{{ 'ml-label-loading-course' | message }}
{{ toc.name }}
{{ toc.signature }}
{{ tocHeader }} {{ 'ml-btn-view-details' | message }}
{{ tocSubheader }}
{{ 'ml-toc-proceed-mlc' | message }}
{{ 'ml-toc-proceed-tbs' | message }}
Lektion
Övningar
Rekommenderade
Tester
Ett fel uppstod, försök igen senare!
arrow_back
eKurser /
Matematik 9 /
Kapitel {{ article.chapter.number }}
{{ article.number }}. 

{{ article.displayTitle }}

{{ article.intro.summary }}
Visa mindre Visa mer expand_more
{{ ability.description }} {{ ability.displayTitle }}
Inställningar & verktyg för lektion
{{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.intro.bblockCount }}
{{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.intro.exerciseCount }}
{{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }}
Kreditlista Bilder expand_more
Inga inlägg om filrättigheter hittades
Linjära funktioner hjälper människor att förstå situationer i verkliga livet och fatta välgrundade beslut. De är användbara när man jämför prisalternativ eller när man köper artiklar i bulk som följer linjära mönster. Denna lektion använder följande koncept för att utforska tillämpningar av linjära funktioner.
  • Proportionalitet
  • Proportionalitetskonstant

Förkunskaper
Teori

Modellering av fasta och rörliga kostnader med linjära funktioner

En lokal cykeluthyrning tar ut en fast avgift på kronor och därefter kronor per timme för att hyra en cykel. Här är några exempel på de totala kostnaderna, inklusive den fasta avgiften och hyrestimmarna.

Hyrestimmar Kostnad för hyrestimmar Kostnad för hyrestimmar plus fast avgift Total kostnad
Om representerar totalkostnaden kan följande linjära funktion skapas.
I denna funktion är totalkostnaden i kronor, är den rörliga kostnaden per timme, är antalet timmar för uthyrningen, och är den fasta kostnaden. Totalkostnaden beror på uthyrningstiden , vilket gör kostnaden till en funktion av tid. En graf kan ritas för att visualisera denna funktion. Först gör man en värdetabell.

Nu, rita punkterna på ett koordinatplan och koppla ihop dem med en rak linje. Tiden i timmar placeras på axeln och den totala kostnaden på axeln.

Graf av funktionen y=30x+50
Många liknande situationer med en fast avgift plus en kostnad som ökar med ett konstant värde kan modelleras med hjälp av linjära funktioner.
Exempel

Beställningar av anpassade T-shirts

Grafen nedan visar totalkostnaden för att beställa anpassade T-shirts, inklusive en startavgift och en kostnad per tröja.

Graf över funktionen y=200x+100
a Vad är den fasta startavgiften för att beställa anpassade T-shirts?
b Hur mycket kostar varje extra T-shirt?
c Skriv funktionen för grafen i formen där är totalkostnaden och är antalet tröjor.
d Om en klubb vill beställa T-shirts, vad skulle totalkostnaden bli?

Ledtråd
a Hitta värdet genom att identifiera var grafen skär axeln.
b Välj två punkter på grafen för att hitta förändringen i och Beräkna genom att dividera den vertikala förändringen med den horisontella förändringen.
c Skriv funktionen i form genom att använda värdet och värdet som hittades i Del A och Del B.
d Beräkna den totala kostnaden genom att ersätta för i funktionen som hittades i Del C.

Lösning
a För att hitta den fasta startavgiften identifierar du värdet i grafen, vilket är där grafen möter axeln vid Om man tittar på visar det kostnaden innan några tröjor tillverkas.
Grafen för funktionen y=200x+100 och punkten (0,100) på grafen.

skärningen är kronor, vilket innebär att Denna startavgift på kronor kan täcka kostnader som designarbete, förberedelse av utrustning och hantering av beställningen.

b Börja med att hitta värdet på i grafen. För att göra detta, börja vid och flytta sedan en tröja åt höger och räkna enheterna uppåt tills du når grafen igen.
Linjediagram över y=200x+100, med startpunkt $(0,100)$. En lutningstriangel visar att om man flyttar 1 enhet åt höger och 200 enheter upp når man punkten $(1,300)$ på linjen.
Dividera förändringen i riktningen med förändringen i riktningen för att beräkna
Värdet på är vilket betyder att varje T-shirt kostar kronor.
c Ersätt värdet och värdet som hittades tidigare i formen för att skriva funktionen för grafen.
I denna funktion är den totala kostnaden i kronor och är antalet tröjor.
d Funktionen för grafen kan användas för att hitta totalkostnaden för en beställning av T-shirts. Sätt in för i funktionen och förenkla.
Substitute

Multiply

Multiplicera faktorer

AddTerms

Addera termerna

Totalkostnaden för T-shirts är kronor, vilket inkluderar både startavgiften och kostnaden per tröja.
Teori

Linjär funktion med

I en linjär funktion i formen kan värdet på vara Detta specialfall kallas proportionalitet, där en storhet helt enkelt är en konstant multipel av den andra.

Koncept

Proportionalitet

Proportionalitet är ett förhållande mellan två kvantiteter där den ena kvantiteten är en konstant multipel av den andra. Detta innebär att när den ena kvantiteten ändras, ändras den andra med ett konstant belopp. Betrakta två kvantiteter, och De är proportionella om det finns en konstant sådan att följande relation gäller.
Konstanten kallas proportionalitetskonstanten och den beskriver hur snabbt värdet ändras när värdet ändras. Ett exempel på proportionalitet är sambandet mellan antal arbetade timmar och intjänade pengar. Om proportionalitetskonstanten är kronor per timme kan detta förhållande uttryckas med följande ekvation.
Det här förhållande kan användas för att skapa en tabell som visar de intjänade pengarna beroende på antalet arbetade timmar. Denna information kan sedan representeras som ett talpar i formen där anger antalet arbetade timmar och representerar de intjänade pengarna.
Antal arbetade timmar Intjänade pengar
Proportionalitet visas ofta med hjälp av grafer, som visar förhållandet mellan de två kvantiteterna som en rät linje. Koordinaterna från tabellen kan användas för att grafiskt visa antalet arbetade timmar mot mängden intjänade pengar, och punkterna kan kopplas samman med en rät linje.
En linje y=100x med en punkt på linjen som kan flyttas
Grafen av ett proportionellt förhållande passerar alltid genom origo, vilket indikerar att förhållandet mellan de två kvantiteterna förblir detsamma. Det är värt att notera att kvoten av och när resulterar i proportionalitetskonstanten.
Exempel

Fjäderkraft och Utdragning

Grafen visar sambandet mellan utdragningen av en fjäder i centimeter och den applicerade kraften i Newton

Linjediagram som visar fjäderns utdragning i centimeter (y) mot applicerad kraft i Newton (x), där y=2x.
a Representerar detta samband en direkt proportionalitet?
b Beräkna linjens lutning.
c Skriv en funktion som beskriver sambandet mellan och den applicerade kraften
d Om en kraft på Newton appliceras, hur mycket kommer fjädern att dras ut?

Ledtråd
a Grafen för ett proportionellt förhållande representeras alltid av en rät linje som går genom origo.
b Välj två punkter på grafen för att hitta förändringen i och Beräkna genom att dividera den vertikala förändringen med den horisontella förändringen.
c Sätt in värdet på i den allmänna formen av ett proportionellt förhållande.
d Sätt in för i funktionen och förenkla.

Lösning
a Börja med att titta noga på den givna grafen.
Linjediagram som visar fjäderns utdragning i centimeter (y) mot applicerad kraft i Newton (x), där y=2x.

Lägg märke till att grafen är en rät linje genom origo. Detta betyder att fjäderns töjning är direkt proportionell mot den applicerade kraften. Som ett resultat är detta förhållande proportionellt.

b I den här delen ska linjens lutning bestämmas. För att göra detta, börja vid en punkt på linjen och flytta sedan en enhet åt höger och räkna enheterna upp tills du når grafen igen.
Linjediagram som visar fjäderns töjning i centimeter (y) versus applicerad kraft i Newton (x), där y=2x. En lutningstriangel mellan punkterna (1,2) och (2,4) visar att om man flyttar 1 enhet åt höger och 2 enheter upp når man linjen igen.
Dividera sedan förändringen i riktningen med förändringen i riktningen för att beräkna
Linjens lutning, som också är proportionalitetskonstanten, är centimeter per Newton.
c Börja med att komma ihåg den allmänna formen för ett proportionellt samband.
Det har fastställts att proportionalitetskonstanten är centimeter per Newton. Ersätt i den allmänna formen för att hitta funktionen som beskriver sambandet mellan utdragningen och den applicerade kraften
d För att beräkna hur mycket fjädern kommer att dras ut om en kraft på Newton appliceras på den, ersätt för i ekvationen som hittades i föregående del och förenkla.
Substitute

Multiply

Multiplicera faktorer

Detta innebär att om en kraft på Newton appliceras på fjädern, kommer den att dras ut centimeter.
Övning

Att skriva ekvationer i form

Skriv en ekvation för den givna linjen i form.

Applet som genererar en linje och ber om dess ekvation i formen y=kx+m
Exempel

Snöröjning på en parkeringsplats

Ett snöröjningsföretag röjer snö från ett köpcentrums parkeringsplats. Grafen visar hur mycket snö som finns kvar på parkeringsplatsen vid olika tidpunkter under röjningsprocessen.

Linjediagram som visar kvarvarande volym i liter (y) versus tid i minuter (x), där y=120-4x.
a Hur många kubikmeter snö tas bort per minut?
b Skriv funktionen som visar hur volymen av kvarvarande snö beror på antalet minuter Använd formen.
c Vad kan beräknas med ekvationen

Ledtråd
a Välj två punkter på grafen för att hitta förändringen i och När grafen rör sig nedåt och åt höger kommer att vara negativ. Beräkna genom att dividera den vertikala förändringen med den horisontella förändringen.
b Använd interceptet och lutningen för att skriva den linjära funktionen i form.
c Matcha varje tal i ekvationen med vad det representerar i snöröjningsprocessen.

Lösning
a Linjens lutning måste bestämmas för att ta reda på hur många kubikmeter snö som tas bort per minut. Två punkter på rutnätet som ligger på grafen kommer att användas för att hitta förändringen i riktningen och förändringen i riktningen.
Linjediagram som visar återstående volym i liter (y) mot tid i minuter (x), där y=120-4x. En lutningstriangel mellan punkterna (0,120) och (5,100) visar att man når linjen igen genom att gå 5 enheter åt höger och 20 enheter nedåt.
Grafen rör sig nedåt när man går åt höger, vilket indikerar en minskning. Att gå enheter åt höger motsvarar en minskning på enheter i koordinaten, vilket ger ett negativt värde för lutningen.
Detta innebär att kubikmeter snö tas bort per minut.
b Grafen skär axeln vid så värdet är Detta betyder att den ursprungliga snövolymen på parkeringsplatsen var kubikmeter. Värdet på befanns vara Sätt in dessa värden i formen för att skriva funktionen för hur den kvarvarande snövolymen beror på antalet minuter
c Betrakta den givna ekvationen.
På vänster sida representerar den ursprungliga snövolymen och visar att kubikmeter tas bort per minut, med som tid i minuter. Höger sida visar vilket är den kvarvarande snövolymen. Att lösa denna ekvation kommer att avgöra när kubikmeter snö finns kvar på parkeringsplatsen.
AddEqn

SubEqn

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

DivEqn

Tiden som behövs för att minska snövolymen till kubikmeter är minuter.
Exempel

Jämförelse av två pennbeställningar

En skola vill beställa pennor till elever. De har två alternativ.

  • Alternativ A: En skolmaterialbutik tar kronor per penna, utan fast avgift.
  • Alternativ B: En grossist tar en fast avgift på kronor plus kronor per penna.
a Skriv en funktion för den totala kostnaden (i kronor) för att beställa pennor enligt Alternativ A.
b Skriv en funktion för den totala kostnaden (i kronor) för att beställa pennor enligt Alternativ B.
c Rita upp funktionerna för Alternativ A och Alternativ B i samma koordinatsystem.
d Vad är det minsta antalet pennor där Alternativ B blir billigare än Alternativ A?

Svar
a
b
c Exempelgraf:
Linjediagram som jämför två ekvationer: C=5n och C=2,5n+200, där n representerar antalet pennor och C visar den totala kostnaden i kronor.
d Mer än pennor

Ledtråd
a Observera att Alternativ A representerar en direkt proportionalitet. Hitta kostnaden per penna.
b Ta hänsyn till den fasta avgiften och kostnaden per penna för att skriva den linjära funktionen.
c Börja med att skapa en värdetabell för varje funktion.
d Hitta var båda alternativen har samma kostnad och bestäm sedan när Alternativ B blir billigare.

Lösning
a För Alternativ A är den totala kostnaden direkt proportionell mot antalet beställda pennor. Detta innebär att funktionen för den totala kostnaden för att beställa pennor kommer att ha följande form.
Här är proportionalitetskonstanten, vilket är kostnaden per penna, eller kronor. Då kan ersättas i ekvationen för att skriva funktionen för Alternativ A.
b För Alternativ B finns en fast avgift på kronor och sedan en kostnad på kronor per beställd penna. Då kan kostnaden för olika antal pennor beräknas inklusive den fasta avgiften och antalet pennor.
Antal pennor Kostnad à per penna Kostnad plus fast avgift Total kostnad
Kostnaden för pennor är kronor. Utifrån detta kan funktionen för den totala kostnaden för Alternativ B skrivas.
c Grafen för ekvationen för Alternativ A kommer att ritas först. Börja med att skapa en värdetabell för

Placera ut dessa koordinatpar och koppla ihop dem med en rak linje för att skapa grafen för Alternativ A.

Linjediagram som visar ekvationen $C=5n$, där $n$ representerar antalet pennor och $C$ visar den totala kostnaden i kronor.

Skapa sedan en värdetabell för Alternativ B.

Lägg till grafen för Alternativ B för att komplettera diagrammet.

Linjediagram som jämför två ekvationer: $C=5n$ och $C=2,5n+200$, där $n$ representerar antalet pennor och $C$ visar den totala kostnaden i kronor.
d Det minsta antalet pennor där Alternativ B blir billigare ska bestämmas. Titta på grafen och identifiera från vilken punkt grafen för Alternativ A blir högre än grafen för Alternativ B.
Linjediagram som jämför två ekvationer: C=5n och C=2,5n+200, där n representerar antalet pennor och C visar den totala kostnaden i kronor.

Vid pennor kostar båda alternativen kronor. Efter denna punkt är kostnaden för Alternativ A högre än kostnaden för Alternativ B. Därför blir Alternativ B det billigare valet när man beställer mer än pennor.

Avslut

Sammanfattning: Linjära funktioner och deras tillämpningar

Denna lektion gick igenom tillämpningar av linjära funktioner, som vanligtvis skrivs i form.
Dessa funktioner representerar linjära samband som följer ett mönster med ett initialvärde, som till exempel den initiala uppsättningskostnaden vid beställning av specialtryckta t-shirts. Detta startvärde representeras av i en ekvation skriven i form. Denna form kan dock förenklas när
Detta samband kallas proportionalitet eftersom förhållandet mellan två storheter ökar eller minskar med ett konstant värde. I en graf passerar proportionella samband alltid genom origo eftersom de börjar vid noll, medan andra linjära funktioner som inte är proportionella inte gör det.
Linjediagram som jämför två funktioner: en i formen y=kx+m (med m skilt från noll) och en proportionell funktion y=kx som går genom origo.
När man jämför två linjära alternativ, vare sig de är proportionella eller inte, skapar man en graf för båda alternativen och jämför deras värden. Det bättre alternativet kan avgöras för olika situationer genom att observera var den ena blir högre eller lägre än den andra.
{{ grade.displayTitle }}
Laddar innehåll