Vektorer

Vad innebär det att vektorn u har vinkeln 45 ^(∘) mot horisontalplanet? Det betyder att vektorns x- och y-koordinat är samma. Hur vet vi det? Vi ritar upp en sådan vektor.

Vi bildar en rätvinklig triangel genom att dra en streckad linje från vektorns slutpunkt till horisontalplanet. Triangelns tredje vinkel blir då 45 ^(∘) och vi får därmed en triangel med två lika stora vinklar, dvs. en likbent triangel som i figuren nedan.

Kateterna blir alltså lika långa, och därför kommer x- och y- koordinaten i vektorns slutpunkt vara samma, exempelvis (1,1), (2,2) eller (562,562) beroende på hur lång vektorn är. Vi kan alltså likställa x- och y-koordinaten för u, vilket ger oss likheten a^2/3=b^2. Detta kan vi använda oss av när vi ska ta reda på v:s koordinater. v har koordinaterna (2a,b) och längden |v| =sqrt(13). Med hjälp av formeln för längden av en vektor kan vi ställa upp ekvationen: |v| = sqrt((2a)^2+b^2) ⇔ sqrt(13)= sqrt(4a^2+b^2). Men vi har redan ett uttryck för b^2, och genom att sätta in detta i ovanstående ekvation får vi endast variabeln a kvar som därmed kan lösas ut.

Nu vet vi att a= sqrt(3). För att ta reda på b sätter vi in detta i identieten a^23=b^2. Eftersom ekvationen innehåller a^2 kan vi sätta in a^2=3 direkt då (sqrt(3))^2=3.

a är alltså sqrt(3) och b=1. Sätter vi in dessa värden i koordinaterna för v=(2a,b) får vi att v=(2sqrt(3),1).

Flygplanen riskerar att krocka i punkt P nedan.

För att bestämma huruvida planen befinner sig i den röda pricken vid samma tidpunkt måste vi bestämma hastighet och avstånd.

Hastighet

Vi beräknar vektorernas längd (hastighet) genom att räkna antalet steg i x- och y-led som slutpunkten ligger från startpunkten och beräknar därefter deras längd.

Vektorn för plan A har koordinatformen (1,- 1). Sätter vi in dessa koordinater i formeln för att bestämma längden av en vektor kan vi beräkna hastigheten.

Plan A har farten sqrt(2). Vi kan inte bestämma hastigheten för plan B på samma sätt, eftersom vi inte vet skillnaden i y-led. Men vi kan använda definitionen för cosinus för att beräkna hypotenusan, som vi kallar c, i den rätvinkliga triangeln som bildas.

Då har vi uttryck för båda planens hastigheter.

Avstånd

Avståndet från flygplanet till den röda punkten kan vi beräkna med Pythagoras sats.

Vi sätter in kateterna i Pythagoras sats och löser ut hypotenusan. Observera att vi endast tar hänsyn till den positiva lösningen.

Tiden

Nu har vi både hastighet och sträcka och kan beräkna tiden då flygplanen är vid den röda punkten genom att dela sträckan med hastigheten: Plan A: t=sqrt(45)/3,35≈ 2 Plan B:t=sqrt(18)/sqrt(2)=3 Plan A är vid punkt P efter 2 tidsenheter och plan B är vid punkt P efter 3 tidsenheter. De kommer alltså inte att krascha så Ove har rätt.