mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
Expandera meny menu_open Minimera
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open
Fördjupning

Vektorer


Videolektion

Mathleaks

play_circle_filled
play_circle_filled
picture_in_picture_alt

Minispelare aktiv

En vektor beskriver en storhet som har både storlek och riktning. Storheter som kan beskrivas med vektorer är t.ex. hastighet, acceleration och kraft. Den vanligaste notationen för vektorer är att sätta en pil eller ett streck över en bokstav, exempelvis Grafiskt brukar en vektor representeras av en pil, där pilens längd motsvarar vektorns storlek och pilhuvudet visar riktningen. Drar man en vektor mellan två namngivna punkter, t.ex. startpunkten A och slutpunkten B, brukar man namnge den , och om den riktas åt andra hållet får den namnet

Begrepp

Koordinatform för vektor

Vektorer brukar beskrivas med koordinater, där - och -koordinaterna anger förändringen i respektive riktning. För en utritad vektor kan man bestämma koordinaterna genom att beräkna skillnaden i - och -led mellan start- och slutpunkten.

Till skillnad från punkter på koordinatform, som anger en specifik position i koordinatsystemet, anger vektorer förändring, och är alltså inte bundna till en viss position.
fullscreen
Uppgift

Skriv vektorerna och på koordinatform.

Visa Lösning
Lösning

För att skriva vektorerna på koordinatform mäter vi förändringen i - och -led mellan start- och slutpunkterna. För noterar vi att slutpunkten finns till vänster om startpunkten, vilket ger en negativ förändring i -led.

Exempel

Vektor

Skillnaden är längdenheter i -led och 2 i -led. Det innebär att koordinatformen för är

Exempel

Vektor

Skillnaden i -led är längdenheter och i -led, så koordinatformen för är

Begrepp

Parallellförflyttning av vektorer

När en vektor flyttas utan att vridas eller ändra längd sägs den ha parallellförflyttas. Vektorn hamnar i en annan position i koordinatsystemet men beskrivs av samma koordinater eftersom ändringen i - och -led inte beror på var vektorn är. Exempelvis beskrivs alla vektorer i figuren av

Parallellförflytta

Parallellförflyttas vektorn så att startpunkten hamnar i origo kommer slutpunkten att få samma koordinater som själva vektorn.
Begrepp

Komposant

En vektor kan alltid delas upp i två eller flera "delvektorer" som anger förändringar i olika riktningar. Dessa delvektorer kallas komposanter. Oftast delar man upp dem i en vågrät -komposant och en lodrät -komposant, vars längder ges av vektorns koordinater. I figuren har vektorn delats upp i komposanterna och

fullscreen
Uppgift

Dela upp vektorn i komposanter.

Visa Lösning
Lösning

Från startpunkt till slutpunkt ser vi att ändras med steg åt vänster och steg ner i rutnätet vilket ger oss dess koordinatform: . Vi kan dela upp denna vektor i en vågrät -komposant och en lodrät -komposant som nedan.

Den vågräta komposanten visar hur vektorn ändrats i -led, dvs. steg så har koordinatformen På samma sätt visar den lodräta komposanten vektorns förändring i -led, dvs. steg så koordinatformen för blir

Regel

Längden av en vektor

Längden av en vektor brukar skrivas vilket utläses normen eller absolutbeloppet av Längden på vågräta och lodräta vektorer kan avläsas direkt i koordinatsystemet, men mer generellt går det att använda Pythagoras sats för att beräkna längden.

- och -komposanten av vektorn har ritats ut som kateterna i en rätvinklig triangel där är hypotenusan. Längden för kateterna är och , och Pythagoras sats ger då Dras kvadratroten ur båda led ger detta den generella formeln för längden av en vektor. Eftersom längder alltid är positiva bortser man från den negativa roten.

fullscreen
Uppgift

Vad är längden av vektorerna och  ?

Visa Lösning
Lösning

Vi går igenom en vektor i taget.

Exempel

Vektor

Vektorn är lodrät och längden av en sådan vektor kan bestämmas genom att räkna hur många rutor den sträcker sig. Vi ser att den löper fem rutor uppåt så längden av vektorn blir alltså le.


Exempel

Vektor

Denna vektor är varken lodrät eller vågrät så för att bestämma dess längd sätter vi in koordinatformen i formeln Koordinatformen anger förändringen i - och -led mellan vektorns start- och slutpunkt. Från rutnätet ser vi att förändringen i - och -led är och så vektorn är

Längden på vektorn är också le.

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward