body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Rekommenderade

Tester

Ett fel uppstod, försök igen senare!

eKurser /

Matematik 1c /

Kapitel {{ article.chapter.number }}

{{ article.number }}.

Visa mindre Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

Kreditlista Bilder

{{ item.file.title }}
{{ presentation }}

Inga inlägg om filrättigheter hittades

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Vektor
Parallellavektorer
Motsatta vektorer
Koordinatform för vektor
Parallellförflyttning av vektor
Komposant
Längden av en vektor

Teori

Vektor

En vektor beskriver en storhet som har både storlek och riktning. Storheter som kan beskrivas med vektorer är t.ex. hastighet, acceleration och kraft. Den vanligaste notationen för vektorer är att sätta en pil eller ett streck över en bokstav, exempelvis

v eller \overset{v}{ˉ} .

Grafiskt brukar en vektor representeras av en pil, där pilens längd motsvarar vektorns storlek och pilhuvudet visar riktningen. Drar man en vektor mellan två namngivna punkter, t.ex. startpunkten

A

och slutpunkten

B,

brukar man namnge den

A B,

och om den riktas åt andra hållet får den namnet

B A .

Teori

Parallella vektorer

Två vektorer, $v_{1}$ och $v_{2},$ sägs vara parallella om de har samma riktning eller om de har motsatta riktningar.

I exemplet ovan är vektorerna

v_{1},

v_{2},

v_{3}

och

v_{4}

alla parallella. Observera att parallella vektorer kan ha olika längd.

Teori

Motsatta vektorer

Två vektorer, $v_{1}$ och $v_{2},$ sägs vara motsatta om de har samma längd men motsatta riktningar.

I exemplet ovan är

v_{1}

och

v_{2}

motsatta. Vektorerna

v_{1}

och

v_{3}

är inte motsatta eftersom deras riktningar inte är motsatta. Vektorerna

v_{1}

och

v_{4}

är inte motsatta eftersom de inte har samma längd. När två vektorer är motsatta kan den ena skrivas som den negativa av den andra.

v_{2} = - v_{1}

Följande applet kan användas för att visualisera en vektor och dess motsatta vektor.

Exempel

Beskriver ett par vektorer

Betrakta följande par av vektorer.

a Är vektorerna parallella?

b Är vektorerna motsatta?

Ledtråd

a Parallella vektorer har samma eller motsatt riktning.

b Motsatta vektorer har samma längd och motsatt riktning.

Lösning

a Parallella vektorer har samma riktning eller motsatt riktning. Detta innebär att om de placeras tillsammans, kommer de att ligga på samma linje.

Vektorerna har motsatt riktning. Detta innebär att de är parallella.

b Motsatta vektorer har samma längd och motsatt riktning. Det konstaterades i del A att de givna vektorerna har motsatt riktning. Dock kan det ses, genom att placera dem bredvid varandra, att de inte har samma längd.

Eftersom vektorerna inte har samma längd, är de inte motsatta.

Teori

Koordinatform för vektor

Vektorer brukar beskrivas i koordinatform, där koordinaterna anger förändringen i

x -

och

y -

led. För en utritad vektor kan man bestämma koordinaterna genom att beräkna skillnaden i

x -

och

y -

led mellan start- och slutpunkten.

Till skillnad från punkter på koordinatform, som anger en specifik position i koordinatsystemet, anger vektorer förändring, och är alltså inte bundna till en viss position.

Exempel

Skriv vektorerna på koordinatform

Skriv vektorerna $u$ och $v$ på koordinatform.

Ledtråd

Använd rutnätet för att hitta den horisontella och den vertikala förskjutningen för varje vektor.

Lösning

För att skriva vektorerna på koordinatform mäter vi förändringen i $x -$ och $y -$ led mellan start- och slutpunkterna. För $v$ noterar vi att slutpunkten finns till vänster om startpunkten, vilket ger en negativ förändring i $x -$ led.

Skillnaden är $4$ längdenheter i $x -$ led och $2$ i $y$ -led. Det innebär att koordinatformen för $u$ är $(4, 2) .$ Skillnaden i $x$ -led är $- 3$ längdenheter och $1$ i $y -$ led, så koordinatformen för $v$ är $(- 3, 1) .$

Teori

Parallellförflyttning av vektor

När en vektor flyttas utan att vridas eller ändra längd sägs den ha parallellförflyttas. Vektorn hamnar i en annan position i koordinatsystemet men beskrivs av samma koordinater eftersom ändringen i

x -

och

y -

led inte beror på var vektorn är. Exempelvis beskrivs alla vektorer i figuren av

v = (3, 3) .

