Prioriteringsregler och avrundning

Bestäm om följande påstående är sant eller falskt. Ge ett exempel eller motexempel för att rättfärdiga ditt svar.

Alla binomier som har ett perfekt kvadrat i var och en av de två termerna kan faktoriseras.

Facit

"Falskt." Binomet $a^2+b^2$ kan inte faktoriseras.

Ledtråd

Betrakta ett binom där båda termerna är positiva.

Lösning

Vi får följande påstående. Om vi betraktar differensen mellan två perfekta kvadrater, så kan den faktoriseras. Men om vi betraktar summan av två perfekta kvadrater, så kan den inte faktoriseras. Uttrycket ovan är ett motexempel till det givna påståendet. Alltså är det "falskt".

Svarsalternativ

Det är särskilt viktigt att tänka på prioriteringsreglerna när man skriver in uttryck på räknaren. Om man exempelvis ska beräkna värdet av uttrycket behöver man tänka på att skriva in parenteser runt täljaren och nämnaren, som på följande sätt.

Notera att ett bråkstreck på räknaren skrivs med knappen $/.$ Om man skulle skriva in uttrycket utan parenteser kommer räknaren inte förstå att den först ska räkna ihop summan av täljaren och sedan dividera denna med summan av nämnaren. Istället skulle räknaren enligt prioriteringsreglerna addera $100$ till $50/2$ och sedan till $8,$ vilket ger ett annat resultat.

Detta är även något man måste tänka på när man skriver in potenser på räknaren. Om man t.ex. ska skriva $2^{3\cdot 2}$ måste man sätta en parentes runt multiplikationen för att beräkningen ska ske på rätt sätt.

Skrivs detta utan parentesen beräknas först $2^3$ och resultatet multipliceras sedan med $2.$

En mynt väljs slumpmässigt från en burk som innehåller $70$ femöringar, $100$ tioöringar, $80$ kvartar och $50$ en-dollars mynt. Hitta sannolikheten.

Facit

$\frac{4}{15}$

Ledtråd

Använd sannolikhetsformeln.

Lösning

Vi väljer slumpmässigt ett mynt från en burk som innehåller $70$ nickel, $100$ tior, $80$ kvartingar och $50$ en-dollarsmynt. Vi vill hitta sannolikheten att plocka en kvarting. För att göra det använder vi sannolikhetsformeln. Formeln säger oss att sannolikheten för en händelse är antalet gynnsamma utfall dividerat med antalet möjliga utfall. Burken som vi väljer från innehåller $70$ nickel, $100$ tior, $80$ kvartingar och $50$ en-dollarsmynt. För nämnaren i formeln, det totala antalet möjliga utfall, behöver vi det totala antalet mynt i burken. För täljaren i formeln, det totala antalet gynnsamma utfall, behöver vi det totala antalet kvartingar i burken. Som tidigare nämnt vet vi att det finns $80$ kvartingar. Nu har vi tillräckligt med information för att beräkna $P(\text{kvarting}).$ Sannolikheten att välja en kvarting är $\frac{4}{15}.$

Svarsalternativ

Siffran i ett tal som avrundas kallas avrundningssiffra och det är siffran efter avrundningssiffran, den så kallade beslutssiffran, som bestämmer om talet avrundas uppåt eller nedåt. Om man ska avrunda till en decimal får man följande avrundnings- och beslutssiffror.

I Sverige har man kommit överens om följande avrundningsregler beroende på vilket värde beslutssiffran har.

Om avrundningssiffran är $9$ gäller det att se upp när man avrundar uppåt. Då ökas siffran vänster om avrundningssiffran med $1$ och avrundningssiffran ersätts med $0.$ Ett avrundat tal brukar skrivs med ett $\approx$ före. Gör man en beräkning och vill avrunda resultatet kan man använda följande tumregler:

• Multiplikation och division: Det tal med minst antal gällande siffror avgör antalet gällande siffror i svaret.
• Addition och subtraktion: Det tal med minst antal decimaler avgör antalet decimaler i svaret.

För att minimera avrundningsfelet bör man vänta med att avrunda till slutet av beräkningen, om det är möjligt.

Gällande siffror (även kallat värdesiffror eller signifikanta siffror) anger hur exakt ett värde är. Alla siffror som inte är $0$ är alltid gällande, och $0$ är gällande ibland. Inledande nollor i tal räknas inte som gällande, t.ex. är nollorna i talet $0,00031$ inte gällande. Det finns ett par förutsättningar där nollor räknas som gällande:

• Nollor i slutet av decimaltal är gällande, t.ex. nollorna i talet $5,000.$
• Nollor mellan gällande siffror är gällande, t.ex. nollorna i talet $4007.$

Vi markerar de gällande siffrorna i dessa och ytterligare fyra tal.

Om nollor ligger i slutet av ett heltal, t.ex. som i talet $6700,$ är det osäkert om de är gällande eftersom vi inte vet om, och i så fall hur mycket, det är avrundat.