Vektorer

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

En vektor beskriver en storhet som har både storlek och riktning. Storheter som kan beskrivas med vektorer är t.ex. hastighet, acceleration och kraft. Den vanligaste notationen för vektorer är att sätta en pil eller ett streck över en bokstav, exempelvis vellervˉ. \vec{v} \quad \text{eller} \quad \bar{v}. Grafiskt brukar en vektor representeras av en pil, där pilens längd motsvarar vektorns storlek och pilhuvudet visar riktningen. Drar man en vektor mellan två namngivna punkter, t.ex. startpunkten A och slutpunkten B, brukar man namnge den AB\overrightarrow{AB}, och om den riktas åt andra hållet får den namnet BA.\overrightarrow{BA}.

Begrepp

Koordinatform för vektor

Vektorer brukar beskrivas med koordinater, där xx- och yy-koordinaterna anger förändringen i respektive riktning. För en utritad vektor kan man bestämma koordinaterna genom att beräkna skillnaden i xx- och yy-led mellan start- och slutpunkten.

Till skillnad från punkter på koordinatform, som anger en specifik position i koordinatsystemet, anger vektorer förändring, och är alltså inte bundna till en viss position.
Uppgift

Skriv vektorerna u\vec{u} och v\vec{v} på koordinatform.

Lösning

För att skriva vektorerna på koordinatform mäter vi förändringen i xx- och yy-led mellan start- och slutpunkterna. För v\vec{v} noterar vi att slutpunkten finns till vänster om startpunkten, vilket ger en negativ förändring i xx-led.

Exempel

Vektor u\vec{u}

Skillnaden är 44 längdenheter i xx-led och 2 i yy-led. Det innebär att koordinatformen för u\vec{u} är (4,2).(4,2).

Exempel

Vektor v\vec{v}

Skillnaden i xx-led är -3\text{-} 3 längdenheter och 11 i yy-led, så koordinatformen för v\vec{v} är (-3,1).(\text{-} 3,1).

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Parallellförflyttning av vektorer

När en vektor flyttas utan att vridas eller ändra längd sägs den ha parallellförflyttas. Vektorn hamnar i en annan position i koordinatsystemet men beskrivs av samma koordinater eftersom ändringen i xx- och yy-led inte beror på var vektorn är. Exempelvis beskrivs alla vektorer i figuren av v=(3,3).\vec{v}=(3,3).

Parallellförflytta

Parallellförflyttas vektorn så att startpunkten hamnar i origo kommer slutpunkten att få samma koordinater som själva vektorn.
Begrepp

Komposant

En vektor kan alltid delas upp i två eller flera "delvektorer" som anger förändringar i olika riktningar. Dessa delvektorer kallas komposanter. Oftast delar man upp dem i en vågrät xx-komposant och en lodrät yy-komposant, vars längder ges av vektorns koordinater. I figuren har vektorn v=(6,4)\vec{v} = (6,4) delats upp i komposanterna vx=(6,0)\vec{v}_x = (6,0) och vy=(0,4).\vec{v}_y = (0,4).

Uppgift

Dela upp vektorn v\vec{v} i komposanter.

Lösning

Från startpunkt till slutpunkt ser vi att v\vec{v} ändras med 77 steg åt vänster och 88 steg ner i rutnätet vilket ger oss dess koordinatform: (-7,-8)(\text{-}7, \text{-}8). Vi kan dela upp denna vektor i en vågrät xx-komposant och en lodrät yy-komposant som nedan.

Den vågräta komposanten visar hur vektorn ändrats i xx-led, dvs. -7\text{-} 7 steg så yx\vec{y}_x har koordinatformen (-7,0).(\text{-}7, 0). På samma sätt visar den lodräta komposanten vektorns förändring i yy-led, dvs. -8\text{-} 8 steg så koordinatformen för vy\vec{v}_y blir (0,-8).(0,\text{-} 8).

Visa lösning Visa lösning
Regel

Längden av en vektor

Längden av en vektor v\vec{v} brukar skrivas v,|\vec{v}|, vilket utläses normen eller absolutbeloppet av v.\vec{v}. Längden på vågräta och lodräta vektorer kan avläsas direkt i koordinatsystemet, men mer generellt går det att använda Pythagoras sats för att beräkna längden.

xx- och yy-komposanten av vektorn v=(a,b)\vec{v}= (a,b) har ritats ut som kateterna i en rätvinklig triangel där v\vec{v} är hypotenusan. Längden för kateterna är aa och bb, och Pythagoras sats ger då (a,b)2=a2+b2. |(a,b)|^2 = a^2 + b^2. Dras kvadratroten ur båda led ger detta den generella formeln för längden av en vektor. Eftersom längder alltid är positiva bortser man från den negativa roten.

(a,b)=a2+b2|(a,b)| = \sqrt{a^2 + b^2}

Uppgift

Vad är längden av vektorerna u\vec{u} och v\vec{v} ?

Lösning

Vi går igenom en vektor i taget.

Exempel

Vektor u\vec{u}

Vektorn u\vec{u} är lodrät och längden av en sådan vektor kan bestämmas genom att räkna hur många rutor den sträcker sig. Vi ser att den löper fem rutor uppåt så längden av vektorn blir alltså 55 le.


Exempel

Vektor v\vec{v}

Denna vektor är varken lodrät eller vågrät så för att bestämma dess längd sätter vi in koordinatformen i formeln (a,b)=a2+b2. |(a,b)|=\sqrt{a^2+b^2}. Koordinatformen anger förändringen i xx- och yy-led mellan vektorns start- och slutpunkt. Från rutnätet ser vi att förändringen i xx- och yy-led är 44 och 33 så vektorn är (4,3).(4,3).

(a,b)=a2+b2|(a,b)|=\sqrt{a^2+b^2}
a=4a={\color{#0000FF}{4}}, b=3b={\color{#009600}{3}}
(4,3)=42+32|({\color{#0000FF}{4}},{\color{#009600}{3}})|=\sqrt{{\color{#0000FF}{4}}^2+{\color{#009600}{3}}^2}
(4,3)=16+9|(4,3)|=\sqrt{16+9}
(4,3)=25|(4,3)|=\sqrt{25}
(4,3)=5|(4,3)|=5

Längden på vektorn v\vec{v} är också 55 le.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}