Prioriteringsregler och avrundning

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Teori

Prioriteringsregler

Om en beräkning innehåller flera räknesätt har man kommit överens om prioriteringsregler som styr vad man ska beräkna först. Uttrycket 1+42 1+4\cdot 2 kan t.ex. beräknas till antingen 1010 eller 99, beroende på om man adderar 11 med 44 först eller multiplicerar 44 och 22 först. För att veta vad man ska göra först använder man följande prioriteringsregler som brukar förkortas PEDMAS.

Prioriteringsregler2937.svg
Man börjar alltså med att beräkna innehållet i parenteser, följt av tal med exponenter och så vidare. Uttrycket 1+421+4 \cdot 2 är därför lika med 1+8=9.1+8=9.
Uppgift

Beräkna värdet av (20+4)/622+42 (20+4)/6-2\cdot2+4^2 utan räknare.

Lösning

Enligt prioriteringsreglerna beräknas parenteser och exponenter först, så vi börjar med det.

(20+4)/622+42(20+4)/6-2\cdot2+4^2
Beräkna 20+420+4
24/622+4224/6-2\cdot2+4^2
24/622+1624/6-2\cdot2+16

Sedan beräknar vi division och multiplikation, och det spelar ingen roll i vilken ordning. Sist tar vi addition och subtraktion och inte heller där spelar ordningen någon roll.

24/622+1624/6-2\cdot2+16
422+164-2\cdot2+16
44+164-4+16
1616

Uttryckets värde är alltså 16.

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Avrundning

Ibland vill man avrunda värden, t.ex. om resultatet har oändligt många decimaler som 0.08333 0.08333\ldots

Då är det smidigare att använda ett närliggande värde som 0.08. Det avrundade värdet kallas ibland för närmevärde och det är aldrig exakt, men det kan vara lättare att räkna med. Ett annat exempel är π,\pi, som ofta avrundas till 3.14. Men det har oändligt många decimaler, så det går inte att använda exakt. Även räknare använder avrundade värden på π\pi. För att undvika fel och förvirring finns det vissa avrundningsregler man följer.
Regel

Avrundningsregler

Siffran i ett tal som avrundas kallas avrundningssiffra och det är siffran efter avrundningssiffran, den så kallade beslutssiffran, som bestämmer om talet avrundas uppåt eller nedåt. Om man ska avrunda till en decimal får man följande avrundnings- och beslutssiffror.

Avrundningsregler 1.svg

I Sverige har man kommit överens om följande avrundningsregler beroende på vilket värde beslutssiffran har.

Är den 0044 behålls avrundningssiffran

Är den 5599 ökas avrundningssiffran med 11

Om avrundningssiffran är 9 gäller det att se upp när man avrundar uppåt. Då ökas siffran vänster om avrundningssiffran med 11 och avrundningssiffran ersätts med 00. Ett avrundat tal brukar skrivs med ett \sim före.

Välj avrundningssiffra
2

9

7


Gör man en beräkning och vill avrunda resultatet kan man använda följande tumregler:

  • Multiplikation och division: Det tal med minst antal gällande siffror avgör antalet gällande siffror i svaret.
  • Addition och subtraktion: Det tal med minst antal decimaler avgör antalet decimaler i svaret.

För att minimera avrundningsfelet bör man vänta med att avrunda till slutet av beräkningen, om det är möjligt.

Uppgift

Avrunda 23\frac{2}{3} till tre decimaler.

Lösning

Om man slår in 23\frac{2}{3} på räknaren får man 23=0.666666 \dfrac{2}{3}=0.666666\ldots Den tredje decimalen (avrundningssiffran) är 6,6, och decimalen efter är också en sexa. Därför avrundar vi uppåt till en sjua och decimalerna efter plockas bort: 23=0.666660.667. \dfrac{2}{3}=0.66666\ldots\approx0.667.

Visa lösning Visa lösning
Begrepp

Gällande siffror

Gällande siffror (även kallat värdesiffror eller signifikanta siffror) anger hur exakt ett värde är. Alla siffror som inte är 0 är alltid gällande, och 0 är gällande ibland. Inledande nollor i tal räknas inte som gällande, t.ex. är nollorna i talet 0.00031 inte gällande. Det finns ett par förutsättningar där nollor räknas som gällande:

  • Nollor i slutet av decimaltal är gällande, t.ex. nollorna i talet 5.000.
  • Nollor mellan gällande siffror är gällande, t.ex. nollorna i talet 4007.

Vi markerar de gällande siffrorna i dessa och ytterligare fyra tal.

Gallandesiffror291713.svg
Om nollor ligger i slutet av ett heltal, t.ex. som i talet 6700, är det osäkert om de är gällande eftersom vi inte vet om, och i så fall hur mycket, det är avrundat.

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ange antalet värdesiffror i talen.


a

4689346 893

b

0.00750.0075

c

5.0545.054

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Avrunda talen till två decimaler.


a

0.27260.2726

b

2.93822.9382

c

5.99515.9951

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Avrunda talet 25.7409 till


a

2 gällande siffror.

b

4 gällande siffror.

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna utan räknare.

a

80+388+20+1280+388+20+12

b

250724250\cdot 72\cdot 4

c

18500+1250018\cdot 500+12\cdot 500

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna följande uttryck med din räknare.


a

5739+441957\cdot 39 + 44\cdot 19

b

(573919+44)19\left(\dfrac{57\cdot 39}{19} + 44\right) \cdot 19

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Avrunda 7305773\, 057 till närmaste tusental.

b

Avrunda 0.085630.08563 till två decimaler.

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Avrunda 102.31102.31 till hundratal.

b

Avrunda 12.3112.31 till ental.

c

Avrunda 12.35912.359 till två decimaler.

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Avståndet till solen från jorden är cirka 149.6 miljoner km. Hur många meter är det? Avrunda till två gällande siffror.

1.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna utan räknare.

a

274/(10098)2\cdot7-4/(100-98)

b

72267^2\cdot2-6

1.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Beräkna 564912355537425\,649\,123 - 5\,553\,742 med räknare och avrunda resultatet till två gällande siffror.

b

Beräkna 564912355537425\,649\,123 - 5\,553\,742 genom att först avrunda termerna till två gällande siffror och sedan utföra subtraktionen.

1.11
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Utför följande beräkningar med räknaren.

a

116+1633+9\dfrac{116+16}{33}+9

b

(2692+3)261049undefined2\left.\dfrac{(2692+3)\cdot 26}{10\cdot 49}\middle/2\right.

1.12
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla bråket 3634159/3 \dfrac{36-3\cdot4}{15-9/3} utan räknare.

1.13
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna cirkelns area och avrunda till lämpligt antal värdesiffror.

Avrundning uppgifter 3 3.svg
1.14
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Placera talen 2525 och 102102 och 0.10.1 i rutorna så att resultatet blir så stort som möjligt. 323232 \dfrac{\fbox{\phantom{32}}-\fbox{\phantom{32}}}{\fbox{\phantom{32}}}

Nationella provet VT05 MaA
1.15
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna 4+63.4+6\cdot 3.

Nationella provet VT02 MaA (anpassad text)
Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vi har följande uttryck: (728)undefined(2+6). \left.(72-8)\middle/(2+6).\right. Bestäm uttryckets värde utan räknare om


a

Båda parenteserna står kvar.

b

Första parentesen tas bort.

c

Andra parentesen tas bort.

d

Båda parenteserna tas bort.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förklara varför 34=433\cdot 4=4\cdot3 Använd nedanstående figur för att förklara.

Prioriteringsregler132.svg
2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna uttrycket utan räknare och svara exakt: 7(1315+1)9. 7-\left(\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{5}+1\right)-9.

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

En rektangel har sidorna 11.2311.23 cm och 8.678.67 cm. Henrik har uppskattat arean till 9999 cm2^2. Hur kan Henrik ha räknat?

b

Hur bör man räkna för att minimera avrundningsfelet och vad är ett mer korrekt värde för arean?

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla uttrycket (25/(1510))/(0.45) (2\cdot5/(15-10))/(0.4\cdot5) utan räknare.

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Skriv in och beräkna följande uttryck på din räknare. Svara med tre decimaler. (1413)235\begin{aligned} \sqrt{\dfrac{(14 \cdot 13)^{\frac{2}{3}}}{5}} \end{aligned}

2.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ett åkeri ska frakta grus till en byggnadsentreprenör. Totalt använder åkeriet 2020 lastbilar och dessa hinner köra 22 laster per dag. Arbetet förväntas vara klart efter 9090 dagar. Efter 1010 dagar insisterar byggnadsentreprenören på att jobbet ska bli klart 3030 dagar tidigare. Hur många fler lastbilar måste åkeriet använda för att hinna med?

2.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna uttrycket utan räknare: (313)(414)(515).\left(3-\dfrac{1}{3}\right)\left(4-\dfrac{1}{4}\right)\left(5-\dfrac{1}{5}\right).

2.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Sätt ut parenteser i uttrycket 73+12832+1 \dfrac{7 \cdot 3+1^2}{8-3 \cdot 2+1}

a

så att det blir så stort som möjligt.

b

så att det blir så litet som möjligt.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Då man ska använda prioriteringsreglerna men har variabler i uttrycken kan man behöva olika samband. En av dessa är den sk. distributiva lagen.

a

Visa med areaberäkningar i figuren att distributiva lagen gäller: a(b+c)=ab+ac. a\cdot (b+c)=a \cdot b+a \cdot c.

Exercise631 1.svg


b

Visa med ett eget exempel att denna lag gäller.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Förenkla uttrycket 2a+aaundefineda,a0 2 \cdot a +a-\left.a\middle/a\right., \quad a\neq 0 genom att använda prioriteringsreglerna.

b

Amir fick svaret 3. I vilken ordning kan han ha utfört räkneoperationerna?

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Då man ska använda prioriteringsreglerna men har variabler i uttrycken kan man ibland ha nytta av olika samband. Ett sådant samband är den utvidgade distributiva lagen som lyder (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd. (a+b)\cdot (c+d)=a\cdot c+a\cdot d+b\cdot c+b\cdot d.


a

Visa med areaberäkningar i figuren att utvidgade distributiva lagen gäller: (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd. (a+b)\cdot (c+d)=a\cdot c+a\cdot d+b\cdot c+b\cdot d.

Exercise629 1.svg


b

Visa med ett eget exempel att denna lag gäller.

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Använd räknare för att beräkna 29\frac{2}{9} i decimalform. Avrunda sedan till 22 decimaler.

b

Bestäm avrundningsfelet exakt.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}