Parallellförflyttas vektorn så att startpunkten hamnar i origo kommer slutpunkten att få samma koordinater som själva vektorn.

Teori

Komposant

En vektor kan alltid delas upp i två eller flera delvektorer som anger förändringar i olika riktningar. Dessa delvektorer kallas komposanter. Oftast delar man upp dem i en vågrät $x -$ komposant och en lodrät $y -$ komposant, vars längder ges av vektorns koordinater. I figuren har vektorn $v = (6, 4)$ delats upp i komposanterna $v_{x} = (6, 0)$ och $v_{y} = (0, 4) .$

Exempel

Dela upp vektor i komposanter

Dela upp vektorn $v$ i komposanter.

Ledtråd

Använd rutnätet för att hitta den horisontella och den vertikala förskjutningen för varje vektor. Skriv en vektor för var och en av dessa förskjutningar.

Lösning

Från startpunkt till slutpunkt ser vi att $v$ ändras med $7$ steg åt vänster och $8$ steg ner i rutnätet vilket ger oss dess koordinatform: $(- 7, - 8) .$ Vi kan dela upp denna vektor i en vågrät $x -$ komposant och en lodrät $y -$ komposant som nedan.

Den vågräta komposanten visar hur vektorn ändrats i $x -$ led, dvs. $- 7$ steg så $y_{x}$ har koordinatformen $(- 7, 0) .$ På samma sätt visar den lodräta komposanten vektorns förändring i $y$ -led, dvs. $- 8$ steg så koordinatformen för $v_{y}$ blir $(0, - 8) .$

Teori

Längden av en vektor

Längden av en vektor $v$ brukar skrivas $∣ v ∣,$ vilket utläses normen eller absolutbeloppet av $v .$ Längden på vågräta och lodräta vektorer kan avläsas direkt i koordinatsystemet, men mer generellt går det att använda Pythagoras sats för att beräkna längden.

x -

och

y -

komposanten av vektorn

v = (a, b)

har ritats ut som kateterna i en rätvinklig triangel där

v

är hypotenusan. Längden för kateterna är

a

och

b,

och Pythagoras sats ger då

∣ (a, b) ∣^{2} = a^{2} + b^{2} .

Dras kvadratroten ur båda led ger detta den generella formeln för längden av en vektor. Eftersom längder alltid är positiva bortser man från den negativa roten.

∣ (a, b) ∣ = a^{2} + b^{2}

Exempel

Vad är vektorns längd?

Vad är längden av vektorerna $u$ och $v ?$

Ledtråd

Använd formeln för en vektors längd.

Lösning

Vi går igenom en vektor i taget.

Vektor $u$

Vektorn $u$ är lodrät och längden av en sådan vektor kan bestämmas genom att räkna hur många rutor den sträcker sig. Vi ser att den löper fem rutor uppåt så längden av vektorn blir alltså $5$ le.

Vektor $v$

Denna vektor är varken lodrät eller vågrät så för att bestämma dess längd sätter vi in koordinatformen i formeln

∣ (a, b) ∣ = a^{2} + b^{2} .

Koordinatformen anger förändringen i

x -

och

y -

led mellan vektorns start- och slutpunkt. Från rutnätet ser vi att förändringen i

x -

och

y -

led är

4

och

3

så vektorn är

(4, 3) .

∣ (a, b) ∣ = a^{2} + b^{2}

SubstituteII

$a = 4$ och $b = 3$

∣ (4, 3) ∣ = 4^{2} + 3^{2}

CalcPow

Beräkna potens

∣ (4, 3) ∣ = 16 + 9

AddTerms

Addera termerna

∣ (4, 3) ∣ = 25

CalcRoot

Beräkna rot

∣ (4, 3) ∣ = 5

Längden på vektorn $v$ är också $5$ le.

Laddar innehåll

{{ article.displayTitle }}

Förkunskaper

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning

Vektor u

Vektor v

Vektor $u$

Vektor $v$