Uttryck med parenteser

I uttrycket som ska beräknas finns 8x+4y, men vi känner bara till att 2x+y=20. Om vi multiplicerar båda sidor med 4, får vi däremot veta vad 8x+4y är.

Detta sätter vi in i vårt uttryck och beräknar.

Uttryckets värde är alltså 75.

Vi utgår ifrån det vi vet, dvs. 12y+24x+6=60, och försöker får loss uttrycket 8x+4y för att sätta in det, på samma sätt som i föregående deluppgift. Om vi skriver om uttrycket så ser vi att vi kan få ut 8x+4y genom att dividera med tre.

Detta värde sätter vi in i uttrycket vi vill beräkna.

Uttryckets värde är 13.

Vi kallar de okända talen a och b. Kvadraten av summan av talen får vi genom att först addera dem och sedan höja upp summan till 2, dvs. (a+b)^2. Upphöjt till 2 är samma som att multiplicera med sig själv två gånger. Vi gör det och förenklar.

Hur ska vi beräkna det här? Vi vet att summan av kvadraterna är 61. Det betyder att a^2+b^2=61. Produkten av talen är 30 vilket vi kan skriva ab=30. Detta använder vi för att beräkna värdet på uttrycket.

Kvadraten av summan av talen är alltså 121.

Arean för hela kvadraten i bilden är just (a+b)^2. Vi vill undersöka om detta är lika med det som står i högerledet genom att undersöka bilden. Det kan vi göra genom att ställa upp ett uttryck för summan av de färgade områdenas olika areor, och sedan likställa detta med (a+b)^2. Denna likhet måste gälla, eftersom de representerar samma area.

Arean av de mindre områdena

Nu uttrycker vi arean för varje färgade bit för sig och summerar sedan dessa. Vi kan börja med den blå biten som är en kvadrat med sidan a, och alltså får arean a^2.

På liknande sätt kan vi uttrycka arean av de gröna bitarna som a * b=ab. Eftersom vi har två likadana kan vi uttrycka deras totala area som ab+ab=2ab.

Det röda området är en kvadrat med sidan b, vilket ger den arean b^2.

Alla färgade bitar tillsammans får då den totala arean a^2+2ab+b^2.

Slutsats

Nu har vi beräknat arean på två olika sätt. Eftersom uttrycken beskriver samma område måste de vara lika, dvs. (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2. Alltså gäller likheten.

Vi antar att den ursprungliga kvadratiska uteplatsen har A plattor längs sidan. Uteplatsen består då av totalt A^2 plattor.

Eftersom den nya uteplatsens ena sida förkortas med X plattor blir denna sida nu A-X plattor lång. På samma sätt blir den andra sidan A+X plattor lång. Antalet plattor blir då (A-X)(A+X) efter omläggningen.

Vi förenklar uttrycket för antalet plattor i den nya uteplatsen genom att multiplicera ihop parenteserna.

Den kvadratiska uteplatsen hade A^2 plattor och den nya A^2-X^2 st. plattor. Skillnaden får vi genom att subtrahera uttrycken, alltså antalet plattor på kvadratiska uteplatsen minus antalet plattor på den nya uteplatsen.

Oavsett hur många plattor sidorna ändras med får hon alltid X^2 plattor över. T.ex. om hon förkortar respektive förlänger sidorna med 2 plattor får hon 2^2=4 plattor över.

Vi börjar med att fokusera på täljaren. Om vi vill kan vi, för att slippa skriva uttrycket i nämnaren under tiden, tills vidare utelämna denna. Vi multiplicerar ihop de två första parenteserna i täljaren.

Nu skriver vi om parentesen i kvadrat som samma parentes multiplicerat med sig själv. Sedan utvecklar vi dem genom att multiplicerar alla termer i ena parentesen med alla termer i den andra.

Nu multiplicerar vi in första termen i första parentesen med alla tre termer i andra parentesen. Sedan gör vi likadant med x^5y^5. Tänk på att ett negativt uttryck gånger ett negativt blir positivt.

Nu kan vi sätta tillbaka uttrycket för nämnaren och multiplicera in x^6y^6.

Både nämnare och täljare är lika, och ett tal eller uttryck delat med sig själv är 1.

Låt oss börja med att förenkla båda leden genom att ta bort båda parenteser. I vänsterledet kan parentesen tas bort utan vidare då den inte har något minustecken framför sig. I högerledet måste vi däremot byta tecken på alla termer inuti parentesen.

Nu har vi ett negativ tal som är lika med sin positiva motsvarighet. Det finns bara ett tal som uppfyller detta: 0. Likheten uppfylls alltså om c=0.

Om radien ökar med m meter blir den nya radien r+m. Vi ersätter r med detta och utvecklar kvadraten för att bestämma jordens nya area som vi kallar A_(ny).

Den första termen, 4π r^2, är ju A. Det betyder att den nya arean kan beskrivas som A_(ny)=A + 8π rm+4π m^2. Arean har alltså ökat med 8π rm+4π m^2.

Om radien fördubblas ökar den med r. Det innebär att m=r. Vi sätter in detta i formeln.

Vi ser att det gamla uttrycket för arean multipliceras med 4. Det innebär med andra ord att arean blir fyra gånger större.