter, och en diameter är dubbelt så lång som en radie. Det betyder att w är dubbelt så lång som z. Det är ju precis det som |w|=2|z| betyder, så påståendet är sant.

Vektorerna

w = (5, 72)

och

u = (- 4, y)

är lika långa. Bestäm

y .

Vi börjar med att bestämma längden på vektorn w.

Vi vet att |w|=|u|, vilket betyder att även |u| är sqrt(97). Detta ger oss en ny ekvation ur vilken vi kan lösa ut y.

Koordinaten y är alltså -9 eller 9. Är båda giltiga? Den enda informationen vi får är att vektorernas längd är lika. Vi får inget villkor på riktningen för u. Om y är -9 eller 9 påverkar inte längden, utan endast riktningen. Båda lösningar är alltså giltiga.

Vi har ritat de tre vektorerna, och det ser i alla fall ut som att de är lika långa. Det finns alltså två värden på y som gör att |u|=|w|.

Vi vet att $∣ u ∣ = 6, 2$ le.

En vektor och dess lodräta samt vågräta komposant

Bestäm koordinaterna för komposanten

u_{x} .

Svara med två decimalers noggrannhet.

Bestäm koordinaterna för komposanten

u_{y} .

Svara med två decimalers noggrannhet.

Vi kan parallellförflytta u_y så att den börjar där u_x slutar. Då bildas en rätvinklig triangel med hypotenusan 6,2 le.

Nu kan vi använda cosinus för att bestämma längden på u_x.

Eftersom u_x inte förflyttas någonting i y-led är y-koordinaten 0. Hela längden ligger alltså i x-led så x-koordinaten blir 4,38. Det betyder att u_x=(4,38;0).

Vi kan nu göra motsvarande för |u_y|.

Denna gång använder vi sinus.

På motsvarande sätt som i föregående deluppgift finner vi nu att hela längden ligger i lodrätt riktning. Vi får därför att vektorn blir u_y=(0;4,38).

$A B C D E F G H$ är en regelbunden åttahörning.

Definera vektorn

v

som

A G .

Hur många fler, lika långa vektorer kan du skapa med hjälp av hörnen?

Låt

u = E F .

Namnge samtliga vektorer som är identiska med

u ?

{"type":"multichoice","form":{"alts":["<\/span><\/span>B<\/span>A<\/span><\/span><\/span><\/span><svg width='400em' height='0.522em' viewBox='0 0 400000 522' preserveAspectRatio='xMaxYMin slice'><path d='M0 241v40h399891c-47.3 35.3-84 78-110 128\n-16.7 32-27.7 63.7-33 95 0 1.3-.2 2.7-.5 4-.3 1.3-.5 2.3-.5 3 0 7.3 6.7 11 20\n 11 8 0 13.2-.8 15.5-2.5 2.3-1.7 4.2-5.5 5.5-11.5 2-13.3 5.7-27 11-41 14.7-44.7\n 39-84.5 73-119.5s73.7-60.2 119-75.5c6-2 9-5.7 9-11s-3-9-9-11c-45.3-15.3-85\n-40.5-119-75.5s-58.3-74.8-73-119.5c-4.7-14-8.3-27.3-11-40-1.3-6.7-3.2-10.8-5.5\n-12.5-2.3-1.7-7.5-2.5-15.5-2.5-14 0-21 3.7-21 11 0 2 2 10.3 6 25 20.7 83.3 67\n 151.7 139 205zm0 0v40h399900v-40z'\/><\/svg><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","<\/span><\/span>D<\/span>G<\/span><\/span><\/span><\/span><svg width='400em' height='0.522em' viewBox='0 0 400000 522' preserveAspectRatio='xMaxYMin slice'><path d='M0 241v40h399891c-47.3 35.3-84 78-110 128\n-16.7 32-27.7 63.7-33 95 0 1.3-.2 2.7-.5 4-.3 1.3-.5 2.3-.5 3 0 7.3 6.7 11 20\n 11 8 0 13.2-.8 15.5-2.5 2.3-1.7 4.2-5.5 5.5-11.5 2-13.3 5.7-27 11-41 14.7-44.7\n 39-84.5 73-119.5s73.7-60.2 119-75.5c6-2 9-5.7 9-11s-3-9-9-11c-45.3-15.3-85\n-40.5-119-75.5s-58.3-74.8-73-119.5c-4.7-14-8.3-27.3-11-40-1.3-6.7-3.2-10.8-5.5\n-12.5-2.3-1.7-7.5-2.5-15.5-2.5-14 0-21 3.7-21 11 0 2 2 10.3 6 25 20.7 83.3 67\n 151.7 139 205zm0 0v40h399900v-40z'\/><\/svg><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","<\/span><\/span>C<\/span>H<\/span><\/span><\/span><\/span><svg width='400em' height='0.522em' viewBox='0 0 400000 522' preserveAspectRatio='xMaxYMin slice'><path d='M0 241v40h399891c-47.3 35.3-84 78-110 128\n-16.7 32-27.7 63.7-33 95 0 1.3-.2 2.7-.5 4-.3 1.3-.5 2.3-.5 3 0 7.3 6.7 11 20\n 11 8 0 13.2-.8 15.5-2.5 2.3-1.7 4.2-5.5 5.5-11.5 2-13.3 5.7-27 11-41 14.7-44.7\n 39-84.5 73-119.5s73.7-60.2 119-75.5c6-2 9-5.7 9-11s-3-9-9-11c-45.3-15.3-85\n-40.5-119-75.5s-58.3-74.8-73-119.5c-4.7-14-8.3-27.3-11-40-1.3-6.7-3.2-10.8-5.5\n-12.5-2.3-1.7-7.5-2.5-15.5-2.5-14 0-21 3.7-21 11 0 2 2 10.3 6 25 20.7 83.3 67\n 151.7 139 205zm0 0v40h399900v-40z'\/><\/svg><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","<\/span><\/span>D<\/span>C<\/span><\/span><\/span><\/span><svg width='400em' height='0.522em' viewBox='0 0 400000 522' preserveAspectRatio='xMaxYMin slice'><path d='M0 241v40h399891c-47.3 35.3-84 78-110 128\n-16.7 32-27.7 63.7-33 95 0 1.3-.2 2.7-.5 4-.3 1.3-.5 2.3-.5 3 0 7.3 6.7 11 20\n 11 8 0 13.2-.8 15.5-2.5 2.3-1.7 4.2-5.5 5.5-11.5 2-13.3 5.7-27 11-41 14.7-44.7\n 39-84.5 73-119.5s73.7-60.2 119-75.5c6-2 9-5.7 9-11s-3-9-9-11c-45.3-15.3-85\n-40.5-119-75.5s-58.3-74.8-73-119.5c-4.7-14-8.3-27.3-11-40-1.3-6.7-3.2-10.8-5.5\n-12.5-2.3-1.7-7.5-2.5-15.5-2.5-14 0-21 3.7-21 11 0 2 2 10.3 6 25 20.7 83.3 67\n 151.7 139 205zm0 0v40h399900v-40z'\/><\/svg><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","<\/span><\/span>G<\/span>H<\/span><\/span><\/span><\/span><svg width='400em' height='0.522em' viewBox='0 0 400000 522' preserveAspectRatio='xMaxYMin slice'><path d='M0 241v40h399891c-47.3 35.3-84 78-110 128\n-16.7 32-27.7 63.7-33 95 0 1.3-.2 2.7-.5 4-.3 1.3-.5 2.3-.5 3 0 7.3 6.7 11 20\n 11 8 0 13.2-.8 15.5-2.5 2.3-1.7 4.2-5.5 5.5-11.5 2-13.3 5.7-27 11-41 14.7-44.7\n 39-84.5 73-119.5s73.7-60.2 119-75.5c6-2 9-5.7 9-11s-3-9-9-11c-45.3-15.3-85\n-40.5-119-75.5s-58.3-74.8-73-119.5c-4.7-14-8.3-27.3-11-40-1.3-6.7-3.2-10.8-5.5\n-12.5-2.3-1.7-7.5-2.5-15.5-2.5-14 0-21 3.7-21 11 0 2 2 10.3 6 25 20.7 83.3 67\n 151.7 139 205zm0 0v40h399900v-40z'\/><\/svg><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>","<\/span><\/span>A<\/span>H<\/span><\/span><\/span><\/span><svg width='400em' height='0.522em' viewBox='0 0 400000 522' preserveAspectRatio='xMaxYMin slice'><path d='M0 241v40h399891c-47.3 35.3-84 78-110 128\n-16.7 32-27.7 63.7-33 95 0 1.3-.2 2.7-.5 4-.3 1.3-.5 2.3-.5 3 0 7.3 6.7 11 20\n 11 8 0 13.2-.8 15.5-2.5 2.3-1.7 4.2-5.5 5.5-11.5 2-13.3 5.7-27 11-41 14.7-44.7\n 39-84.5 73-119.5s73.7-60.2 119-75.5c6-2 9-5.7 9-11s-3-9-9-11c-45.3-15.3-85\n-40.5-119-75.5s-58.3-74.8-73-119.5c-4.7-14-8.3-27.3-11-40-1.3-6.7-3.2-10.8-5.5\n-12.5-2.3-1.7-7.5-2.5-15.5-2.5-14 0-21 3.7-21 11 0 2 2 10.3 6 25 20.7 83.3 67\n 151.7 139 205zm0 0v40h399900v-40z'\/><\/svg><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span><\/span>"],"noSort":false},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[0]}

Vi ritar v. Den sträcker sig över två hörn. Eftersom åttahörningen är regelbunden kommer alla vektorer som dras över två hörn att vara lika långa som v.

Vi kan dra 3 vektorer medurs som är lika långa (röda). Men man kan ju även dra vektorer åt motsatt håll. Det betyder att vi kan rita 4 stycken till (gröna).

Då har vi skapat 3+4=7 lika långa vektorer till. Men dessutom kan vi dra vektorer som sträcker sig över två hörn genom att börja i de hörnen som vi nu hoppat över, dvs. D, B, H och F.

Vi kan även dra gröna vektorer på samma sätt, fast åt andra hållet. Nu har vi skapat ytterligare 4+4=8 vektorer med samma längd, dvs. totalt 7+8=15 lika långa vektorer.

Vi börjar med att titta på vektorn u från E till F.

Vi kan rita in tre till som har samma riktning.

Vektorerna DG och CH är längre än u, men BA är lika lång. Båda utgör ju sidan i den regelbundna åttahörningen. De har alltså både samma storlek och riktning, så u=BA.

Om man ska dela upp en vektor $v$ i två komposanter, och man känner till den ena, går det alltid att hitta den andra genom att dra en vektor från den kända komposantens slutpunkt till originalvektorns slutpunkt. Nedan visas detta för vågräta och lodräta vektorer.

Diagram med vektorn v och dess vågräta och lodräta komposant

Denna vektor $k_{2}$ kan sedan flyttas så att den har sin startpunkt på samma ställe som originalvektorn.

Oftast använder man komposanter som är vågräta eller lodräta, men den här metoden går även bra att använda för att hitta komposanter i valfria riktningar. Med hjälp av den givna komposanten $k_{1}$ för vektorn $v$ i figuren nedan, bestäm den andra komposanten.

Vi följer instruktionerna och börjar med att dra en vektor från slutpunkten på den första kateten k_1 till slutet på v.

Vi parallellförflyttar sedan vektorn så att den börjar i samma punkt som v.

Vektorn v är nu uppdelad i de två komposanterna k_1 och k_2.

Använd ett rutat papper där varje ruta motsvarar en längdenhet i de tre första uppgifterna.

Rita

a = (4, 3)

och dess vinkelräta komposanter

a_{x} och a_{y} .

Rita

b = (2, - 3)

och dess vinkelräta komposanter

b_{x} och b_{y} .

Rita vektorn $c,$ vars vinkelräta komposanter utgörs av $a_{x}$ och $b_{y} .$ Vad har $a_{x},$ $b_{y}$ och $c$ för koordinater?

Bestäm, utan att rita, koordinaterna för vektorn

d

om du vet att dess vinkelräta komposanter är

d_{x} = (7, 54; 0) och d_{y} = (0; - 38, 1) .

En vektor med koordinaterna (4,3) har riktningen 4 steg åt höger i x-led och 3 steg uppåt i y-led. Den kommer att se ut som vektorn i nedanstående figur.

De vinkelräta komposanterna till vektorn kan vi hitta genom låta dem börja i samma startpunkt som a. Då har de sin slutpunkt lika många steg i vågrät respektive lodrät riktning som a. Vi ritar dessa vinkelräta komposanter i nedanstående rutnät.

Vi tänker på samma sätt som ovan. Komposanterna börjar i samma startpunkt som vektorn och rör sig lika många steg i x- respektive y-led. Då vektorn är b=(2,-3) går den vågräta komposanten 2 steg åt höger och den lodräta går 3 steg ner.

Vi börjar med att rita ut komposanterna a_x och b_y som vi bestämde i tidigare beräkningar. Vi kan också passa på att läsa av koordinaterna för dessa i nedanstående figur som a_x=(4,0) och b_y=(0,-3).

Till sist ritar vi ut vektorn c och läser av koordinaterna. Vi ser från figuren att c=(4,-3).

Som vi redan sett kan vi hitta vektorns koordinater med dess komposanter. Om den vågräta komposanten är (a,0) blir vektorns x-koordinat a och om den lodräta komposanten är (0,b) blir vektorns y-koordinat b. Det betyder att d=(7,54; - 38.1).

Vektorer

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Laddar innehåll

Vektorer

Förkunskaper

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning

Vektor u

Vektor v

Vektorer

Rekommenderade uppgifter

Vektor $u$

Vektor $v$