Innehållsförteckning
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel
2.
Ränta och lån med geometriska summor
Lektionen fokuserar på att använda geometriska summor för att beräkna olika ekonomiska scenarier. Det finns exempel på hur man kan beräkna värdet på ett sparkonto med regelbundna insättningar, och hur man kan använda geometriska summor för att beräkna amortering och ränta för olika typer av lån. Det finns också förklaringar om begrepp som slutvärde, nuvärde och annuitetslån. Exemplen inkluderar beräkningar för att bestämma nuvärdet av en framtida summa pengar och beräkningar för att bestämma annuiteten för ett lån.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 6 sidor teori |
| | 13 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Ränta och lån med geometriska summor
Sida av 6
Ett vanligt användningsområde för geometriska summor är för att beräkna hur mycket pengar det kommer att finnas på ett sparkonto där man gör regelbundna insättningar. De kan också användas för att beräkna amortering och ränta för olika typer av lån.
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Slutvärde
- Nuvärde
- Annuitetslån
Förkunskaper
Begrepp
Slutvärde och nuvärde
För att beskriva hur värdet på något förändras över tid använder man ibland de två termerna slutvärde och nuvärde. Slutvärdet är det slutgiltiga värdet på något, t.ex. den totala summan pengar på ett konto efter en viss tid eller värdet på en bil efter ett visst antal år. Nuvärdet är det ursprungliga värdet, alltså insättningen på kontot och inköpspriset för bilen.
Exempel
Bestäm nuvärdet
Jennie vet att hon kommer att behöva köpa en cykel som kostar 5000 kr om två år. Hon är ordentlig av sig, så hon vill sätta in pengar på sitt bankkonto redan nu så att hon har råd med cykeln när det väl behövs. Vad är nuvärdet av dessa 5000 kr om Jennies bankonto har en ränta på 3%?
Ledtråd
Använd en exponentialfunktion för att beskriva hur pengarna på ett sparkonto ökar.
Lösning
Pengar på ett sparkonto ökar exponentiellt med tiden, och kan beskrivas med en exponentialfunktion:
Jennie måste sätta in 4713 kr på kontot för att ha råd med cykeln om två år. Nuvärdet av 5000 kr är alltså 4713 kr när sparperioden är två år och räntan 3%.
y=C⋅at.
Vi vet att det ska finnas 5000 kr på kontot efter 2 år, så t=2 och y=5000. Vi vet också att räntan på kontot är 3%, vilket ger en förändringsfaktor, a, på 1,03. Sätter vi in dessa värden kan vi lösa ut C, vilket ger nuvärdet av 5000 kr om två år.
y=C⋅at
SubstituteValues
Sätt in värden
5000=C⋅1,032
DivEqn
VL/1,032=HL/1,032
1,0325000=C
RearrangeEqn
Omarrangera ekvation
C=1,0325000
UseCalc
Slå in på räknare
C=4712,97954…
RoundInt
Avrunda till närmaste heltal
C=4713
Koncept
Annuitetslån
När man tar ett lån måste man betala av lånet, vilket kallas att amortera, och man måste även betala ränta. För ett annuitetslån är summan av amortering och ränta konstant vilket innebär att varje inbetalning är lika stor. Storleken på inbetalningarna kallas för lånets annuitet och kan beräknas med hjälp av geometriska summor.
Exempel
Bestäm annuiteten
Tilda ska låna pengar till att köpa en optimistjolle för 25000 kr. Hon tar ett annuitetslån med 4% ränta som ska återbetalas en gång per år över fem år. Vad blir annuiteten?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.48312em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">\u2248<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["5616"]}}
Ledtråd
Skriv ett exponentialuttryck med hjälp av den givna informationen. Använd formeln för en geometrisk summa och använd den för att skriva en ekvation för livräntan.
Lösning
För att förstå hur en annuitet beräknas måste man se lånet från bankens perspektiv. Med en ränta på 4% över fem år på lånebeloppet 25000 kr blir slutvärdet på lånet
Lägger man ihop slutvärdena för alla dessa avbetalningar får man
25000⋅1,045 kr,
vilket är vad banken förväntar sig att få tillbaka. Vi antar att annuiteten, alltså den årliga inbetalningen, är x. Vi ställer nu upp ett uttryck för annuitetslånets slutvärde med hjälp av avbetalningarnas värde för banken. Första avbetalningen sker efter ett år och banken har tillgång till den i ytterligare 4, vilket ger slutvärdet
x⋅1,044 kr
eftersom man räknar med att banken kan få lika mycket ränta för pengarna under dessa år. Nästa avbetalning sker efter det andra året och banken har tillgång till dessa pengar i 3 år, vilket ger dem slutvärdet
x⋅1,043 kr.
På samma sätt får den tredje avbetalningen slutvärdet x⋅1,042, den fjärde x⋅1,04 och den sista bara x. x+x⋅1,04+x⋅1,042+x⋅1,043+x⋅1,044,
vilket är en geometrisk summa med n=5 termer, kvoten k=1,04 och startvärdet a=x. Sätter man in detta i formeln för geometrisk summa får man
k−1a(kn−1)=1,04−1x(1,045−1).
Slutvärde för annuitetslånet ska vara lika stort som om hela lånesumman hade betalas tillbaka efter fem år, vilket ju var 25000⋅1,045 kr. Vi sätter dessa två uttryck lika med varandra och löser ut x.
1,04−1x(1,045−1)=25000⋅1,045
MultEqn
VL⋅(1,04−1)=HL⋅(1,04−1)
x(1,045−1)=25000⋅1,045⋅(1,04−1)
DivEqn
VL/(1,045−1)=HL/(1,045−1)
x=1,045−125000⋅1,045⋅(1,04−1)
UseCalc
Slå in på räknare
x=5615,67783…
RoundInt
Avrunda till närmaste heltal
x≈5616
Tildas annuitet blir alltså 5616 kr, vilket är vad hon betalar varje år.
Digitala verktyg
Ränta och kalkylprogram
Om man tar ett lån kan man använda ett kalkylprogram för att bl.a. beräkna hur ens räntekostnad förändras när lånet amorteras. Antag att man tar ett lån på 
250000 kr a˚r 2017
som ska betalas av med rak amortering på 10 år. Årsräntan är 5,4%. I ett kalkylark kan man då skriva in rubriker på det man vill hålla koll på, t.ex. som nedan. 1
Fyll i amorteringskolumnen
expand_more Eftersom man ska amortera lika mycket varje år skriver man
10250000=25000
på alla rader i amorteringskolumnen. 2
Räkna ut kvarstående lån
expand_more Nu kan man använda dessa belopp för att beräkna hur mycket av lånet som kommer återstå respektive år. Man börjar med att skriva in startbeloppet 250000 kr på raden för 2017. Därefter markeras cell c3 och man skriver =c2-b3
för att få reda på hur stort lånebeloppet är år 2018.
3
Kopiera formeln nedåt
expand_more Trycker man på Enter subtraheras amorteringsbeloppet i cell b3 från lånebeloppet i c2, dvs. beräkningen 250000−25000=225000 utförs. Om man nu markerar cell c3, tar tag i den lilla rutan och drar nedåt till och med sista raden kommer lånebeloppen för övriga årtal beräknas automatiskt.
4
Beräkna räntekostnader
expand_more På liknande sätt kan man betsämma övriga värden i tabellen. För att beräkna räntekostnaden för år 2017 skriver man i cell d2 in =c2∗0,054
för att ta reda på hur mycket 5,4% av lånebeloppet 250000 är.
5
Kopiera ränteformeln
expand_more Man trycker ännu en gång på enter för att beräkningen ska utföras och markerar sedan cellen och drar nedåt för att räntekostnaden för övriga år ska beräknas.
6
Beräkna total årskostnad
expand_more Nu återstår att beräkna total årskostnad, som utgörs av amortering och räntekostnad, för respektive år samt avgöra vilken månadskostnad det motsvarar. För att beräkna totala kostnaden för år 2017 summeras därför cellerna b2 och d2, dvs. amorteringen och räntekostnaden för detta år.
7
Kopiera total årskostnad nedåt
expand_more
På samma sätt som tidigare hittar man även totalkostnaden för övriga år.
8
Beräkna månadskostnad
expand_more Till sist divideras respektive årskostnad med 12 för att ta reda på månadskostnaden. För år 2017 innebär det alltså att man skriver in =e2/12
.
9
Kopiera månadskostnader nedåt
expand_more Och så drar man nedåt för att få reda på övriga månadskostnader.
10
Klar tabell
expand_more Tabellen är nu komplett och man t.ex. se att vad man ska betala in varje månad tills lånet är avbetalat.
Ränta och lån med geometriska summor
Ränta och lån med geometriska summor
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll