Vektorer

Videolektion

Mathleaks

Minispelare aktiv

En vektor beskriver en storhet som har både storlek och riktning. Storheter som kan beskrivas med vektorer är t.ex. hastighet, acceleration och kraft. Den vanligaste notationen för vektorer är att sätta en pil eller ett streck över en bokstav, exempelvis $v eller \overset{v}{ˉ} .$ Grafiskt brukar en vektor representeras av en pil, där pilens längd motsvarar vektorns storlek och pilhuvudet visar riktningen. Drar man en vektor mellan två namngivna punkter, t.ex. startpunkten A och slutpunkten B, brukar man namnge den $A B$ , och om den riktas åt andra hållet får den namnet $B A .$

Begrepp

Koordinatform för vektor

Vektorer brukar beskrivas med koordinater, där $x$ - och $y$ -koordinaterna anger förändringen i respektive riktning. För en utritad vektor kan man bestämma koordinaterna genom att beräkna skillnaden i $x$ - och $y$ -led mellan start- och slutpunkten.

Till skillnad från punkter på koordinatform, som anger en specifik position i koordinatsystemet, anger vektorer förändring, och är alltså inte bundna till en viss position.

Skriv vektorerna på koordinatform

fullscreen

Uppgift

Skriv vektorerna $u$ och $v$ på koordinatform.

Visa Lösning

Lösning

För att skriva vektorerna på koordinatform mäter vi förändringen i $x$ - och $y$ -led mellan start- och slutpunkterna. För $v$ noterar vi att slutpunkten finns till vänster om startpunkten, vilket ger en negativ förändring i $x$ -led.

Exempel

Vektor $u$

Skillnaden är $4$ längdenheter i $x$ -led och 2 i $y$ -led. Det innebär att koordinatformen för $u$ är $(4, 2) .$

Exempel

Vektor $v$

Skillnaden i $x$ -led är $- 3$ längdenheter och $1$ i $y$ -led, så koordinatformen för $v$ är $(- 3, 1) .$

Begrepp

Parallellförflyttning av vektorer

När en vektor flyttas utan att vridas eller ändra längd sägs den ha parallellförflyttas. Vektorn hamnar i en annan position i koordinatsystemet men beskrivs av samma koordinater eftersom ändringen i $x$ - och $y$ -led inte beror på var vektorn är. Exempelvis beskrivs alla vektorer i figuren av $v = (3, 3) .$

Parallellförflytta

Parallellförflyttas vektorn så att startpunkten hamnar i origo kommer slutpunkten att få samma koordinater som själva vektorn.

Begrepp

Komposant

En vektor kan alltid delas upp i två eller flera "delvektorer" som anger förändringar i olika riktningar. Dessa delvektorer kallas komposanter. Oftast delar man upp dem i en vågrät $x$ -komposant och en lodrät $y$ -komposant, vars längder ges av vektorns koordinater. I figuren har vektorn $v = (6, 4)$ delats upp i komposanterna $v_{x} = (6, 0)$ och $v_{y} = (0, 4) .$

Dela upp vektor i komposanter

fullscreen

Uppgift

Dela upp vektorn $v$ i komposanter.

Visa Lösning

Lösning

Från startpunkt till slutpunkt ser vi att $v$ ändras med $7$ steg åt vänster och $8$ steg ner i rutnätet vilket ger oss dess koordinatform: $(- 7, - 8)$ . Vi kan dela upp denna vektor i en vågrät $x$ -komposant och en lodrät $y$ -komposant som nedan.

Den vågräta komposanten visar hur vektorn ändrats i $x$ -led, dvs. $- 7$ steg så $y_{x}$ har koordinatformen $(- 7, 0) .$ På samma sätt visar den lodräta komposanten vektorns förändring i $y$ -led, dvs. $- 8$ steg så koordinatformen för $v_{y}$ blir $(0, - 8) .$

Regel

Längden av en vektor

Längden av en vektor $v$ brukar skrivas $∣ v ∣,$ vilket utläses normen eller absolutbeloppet av $v .$ Längden på vågräta och lodräta vektorer kan avläsas direkt i koordinatsystemet, men mer generellt går det att använda Pythagoras sats för att beräkna längden.

$x$ - och $y$ -komposanten av vektorn $v = (a, b)$ har ritats ut som kateterna i en rätvinklig triangel där $v$ är hypotenusan. Längden för kateterna är $a$ och $b$ , och Pythagoras sats ger då $∣ (a, b) ∣^{2} = a^{2} + b^{2} .$ Dras kvadratroten ur båda led ger detta den generella formeln för längden av en vektor. Eftersom längder alltid är positiva bortser man från den negativa roten.

$∣ (a, b) ∣ = a^{2} + b^{2}$

Vad är vektorns längd?

fullscreen

Uppgift

Vad är längden av vektorerna $u$ och $v$ ?

Visa Lösning

Lösning

Vi går igenom en vektor i taget.

Exempel

Vektor $u$

Vektorn $u$ är lodrät och längden av en sådan vektor kan bestämmas genom att räkna hur många rutor den sträcker sig. Vi ser att den löper fem rutor uppåt så längden av vektorn blir alltså $5$ le.

Exempel

Vektor $v$

Denna vektor är varken lodrät eller vågrät så för att bestämma dess längd sätter vi in koordinatformen i formeln $∣ (a, b) ∣ = a^{2} + b^{2} .$ Koordinatformen anger förändringen i $x$ - och $y$ -led mellan vektorns start- och slutpunkt. Från rutnätet ser vi att förändringen i $x$ - och $y$ -led är $4$ och $3$ så vektorn är $(4, 3) .$

∣ (a, b) ∣ = a^{2} + b^{2}

SubstituteII

a = 4

,

b = 3

∣ (4, 3) ∣ = 4^{2} + 3^{2}

CalcPowBeräkna potens

∣ (4, 3) ∣ = 16 + 9

AddTermsFörenkla termer

∣ (4, 3) ∣ = 25

CalcRootBeräkna rot

∣ (4, 3) ∣ = 5

Längden på vektorn $v$ är också $5$ le.