Rotationsvolymer

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

När man roterar en funktion kan man inte förlita sig på att man får en kropp vars volym enkelt kan beräknas. Då behöver man mer generella metoder som gör det möjligt att beräkna volymen av godtyckliga rotationskroppar. Ett exempel på en sådan är skivmetoden, som kan användas för att beräkna rotationsvolymer runt både xx- och yy-axeln.
Regel

Skivmetoden

Skivmetoden är en metod för att beräkna volymer av rotationskroppar och används främst för kroppar som uppkommer genom rotation kring xx-axeln.

Volymen av den kropp som bildas när man roterar området under grafen till funktionen f(x)f(x) runt xx-axeln kan enligt skivmetoden beräknas med en integral.

V=πab(f(x))2dxV=\pi \displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2 \, \text d x

Man kan härleda denna formel genom att tänka sig att kroppen är uppbyggd av skivor, där varje skiva är en cylinder med höjden Δx\Delta x och radien f(x).f(x).

Skivmetoden2.svg

Summerar man skivornas volymer får man en uppskattning av rotationskroppens volym. Man kan bestämma ett uttryck för volymen av respektive skiva med volymformeln för en cylinder: Vcylinder=πr2h. V_{\text{cylinder}}=\pi r^2 h. Varje skiva har tjockleken Δx,\Delta x, men radierna varierar. Första skivan har radien f(x1)f(x_1) så dess volym är π(f(x1))2Δx.\pi\,(f(x_1))^2\,\Delta x. På samma sätt kan man uttrycka övriga skivors volymer. När man summerar dem får man volymsapproximationen Vπ(f(x1))2Δx+π(f(x2))2Δx++π(f(xn))2Δx. V \approx \pi\,(f(x_1))^2\,\Delta x + \pi\,(f(x_2))^2\,\Delta x + \ldots + \pi\,(f(x_{n}))^2\,\Delta x. Ju fler skivor man använder desto tunnare blir de, vilket gör uppskattningen bättre. Om man låter antalet skivor gå mot oändligheten, vilket innebär att deras tjocklek går mot 0,0, kommer summan att beskriva rotationskroppens exakta volym. Detta gränsvärde kan skrivas som integralen V=abπ(f(x))2dx, V=\displaystyle\int_{a}^{b}\pi\,(f(x))^2 \, \text d x , där aa och bb är rotationskroppens undre respektive övre gräns i xx-led. Koefficienten π\pi kan flyttas ut ur integralen och man får då formeln för skivmetoden.

V=πab(f(x))2dx V=\pi \displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2 \, \text d x
Uppgift

Bestäm volymen av den rotationskropp som bildas när det blå området roteras kring xx-axeln. Avrunda till heltal.

Lösning

Vi kan börja med att skissa den kropp som bildas när det markerade området mellan graferna roteras.

Rotationskropp med hål 2.svg

Rotationskroppen kan liknas vid en tunna som det går ett hål genom. För att bestämma volymen av denna kropp kan vi se den som en differens mellan två andra kroppar: den som bildas när hela området under f(x)f(x) roteras runt xx-axeln samt den som bildas när man roterar området under g(x).g(x).

Områdenochkroppar.svg

Subtraherar man volymen av den lilla kroppen, som representerar hålet i tunnan, från volymen av den stora kroppen får man precis volymen av tunnan med hål i.

Exempel

Volym av den stora rotationskroppen

Med hjälp av skivmetoden kan vi nu bestämma volymen av de två kropparna, och då använder vi formeln V=πab(f(x))2dx. V=\pi \displaystyle\int_{a}^{b}(f(x))^2 \, \text d x . För den stora kroppen sätter vi in f(x)=-0.05x2+5f(x)=\text{-}0.05x^2+5 samt gränserna -6\text{-}6 och 6.6. Volymen av denna rotationskropp är alltså π-66(-0.05x2+5)2dx. \pi \displaystyle\int_{\text{-}6}^{6}\left(\text{-}0.05x^2+5\right)^2 \, \text d x .

Exempel

Volym av den lilla rotationskroppen

Vi bestämmer volymen av den lilla kroppen med samma formel, men sätter in funktionen g(x)=1g(x)=1 istället. Integrationsgränserna är samma som tidigare. Vi får då att den lilla kroppen har volymen π-6612dx. \pi \displaystyle\int_{\text{-}6}^{6}1^2 \, \text d x .

Exempel

Volym av tunna med hål

Nu kan vi bestämma volymen av tunnan genom att subtrahera volymen av den lilla kroppen från volymen av den stora kroppen, vilket ger Vtunna med hla˚=π-66(-0.05x2+5)2dxπ-6612dx. V_{\text{tunna med hål}}=\pi \displaystyle\int_{\text{-}6}^{6}\left(\text{-}0.05x^2+5\right)^2 \, \text d x -\pi \displaystyle\int_{\text{-}6}^{6}1^2 \, \text d x . Eftersom integralerna har samma integrationsgränser kan vi skriva ihop dem som en enda integral. Vtunna med hla˚=π-66((-0.05x2+5)212)dx V_{\text{tunna med hål}}=\pi \displaystyle\int_{\text{-}6}^{6}\left(\left(\text{-}0.05x^2+5\right)^2-1^2\right) \, \text d x För att beräkna integralen börjar vi med att förenkla integranden.
(-0.05x2+5)212\left(\text{-}0.05x^2+5\right)^2-1^2
Förenkla uttrycket
(-0.05x2)220.05x25+5212\left(\text{-}0.05x^2\right)^2-2\cdot0.05x^2\cdot5+5^2-1^2
(ab)c=acbc \left(a b\right)^{c}=a^c b^c
(-0.05)2(x2)220.05x25+5212(\text{-}0.05)^2\left(x^2\right)^2-2\cdot0.05x^2\cdot5+5^2-1^2
(-0.05)2x420.05x25+5212(\text{-}0.05)^2x^4-2\cdot0.05x^2\cdot5+5^2-1^2
0.0025x40.5x2+2510.0025x^4-0.5x^2+25-1
0.0025x40.5x2+240.0025x^4-0.5x^2+24
Vi kallar integranden för h(x)h(x) och bestämmer en primitiv funktion till den.
h(x)=0.0025x40.5x2+24h(x)=0.0025x^4-0.5x^2+24
Bestäm en primitiv funktion
H(x)=D-1(0.0025x4)D-1(0.5x2)+D-1(24)H(x)=D ^{\text{-}1}\left(0.0025x^4\right)-D ^{\text{-}1}\left(0.5x^2\right)+D ^{\text{-}1}(24)
H(x)=0.0025x550.5x33+D-1(24)H(x)=\dfrac{0.0025x^5}{5}-\dfrac{0.5x^3}{3}+D ^{\text{-}1}(24)
H(x)=0.0025x550.5x33+24xH(x)=\dfrac{0.0025x^5}{5}-\dfrac{0.5x^3}{3}+24x
Till sist beräknar vi integralen.
π-66(0.0025x40.5x2+24)dx\pi\displaystyle\int_{\text{-}6}^{6}\left(0.0025x^4-0.5x^2+24 \right) \, \text d x
Beräkna integralen
π[0.0025x550.5x33+24x]-66\pi \left[\dfrac{0.0025x^5}{5}-\dfrac{0.5x^3}{3}+24x\right]_{\text{-}6}^{6}
[H(x)]-66=H(6)H(-6)\left[H(x)\right]_{{\color{#009600}{\text{-}6}}}^{\color{#0000FF}{6}}=H\left({\color{#0000FF}{6}}\right)-H\left({\color{#009600}{\text{-}6}}\right)
π(0.00256550.5633+246(0.0025(-6)550.5(-6)33+24(-6)))\pi \left(\dfrac{0.0025\cdot{\color{#0000FF}{6}}^5}{5}-\dfrac{0.5\cdot{\color{#0000FF}{6}}^3}{3}+24\cdot{\color{#0000FF}{6}}-\left(\dfrac{0.0025\cdot({\color{#009600}{\text{-}6}})^5}{5}-\dfrac{0.5\cdot({\color{#009600}{\text{-}6}})^3}{3}+24\cdot({\color{#009600}{\text{-}6}})\right)\right)
π(0.0025777650.52163+144(0.0025(-7776)50.5(-216)3144))\pi \left(\dfrac{0.0025\cdot7776}{5}-\dfrac{0.5\cdot216}{3}+144-\left(\dfrac{0.0025\cdot(\text{-}7776)}{5}-\dfrac{0.5\cdot(\text{-}216)}{3}-144\right)\right)
π(19.4451083+144(-19.445-1083144))\pi \left(\dfrac{19.44}{5}-\dfrac{108}{3}+144-\left(\dfrac{\text{-}19.44}{5}-\dfrac{\text{-}108}{3}-144\right)\right)
π(3.88836+144(-3.888(-36)144))\pi \left(3.888-36+144-\left(\text{-}3.888-(\text{-}36)-144\right)\right)
703.01303703.01303\ldots
Avrunda till närmaste heltal
703\sim 703
Tunnan har alltså en volym på ca 703703 volymenheter.
Visa lösning Visa lösning
Uppgift

Bestäm volymen man får om man roterar det markerade området kring yy-axeln.

Lösning

Roterar vi området runt yy-axeln får vi en kropp som ser ut på följande sätt.

Skills berakna rotationsvolymen kring y axeln rotation.svg

Skivmetoden kan även användas för rotation kring yy-axeln, men då måste man tänka på ett lite annorlunda sätt. Skivorna kommer då att få sin radie från grafens xx-värden och tjockleken blir Δy.\Delta y.

Skills berakna rotationsvolymen kring y axeln rotation 2.svg
Det är alltså som att rotera kring xx-axeln, fast xx och yy har bytt plats. I formeln för skivmetoden ersätter man då xx med yy och får V=πab(f(y))2dy. V = \pi \displaystyle\int_{a}^{b}\left( f(y) \right)^2 \, \text d y . För att kunna använda formeln måste vi ha en funktion som beror på yy istället för x.x. Det får vi genom att lösa ut xx ur funktionen y=x2.y=x^2.
y=x2y = x^2
x2=yx^2=y
x=±yx=\pm\sqrt{y}
Eftersom området som ska roteras ligger i första kvadranten är både xx och yy positiva. Vi använder därför funktionen x=y. x = \sqrt{y}. Ett sätt att visualisera detta är att tänka sig att xx- och yy-axlarna byter plats. Då får man en situation mer lik den då man roterar kring xx-axeln.
För att kunna ställa upp integralen måste vi nu bestämma integrationsgränserna. Eftersom vår funktion beror på yy måste dessa vara det största respektive minsta yy-värdet som avgränsar området. I det här fallet går det bra att läsa av dem direkt ur figuren som ymin=0ochymax=4. y_\text{min} = 0 \quad \text{och} \quad y_\text{max} = 4. Nu kan vi sätta in vår nya funktion och integrationsgränserna i formeln: V=π04(y)2dy. V = \pi \displaystyle\int_{0}^{4}\left( \sqrt{y} \right)^2 \, \text d y . Integranden kan förenklas enligt (y)2=y,( \sqrt{y} )^2 = y, som har en primitiv funktion y22\frac{y^2}{2}. Med hjälp av denna kan vi bestämma värdet på integralen.
π04ydy\pi \displaystyle\int_{0}^{4}y \, \text d y
π[y22]04\pi \left[ \dfrac{y^2}{2} \right]_0^4
[F(y)]04=F(4)F(0)\left[F(y)\right]_{{\color{#009600}{0}}}^{\color{#0000FF}{4}}=F\left({\color{#0000FF}{4}}\right)-F\left({\color{#009600}{0}}\right)
π(422022)\pi\left( \dfrac{{\color{#0000FF}{4}}^2}{2} - \dfrac{{\color{#009600}{0}}^2}{2} \right)
π(16202)\pi\left( \dfrac{16}{2} - \dfrac{0}{2} \right)
π8\pi\cdot 8
Rotationskroppens volym är alltså 8π8\pi volymenheter.
Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Rotera följande områden kring xx-axeln och bestäm kropparnas volym.

a
b


1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a
I figuren visas en rät linje som går genom bl.a. origo och punkten (4,3).(4,3).

När området under denna linje, från x=0x=0 till x=4,x=4, roteras kring xx-axeln bildas en rotationskropp. Bestäm volymen av denna kropp genom att ställa upp volymen som en integral.

b
Här visas istället en linje som går genom origo och punkten (h,r).(h,r).

När området under denna linje, från x=0x=0 till x=h,x=h, roteras kring xx-axeln bildas också en rotationskropp. Bestäm ett uttryck för volymen av denna kropp på samma sätt som i föregående deluppgift. Tolka också resultatet.

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Funktionen f(x)=3x2+axπf(x)=\frac{3x^2+ax}{\sqrt{\pi}} roteras kring xx-axeln mellan x=0x=0 och x=1.x=1. Bestäm konstanten aa så att volymen av den kropp som bildas är 9215\frac{92}{15} ve.

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

När följande område roteras kring xx-axeln bildas en rotationskropp.

Beräkna volymen av rotationskroppen genom att

a
använda skivmetoden
b
skissa rotationskroppen och använda en lämplig volymformel.
1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm volymen på den kropp som bildas om man roterar det markerade området kring yy-axeln. Svara exakt.

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

De två funktionerna f(x)=xf(x)=x och g(x)=x2g(x)=x^2 innesluter i första kvadranten ett område med begränsad area. Hur stor volym får den kropp som bildas då detta område roteras runt x-x\text{-}axeln?

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Om man låter funktionen f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x} rotera kring xx-axeln från x=1x=1 till någon övre gräns x=ax=a får man en trumpetliknande form.

Om man låter aa gå mot oändligheten kan man visa att begränsningsarean av trumpeten är oändlig. Bestäm volymen av den oändligt långa trumpeten.

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Det markerade området i figuren roteras runt yy-axeln och bildar då en kropp. Bestäm värdet på tt om rotationskroppen som bildas har volymen 54π.54\pi.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En yta begränsas av funktionen y=x2,y=x^2, linjen x=ax=a och xx-axeln. När denna yta roteras runt yy-axeln skapas en rotationskropp med en grop i. Visa att rotationskroppen får samma volym som gropen för alla värden på a.a.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En konstnär ska göra ett par örhängen. Dess form kan beskrivas av den rotationskropp som bildas när följande område mellan f(x),f(x), g(x)g(x) och xx-axeln roteras kring xx-axeln.

Hur mycket material kommer det att gå åt? Svara i hela mm3.\text{mm}^3. Du får använda digitala hjälpmedel.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Volymen för ett klot, V=4πr33, V=\frac{4\pi r^3}{3}, där rr är radien, kan härledas med hjälp av en integral. Gör det genom att använda att ett klot är en rotationskropp.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}