Minispelare aktiv
En vektor beskriver en storhet som har både storlek och riktning. Storheter som kan beskrivas med vektorer är t.ex. hastighet, acceleration och kraft. Den vanligaste notationen för vektorer är att sätta en pil eller ett streck över en bokstav, exempelvis vellervˉ. Grafiskt brukar en vektor representeras av en pil, där pilens längd motsvarar vektorns storlek och pilhuvudet visar riktningen. Drar man en vektor mellan två namngivna punkter, t.ex. startpunkten A och slutpunkten B, brukar man namnge den AB, och om den riktas åt andra hållet får den namnet BA.
Vektorer brukar beskrivas med koordinater, där x- och y-koordinaterna anger förändringen i respektive riktning. För en utritad vektor kan man bestämma koordinaterna genom att beräkna skillnaden i x- och y-led mellan start- och slutpunkten.
Skriv vektorerna u och v på koordinatform.
För att skriva vektorerna på koordinatform mäter vi förändringen i x- och y-led mellan start- och slutpunkterna. För v noterar vi att slutpunkten finns till vänster om startpunkten, vilket ger en negativ förändring i x-led.
Skillnaden är 4 längdenheter i x-led och 2 i y-led. Det innebär att koordinatformen för u är (4,2).
Skillnaden i x-led är -3 längdenheter och 1 i y-led, så koordinatformen för v är (-3,1).
När en vektor flyttas utan att vridas eller ändra längd sägs den ha parallellförflyttas. Vektorn hamnar i en annan position i koordinatsystemet men beskrivs av samma koordinater eftersom ändringen i x- och y-led inte beror på var vektorn är. Exempelvis beskrivs alla vektorer i figuren av v=(3,3).
En vektor kan alltid delas upp i två eller flera "delvektorer" som anger förändringar i olika riktningar. Dessa delvektorer kallas komposanter. Oftast delar man upp dem i en vågrät x-komposant och en lodrät y-komposant, vars längder ges av vektorns koordinater. I figuren har vektorn v=(6,4) delats upp i komposanterna vx=(6,0) och vy=(0,4).
Dela upp vektorn v i komposanter.
Från startpunkt till slutpunkt ser vi att v ändras med 7 steg åt vänster och 8 steg ner i rutnätet vilket ger oss dess koordinatform: (-7,-8). Vi kan dela upp denna vektor i en vågrät x-komposant och en lodrät y-komposant som nedan.
Den vågräta komposanten visar hur vektorn ändrats i x-led, dvs. -7 steg så yx har koordinatformen (-7,0). På samma sätt visar den lodräta komposanten vektorns förändring i y-led, dvs. -8 steg så koordinatformen för vy blir (0,-8).
Längden av en vektor v brukar skrivas ∣v∣, vilket utläses normen eller absolutbeloppet av v. Längden på vågräta och lodräta vektorer kan avläsas direkt i koordinatsystemet, men mer generellt går det att använda Pythagoras sats för att beräkna längden.
x- och y-komposanten av vektorn v=(a,b) har ritats ut som kateterna i en rätvinklig triangel där v är hypotenusan. Längden för kateterna är a och b, och Pythagoras sats ger då ∣(a,b)∣2=a2+b2. Dras kvadratroten ur båda led ger detta den generella formeln för längden av en vektor. Eftersom längder alltid är positiva bortser man från den negativa roten.
∣(a,b)∣=a2+b2
Vad är längden av vektorerna u och v ?
Vi går igenom en vektor i taget.
Vektorn u är lodrät och längden av en sådan vektor kan bestämmas genom att räkna hur många rutor den sträcker sig. Vi ser att den löper fem rutor uppåt så längden av vektorn blir alltså 5 le.
Denna vektor är varken lodrät eller vågrät så för att bestämma dess längd sätter vi in koordinatformen i formeln ∣(a,b)∣=a2+b2. Koordinatformen anger förändringen i x- och y-led mellan vektorns start- och slutpunkt. Från rutnätet ser vi att förändringen i x- och y-led är 4 och 3 så vektorn är (4,3).
Längden på vektorn v är också 5 le.