body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Rekommenderade

Tester

Ett fel uppstod, försök igen senare!

eKurser /

( Ma 1b , Ma 1c ) /

Kapitel {{ article.chapter.number }}

{{ article.number }}.

Visa mindre Visa mer

Inställningar & verktyg för lektion

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

Kreditlista Bilder

{{ item.file.title }}
{{ presentation }}

Inga inlägg om filrättigheter hittades

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Prioriteringsregler
Avrundning
Avrundningsregler
Gällande siffror

Förkunskaper

Teori

Prioriteringsregler

Prioriteringsreglerna är den ordning man följer när man utvärderar ett uttryck som har mer än en operation. Ordningen för operationer kan beskrivas som en serie steg.

Överväg detta uttryck för att se stegen i aktion.

(1 + 2) \cdot 3^{2} - \frac{5 + 5}{2} = ?

Det exempeluttrycket innehåller en uppsättning parenteser, en exponent, multiplikation, division, addition och subtraktion. Uttrycket utvärderas enligt ordningen för operationer.

Uttryck	Förenklat	Operation
$(1 + 2) \cdot 3^{2} - \frac{5 + 5}{2}$	$3 \cdot 3^{2} - \frac{1 0}{2}$	Utvärdering av parenteser och grupperingssymboler
$3 \cdot 3^{2} - \frac{1 0}{2}$	$3 \cdot 9 - \frac{1 0}{2}$	Potenser
$3 \cdot 9 - \frac{1 0}{2}$	$27 - 5$	Multiplikation och division
$27 - 5$	$22$	Subtraktion

Extra

Ytterligare anteckningar

Det finns några saker att notera om denna utvärdering.

Additionen i täljaren av $\frac{5 + 5}{2}$ utvärderades samtidigt som uttrycket inom parenteserna $(1 + 2)$ . Detta beror på att bråkstreck är grupperingssymboler likt parenteser.
Ordningen för operationer måste följas när man utvärderar uttryck i grupperingssymboler.
Operationer som är inversa och på samma nivå måste utvärderas från vänster till höger. Denna regel gäller för multiplikation och division samt för addition och subtraktion.

Extra

Hur man kommer ihåg ordningen

För att komma ihåg ordningen för operationer är det användbart att memorera akronymen PEMDAS. Varje bokstav i PEMDAS indikerar en uppsättning operationer. En rolig mening för att komma ihåg denna akronym är Please Excuse My Dear Aunt Sally.

Exempel

Beräkna med prioriteringsreglerna

Beräkna värdet av

(20 + 4) / 6 - 2 \cdot 2 + 4^{2}

utan räknare.

Ledtråd

Följ prioriteringsreglerna.

Lösning

Enligt prioriteringsreglerna beräknas parenteser och exponenter först, så vi börjar med det.

(20 + 4) / 6 - 2 \cdot 2 + 4^{2}

Beräkna $20 + 4$

24 / 6 - 2 \cdot 2 + 4^{2}

CalcPow

Beräkna potens

24 / 6 - 2 \cdot 2 + 16

Sedan beräknar vi division och multiplikation, och det spelar ingen roll i vilken ordning. Sist tar vi addition och subtraktion och inte heller där spelar ordningen någon roll.

24 / 6 - 2 \cdot 2 + 16

CalcQuot

Beräkna kvot

4 - 2 \cdot 2 + 16

Multiply

Multiplicera faktorer

4 - 4 + 16

AddSubTerms

Addera och subtrahera termer

16

Uttryckets värde är alltså

16 .

Teori

Parenteser på räknare

Det är särskilt viktigt att tänka på prioriteringsreglerna när man skriver in uttryck på räknaren. Om man exempelvis ska beräkna värdet av uttrycket

\frac{1 0 0 + 5 0}{2 + 8}

behöver man tänka på att skriva in parenteser runt täljaren och nämnaren, som på följande sätt.

Division med parenteser utför på räknare

Notera att ett bråkstreck på räknaren skrivs med knappen $/ .$ Om man skulle skriva in uttrycket utan parenteser kommer räknaren inte förstå att den först ska räkna ihop summan av täljaren och sedan dividera denna med summan av nämnaren. Istället skulle räknaren enligt prioriteringsreglerna addera $100$ till $50 / 2$ och sedan till $8,$ vilket ger ett annat resultat.

Division utan parenteser utför på räknare

Detta är även något man måste tänka på när man skriver in potenser på räknaren. Om man t.ex. ska skriva $2^{3 \cdot 2}$ måste man sätta en parentes runt multiplikationen för att beräkningen ska ske på rätt sätt.

Potensberäkning med parenteser utförd på räknare

Skrivs detta utan parentesen beräknas först $2^{3}$ och resultatet multipliceras sedan med $2 .$

Potensberäkning utan parenteser utförd på räknare

Teori

Avrundning

Avrundning innebär att ersätta ett tal med ett ungefärligt värde som är kortare, enklare eller lättare att förstå. Med andra ord innebär avrundning att förenkla ett tal samtidigt som det hålls nära sitt ursprungliga värde. Tänk till exempel på talet

π

π = 3, 141592 \dots

I beräkningar avrundas

π

ofta till

3, 14

eller

3

. De avrundade värdena är mindre exakta än det faktiska värdet men är enklare att använda. När ett tal är skrivet i exakt form betyder det att det inte har avrundats. Både heltal och decimaltal kan avrundas.

Antal	Avrundning	Resultat
$76$	Till närmaste tio	$80$
$214$	Till närmaste hundratal	$200$
$52941$	Till närmaste tusendelar	$5294$
$27982$	Till närmaste heltal	$28$

Det avrundade talet kallas en närmevärde.

Teori

Avrundningsregler

Siffran i ett tal som avrundas kallas avrundningssiffra och det är siffran efter avrundningssiffran, den så kallade beslutssiffran, som bestämmer om talet avrundas uppåt eller nedåt. Om man ska avrunda till en decimal får man följande avrundnings- och beslutssiffror.

I Sverige har man kommit överens om följande avrundningsregler beroende på vilket värde beslutssiffran har.

Är den $0 - 4$ behålls avrundningssiffran

Är den $5 - 9$ ökas avrundningssiffran med $1$

Om avrundningssiffran är

9

gäller det att se upp när man avrundar uppåt. Då ökas siffran vänster om avrundningssiffran med

1

och avrundningssiffran ersätts med

0 .

Ett avrundat tal brukar skrivs med ett

\approx

före.

Gör man en beräkning och vill avrunda resultatet kan man använda följande tumregler:

Multiplikation och division: Det tal med minst antal gällande siffror avgör antalet gällande siffror i svaret.
Addition och subtraktion: Det tal med minst antal decimaler avgör antalet decimaler i svaret.

För att minimera avrundningsfelet bör man vänta med att avrunda till slutet av beräkningen, om det är möjligt.

Exempel

Avrunda talet

Avrunda

\frac{2}{3}

till tre decimaler.

Ledtråd

Följ avrundningsreglerna.

Lösning

Om man slår in

\frac{2}{3}

på räknaren får man

\frac{2}{3} = 0, 666666 \dots

Den tredje decimalen (avrundningssiffran) är

6,

och decimalen efter är också en

sexa .

Därför avrundar vi uppåt till en sjua och decimalerna efter plockas bort:

\frac{2}{3} = 0, 66666 \dots \approx 0, 667

Teori

Gällande siffror

Gällande siffror (även kallat värdesiffror eller signifikanta siffror) anger hur exakt ett värde är. Alla siffror som inte är $0$ är alltid gällande, och $0$ är gällande ibland. Inledande nollor i tal räknas inte som gällande, t.ex. är nollorna i talet $0, 00031$ inte gällande. Det finns ett par förutsättningar där nollor räknas som gällande:

Nollor i slutet av decimaltal är gällande, t.ex. nollorna i talet $5, 000 .$
Nollor mellan gällande siffror är gällande, t.ex. nollorna i talet $4007 .$

Vi markerar de gällande siffrorna i dessa och ytterligare fyra tal.

Om nollor ligger i slutet av ett heltal, t.ex. som i talet

6700,

är det osäkert om de är gällande eftersom vi inte vet om, och i så fall hur mycket, det är avrundat.

Övning

Avrunda tal

Avrunda det angivna talet.

Slumpmässiga decimaltal som ska avrundas till ett angivet antal decimaler.

Laddar innehåll

{{ article.displayTitle }}

Förkunskaper

Extra

Extra

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning