5. Vektorer
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 5
5.
Vektorer
Vektorer är matematiska objekt som beskriver både storlek och riktning. De används inom fysik och matematik för att representera storheter som hastighet, acceleration och kraft. Vektorer kan beskrivas med koordinater, och deras längd kan beräknas med Pythagoras sats. De kan också representeras grafiskt som pilar. Vektorer kan parallellförflyttas utan att ändra sina egenskaper, och de kan beskrivas i både vågrät och lodrät form. Vektorer är skiljer sig från skalärer, vilka har storlek men ingen riktning. Ett exempel på en vektor är vindens fart och riktning.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 12 sidor teori |
| | 19 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Vektorer
Sida av 12
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Vektor
- Parallellavektorer
- Motsatta vektorer
- Koordinatform för vektor
- Parallellförflyttning av vektor
- Komposant
- Längden av en vektor
Förkunskaper
Teori
Vektor
En vektor beskriver en storhet som har både storlek och riktning. Storheter som kan beskrivas med vektorer är t.ex. hastighet, acceleration och kraft. Den vanligaste notationen för vektorer är att sätta en pil eller ett streck över en bokstav, exempelvis v eller v. Grafiskt brukar en vektor representeras av en pil, där pilens längd motsvarar vektorns storlek och pilhuvudet visar riktningen. Drar man en vektor mellan två namngivna punkter, t.ex. startpunkten A och slutpunkten B, brukar man namnge den AB, och om den riktas åt andra hållet får den namnet BA.
Teori
Parallella vektorer
Två vektorer, v_1 och v_2, sägs vara parallella om de har samma riktning eller om de har motsatta riktningar.
Teori
Motsatta vektorer
Två vektorer, v_1 och v_2, sägs vara motsatta om de har samma längd men motsatta riktningar.
I exemplet ovan är v_1 och v_2 motsatta. Vektorerna v_1 och v_3 är inte motsatta eftersom deras riktningar inte är motsatta. Vektorerna v_1 och v_4 är inte motsatta eftersom de inte har samma längd. När två vektorer är motsatta kan den ena skrivas som den negativa av den andra. v_2 = - v_1 Följande applet kan användas för att visualisera en vektor och dess motsatta vektor.
Exempel
Beskriver ett par vektorer
Betrakta följande par av vektorer.
a Är vektorerna parallella?
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
b Är vektorerna motsatta?
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
Ledtråd
a Parallella vektorer har samma eller motsatt riktning.
b Motsatta vektorer har samma längd och motsatt riktning.
Lösning
a Parallella vektorer har samma riktning eller motsatt riktning. Detta innebär att om de placeras tillsammans, kommer de att ligga på samma linje.
Vektorerna har motsatt riktning. Detta innebär att de är parallella.
b Motsatta vektorer har samma längd och motsatt riktning. Det konstaterades i del A att de givna vektorerna har motsatt riktning. Dock kan det ses, genom att placera dem bredvid varandra, att de inte har samma längd.
Eftersom vektorerna inte har samma längd, är de inte motsatta.
Teori
Koordinatform för vektor
Vektorer brukar beskrivas i koordinatform, där koordinaterna anger förändringen i x- och y-led. För en utritad vektor kan man bestämma koordinaterna genom att beräkna skillnaden i x- och y-led mellan start- och slutpunkten.
Till skillnad från punkter på koordinatform, som anger en specifik position i koordinatsystemet, anger vektorer förändring, och är alltså inte bundna till en viss position.
Exempel
Skriv vektorerna på koordinatform
Skriv vektorerna u och v på koordinatform.
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":" "},"formTextBefore":"u=","formTextAfter":null,"answer":{"text1":"4","text2":"2"}}
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":" "},"formTextBefore":"v=","formTextAfter":null,"answer":{"text1":"-3","text2":"1"}}
Ledtråd
Använd rutnätet för att hitta den horisontella och den vertikala förskjutningen för varje vektor.
Lösning
För att skriva vektorerna på koordinatform mäter vi förändringen i x- och y-led mellan start- och slutpunkterna. För v noterar vi att slutpunkten finns till vänster om startpunkten, vilket ger en negativ förändring i x-led.
Skillnaden är 4 längdenheter i x-led och 2 i y-led. Det innebär att koordinatformen för u är (4,2). Skillnaden i x-led är - 3 längdenheter och 1 i y-led, så koordinatformen för v är (- 3,1).
Teori
Parallellförflyttning av vektor
När en vektor flyttas utan att vridas eller ändra längd sägs den ha parallellförflyttas. Vektorn hamnar i en annan position i koordinatsystemet men beskrivs av samma koordinater eftersom ändringen i x- och y-led inte beror på var vektorn är. Exempelvis beskrivs alla vektorer i figuren av v=(3,3).
Parallellförflyttas vektorn så att startpunkten hamnar i origo kommer slutpunkten att få samma koordinater som själva vektorn.
Teori
Komposant
En vektor kan alltid delas upp i två eller flera delvektorer
som anger förändringar i olika riktningar. Dessa delvektorer kallas komposanter. Oftast delar man upp dem i en vågrät x-komposant och en lodrät y-komposant, vars längder ges av vektorns koordinater. I figuren har vektorn v = (6,4) delats upp i komposanterna v_x = (6,0) och v_y = (0,4).
Exempel
Dela upp vektor i komposanter
Dela upp vektorn v i komposanter.
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":" "},"formTextBefore":"v_x=","formTextAfter":null,"answer":{"text1":"-7","text2":"0"}}
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":" "},"formTextBefore":"v_y=","formTextAfter":null,"answer":{"text1":"0","text2":"-8"}}
Ledtråd
Använd rutnätet för att hitta den horisontella och den vertikala förskjutningen för varje vektor. Skriv en vektor för var och en av dessa förskjutningar.
Lösning
Från startpunkt till slutpunkt ser vi att v ändras med 7 steg åt vänster och 8 steg ner i rutnätet vilket ger oss dess koordinatform: (-7, -8). Vi kan dela upp denna vektor i en vågrät x-komposant och en lodrät y-komposant som nedan.
Den vågräta komposanten visar hur vektorn ändrats i x-led, dvs. - 7 steg så y_x har koordinatformen (-7, 0). På samma sätt visar den lodräta komposanten vektorns förändring i y-led, dvs. - 8 steg så koordinatformen för v_y blir (0,- 8).
Teori
Längden av en vektor
Längden av en vektor v brukar skrivas |v|, vilket utläses normen eller absolutbeloppet av v. Längden på vågräta och lodräta vektorer kan avläsas direkt i koordinatsystemet, men mer generellt går det att använda Pythagoras sats för att beräkna längden.
x- och y-komposanten av vektorn v= (a,b) har ritats ut som kateterna i en rätvinklig triangel där v är hypotenusan. Längden för kateterna är a och b, och Pythagoras sats ger då |(a,b)|^2 = a^2 + b^2. Dras kvadratroten ur båda led ger detta den generella formeln för längden av en vektor. Eftersom längder alltid är positiva bortser man från den negativa roten.
|(a,b)| = sqrt(a^2 + b^2)
Exempel
Vad är vektorns längd?
Vad är längden av vektorerna u och v?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"|u|=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["5"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"|v|=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["5"]}}
Ledtråd
Använd formeln för en vektors längd.
Lösning
Vi går igenom en vektor i taget.
Vektor u
Vektorn u är lodrät och längden av en sådan vektor kan bestämmas genom att räkna hur många rutor den sträcker sig. Vi ser att den löper fem rutor uppåt så längden av vektorn blir alltså 5 le.
Vektor v
Denna vektor är varken lodrät eller vågrät så för att bestämma dess längd sätter vi in koordinatformen i formeln |(a,b)|=sqrt(a^2+b^2). Koordinatformen anger förändringen i x- och y-led mellan vektorns start- och slutpunkt. Från rutnätet ser vi att förändringen i x- och y-led är 4 och 3 så vektorn är (4,3).
|(a,b)|=sqrt(a^2+b^2)
SubstituteII
a= 4 och b= 3
|( 4, 3)|=sqrt(4^2+ 3^2)
CalcPow
Beräkna potens
|(4,3)|=sqrt(16+9)
AddTerms
Addera termerna
|(4,3)|=sqrt(25)
CalcRoot
Beräkna rot
|(4,3)|=5
Längden på vektorn v är också 5 le.
Vektorer
Uppgift 3.1
Du vet att vektorn
u=(a^2/3,b^2)
har vinkeln 45^(∘) mot horisontalplanet. Du vet även att vektorn v=(2a,b) har längden sqrt(13) le. Bestäm v:s koordinater exakt om du vet att a och b är större än noll.
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":" "},"formTextBefore":"v=","formTextAfter":null,"answer":{"text1":"2\\sqrt{3}","text2":"1"}}
security
report
code
security
report
code
Vad innebär det att vektorn u har vinkeln 45 ^(∘) mot horisontalplanet? Det betyder att vektorns x- och y-koordinat är samma. Hur vet vi det? Vi ritar upp en sådan vektor.
Vi bildar en rätvinklig triangel genom att dra en streckad linje från vektorns slutpunkt till horisontalplanet. Triangelns tredje vinkel blir då 45 ^(∘) och vi får därmed en triangel med två lika stora vinklar, dvs. en likbent triangel som i figuren nedan.
Kateterna blir alltså lika långa, och därför kommer x- och y- koordinaten i vektorns slutpunkt vara samma, exempelvis (1,1), (2,2) eller (562,562) beroende på hur lång vektorn är. Vi kan alltså likställa x- och y-koordinaten för u, vilket ger oss likheten a^2/3=b^2. Detta kan vi använda oss av när vi ska ta reda på v:s koordinater. v har koordinaterna (2a,b) och längden |v| =sqrt(13). Med hjälp av formeln för längden av en vektor kan vi ställa upp ekvationen: |v| = sqrt((2a)^2+b^2) ⇔ sqrt(13)= sqrt(4a^2+b^2). Men vi har redan ett uttryck för b^2, och genom att sätta in detta i ovanstående ekvation får vi endast variabeln a kvar som därmed kan lösas ut.
Nu vet vi att a= sqrt(3). För att ta reda på b sätter vi in detta i identieten a^23=b^2. Eftersom ekvationen innehåller a^2 kan vi sätta in a^2=3 direkt då (sqrt(3))^2=3.
a är alltså sqrt(3) och b=1. Sätter vi in dessa värden i koordinaterna för v=(2a,b) får vi att v=(2sqrt(3),1).
security
report
code
Två jetplan flyger på samma höjd. I nedanstående radarbild representerar vektorerna flygplanens hastighet. Flygtornet försöker kontakta piloterna och varna dem att de kommer krascha om inte någon ändrar kurs. Tyvärr har flygplanens radio slutat fungera och de kan inte kommunicera med flygtornet.
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
Flygplanen riskerar att krocka i punkt P nedan.
För att bestämma huruvida planen befinner sig i den röda pricken vid samma tidpunkt måste vi bestämma hastighet och avstånd.
Hastighet
Vi beräknar vektorernas längd (hastighet) genom att räkna antalet steg i x- och y-led som slutpunkten ligger från startpunkten och beräknar därefter deras längd.
Vektorn för plan A har koordinatformen (1,- 1). Sätter vi in dessa koordinater i formeln för att bestämma längden av en vektor kan vi beräkna hastigheten.
Plan A har farten sqrt(2). Vi kan inte bestämma hastigheten för plan B på samma sätt, eftersom vi inte vet skillnaden i y-led. Men vi kan använda definitionen för cosinus för att beräkna hypotenusan, som vi kallar c, i den rätvinkliga triangeln som bildas.
Då har vi uttryck för båda planens hastigheter.
Avstånd
Avståndet från flygplanet till den röda punkten kan vi beräkna med Pythagoras sats.
Vi sätter in kateterna i Pythagoras sats och löser ut hypotenusan. Observera att vi endast tar hänsyn till den positiva lösningen.
| Kateter | a^2+b^2=c^2 | Lös ut c |
|---|---|---|
| a=3, b=6 | 3^2+6^2=c^2 | c=sqrt(45) |
| a=3, b=- 3 | 3^2+(- 3)^2=c^2 | c=sqrt(18) |
Tiden
Nu har vi både hastighet och sträcka och kan beräkna tiden då flygplanen är vid den röda punkten genom att dela sträckan med hastigheten: Plan A: t=sqrt(45)/3,35≈ 2 Plan B:t=sqrt(18)/sqrt(2)=3 Plan A är vid punkt P efter 2 tidsenheter och plan B är vid punkt P efter 3 tidsenheter. De kommer alltså inte att krascha så Ove har rätt.
security
report
code
Ett litet flygplan landar vid en punkt 216 km österut och 76 km norrut från den punkt där det lyfte. Hur långt flög flygplanet?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"\u2248","formTextAfter":"km","answer":{"text":["229","228.9","228.98"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi vet att ett litet flygplan landar vid en punkt 216 km öster och 76 km norr om den punkt varifrån det lyfte. Vi kommer att rita denna situation i ett koordinatplan.
Vi vill veta hur långt flygplanet flög. För att hitta det kommer vi att använda avståndsformeln. d = sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2) Vi betraktar (0;0) som startpunkten och (216;76) som slutpunkten. För att hitta avståndet kommer vi att sätta in dessa punkter i formeln ovan.
Flygplanet flög ungefär 229 km.
security
report
code
Avgör om det givna påståendet är sant eller falskt.
|
Om u och v har samma magnitud och riktning, då är u=v. |
{"type":"choice","form":{"alts":["Sant","Falskt"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
Vi vill avgöra om det givna påståendet är sant eller falskt.
Om u och v har samma magnitud och riktning, då är u=v.
Kom ihåg att två vektorer är ekvivalenta när de har samma magnitud och riktning. Detta innebär att per definition är det givna påståendet sant.
security
report
code
Vektorer
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll