4. Prioriteringsregler och avrundning
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 1
4.
Prioriteringsregler och avrundning
I den här delen av utbildningen förklaras avrundningsregler och prioriteringsregler i matematik. Avrundningssiffran och beslutssiffran används för att bestämma om ett tal avrundas uppåt eller nedåt. Det finns specifika regler i Sverige för hur detta görs. För att minimera avrundningsfelet bör man vänta med att avrunda till slutet av beräkningen, om det är möjligt. Det finns också regler för hur man hanterar multiplikation, division, addition och subtraktion i detta sammanhang.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 9 sidor teori |
| | 28 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Prioriteringsregler och avrundning
Sida av 9
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Prioriteringsregler
- Avrundning
- Avrundningsregler
- Gällande siffror
Teori
Prioriteringsregler
Bestäm om följande påstående är sant eller falskt. Ge ett exempel eller motexempel för att rättfärdiga ditt svar.
|
Alla binomier som har ett perfekt kvadrat i var och en av de två termerna kan faktoriseras. |
Facit
"Falskt." Binomet a2+b2 kan inte faktoriseras.
Ledtråd
Betrakta ett binom där båda termerna är positiva.
Lösning
Vi får följande påstående.Alla binom som har en perfekt kvadrat i var och en av de tva˚ termerna kan faktoriseras.
Om vi betraktar differensen mellan två perfekta kvadrater, så kan den faktoriseras.
a2−b2=(a+b)(a−b)
Men om vi betraktar summan av två perfekta kvadrater, så kan den inte faktoriseras.
a2+b2
Uttrycket ovan är ett motexempel till det givna påståendet. Alltså är det "falskt". Svarsalternativ
Exempel
Beräkna med prioriteringsreglerna
Beräkna värdet av
(20+4)/6−2⋅2+42
utan räknare. {"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["16"]}}
Ledtråd
Följ prioriteringsreglerna.
Lösning
Enligt prioriteringsreglerna beräknas parenteser och exponenter först, så vi börjar med det.
Sedan beräknar vi division och multiplikation, och det spelar ingen roll i vilken ordning. Sist tar vi addition och subtraktion och inte heller där spelar ordningen någon roll.
Uttryckets värde är alltså 16.
24/6−2⋅2+16
CalcQuot
Beräkna kvot
4−2⋅2+16
Multiply
Multiplicera faktorer
4−4+16
AddSubTerms
Addera och subtrahera termer
16
Teori
Parenteser på räknare
Det är särskilt viktigt att tänka på prioriteringsreglerna när man skriver in uttryck på räknaren. Om man exempelvis ska beräkna värdet av uttrycket
2+8100+50
behöver man tänka på att skriva in parenteser runt täljaren och nämnaren, som på följande sätt. Notera att ett bråkstreck på räknaren skrivs med knappen /. Om man skulle skriva in uttrycket utan parenteser kommer räknaren inte förstå att den först ska räkna ihop summan av täljaren och sedan dividera denna med summan av nämnaren. Istället skulle räknaren enligt prioriteringsreglerna addera 100 till 50/2 och sedan till 8, vilket ger ett annat resultat.
Detta är även något man måste tänka på när man skriver in potenser på räknaren. Om man t.ex. ska skriva 23⋅2 måste man sätta en parentes runt multiplikationen för att beräkningen ska ske på rätt sätt.
Skrivs detta utan parentesen beräknas först 23 och resultatet multipliceras sedan med 2.
Teori
Avrundning
En mynt väljs slumpmässigt från en burk som innehåller 70 femöringar, 100 tioöringar, 80 kvartar och 50 en-dollars mynt. Hitta sannolikheten.
P (kvart)
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{4}{15}"]}}
Facit
154
Ledtråd
Använd sannolikhetsformeln.
Lösning
Vi väljer slumpmässigt ett mynt från en burk som innehåller 70 nickel, 100 tior, 80 kvartingar och 50 en-dollarsmynt. Vi vill hitta sannolikheten att plocka en kvarting. För att göra det använder vi sannolikhetsformeln. Formeln säger oss att sannolikheten för en händelse är antalet gynnsamma utfall dividerat med antalet möjliga utfall. Burken som vi väljer från innehåller 70 nickel, 100 tior, 80 kvartingar och 50 en-dollarsmynt. För nämnaren i formeln, det totala antalet möjliga utfall, behöver vi det totala antalet mynt i burken.70+100+80+50=300 mynt
För täljaren i formeln, det totala antalet gynnsamma utfall, behöver vi det totala antalet kvartingar i burken.
Som tidigare nämnt vet vi att det finns 80 kvartingar. Nu har vi tillräckligt med information för att beräkna P(kvarting).
P=Antal mo¨jliga utfallAntal gynnsamma utfall
SubstituteValues
Sätt in värden
P(kvartal)=30080
ReduceFrac
Förkorta med 10
P(kvartal)=308
ReduceFrac
Förkorta med 2
P(kvartal)=154
Svarsalternativ
Teori
Avrundningsregler
Siffran i ett tal som avrundas kallas avrundningssiffra och det är siffran efter avrundningssiffran, den så kallade beslutssiffran, som bestämmer om talet avrundas uppåt eller nedåt. Om man ska avrunda till en decimal får man följande avrundnings- och beslutssiffror.
I Sverige har man kommit överens om följande avrundningsregler beroende på vilket värde beslutssiffran har.
Är den 0–4 behålls avrundningssiffran
Är den 5–9 ökas avrundningssiffran med 1
- Multiplikation och division: Det tal med minst antal gällande siffror avgör antalet gällande siffror i svaret.
- Addition och subtraktion: Det tal med minst antal decimaler avgör antalet decimaler i svaret.
För att minimera avrundningsfelet bör man vänta med att avrunda till slutet av beräkningen, om det är möjligt.
Exempel
Avrunda talet
Avrunda 32 till tre decimaler.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["0.667"]}}
Ledtråd
Följ avrundningsreglerna.
Lösning
Om man slår in 32 på räknaren får man
32=0,666666…
Den tredje decimalen (avrundningssiffran) är 6, och decimalen efter är också en sexa. Därför avrundar vi uppåt till en sjua och decimalerna efter plockas bort:
32=0,66666…≈0,667
Teori
Gällande siffror
Gällande siffror (även kallat värdesiffror eller signifikanta siffror) anger hur exakt ett värde är. Alla siffror som inte är 0 är alltid gällande, och 0 är gällande ibland. Inledande nollor i tal räknas inte som gällande, t.ex. är nollorna i talet 0,00031 inte gällande. Det finns ett par förutsättningar där nollor räknas som gällande:
- Nollor i slutet av decimaltal är gällande, t.ex. nollorna i talet 5,000.
- Nollor mellan gällande siffror är gällande, t.ex. nollorna i talet 4007.
Vi markerar de gällande siffrorna i dessa och ytterligare fyra tal.
Övning
Avrunda tal
Prioriteringsregler och avrundning
Då man ska använda prioriteringsreglerna men har variabler i uttrycken kan man behöva olika samband. En av dessa är den sk. distributiva lagen.
a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c.
Visa med ett eget exempel att denna lag gäller.
security
report
code
security
report
code
Detta blir ett geometriskt bevis. Poängen är att vi vill skriva ett uttryck för hela arean och sedan ett uttryck för summan av de två färgade områdena för sig. Eftersom dessa uttryck beskriver samma area kan vi sätta likhet mellan dem.
Hela rektangeln i ett uttryck
Den stora rektangeln består av sidorna a och b+c och arean av dem beskrivs av produkten av dessa.
Rektangelns area kan alltså skrivas som a* (b+c).
Som summa av de färgade fälten
Nu uttrycker vi arean för de två färgade bitarna för sig och summerar sedan dessa. Vi kan börja med den blå biten som har längden a och bredden b och alltså har arean a * b.
På liknande sätt kan vi uttrycka arean av den gröna biten som a * c.
De två färgade bitarna får då tillsammans den totala arean a* b+a* c.
Slutsats
Nu har vi två uttryck som beskriver samma area. De måste därför vara lika dvs. a* (b+c) = a* b+a* c
Vi ersätter variablerna med tal. Vi kan exempelvis välja a=2, b=3 och c=4. Nu delar vi upp regeln i vänsterled och högerled: VL&=a* (b+c)och HL&=a* b+a* c. Sedan sätter vi in våra värden och beräknar leden var för sig.
Nu gör vi samma sak för högerledet.
Båda led är alltså 14 så lagen stämmer alltså för vårt exempel. Observera att detta inte är ett bevis, utan vi vet nu bara att lagen gäller för fallet då a=2, b=3 och c=4.
security
report
code
Förenkla uttrycket
2⋅a+a−a/a,a=0
genom att använda prioriteringsreglerna.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["a"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["3a-1"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi förenklar uttrycket genom att utföra räkneoperationerna i ordningen potens, multiplikation och division, och slutligen addition och subtraktion. Då vi ska beräkna kvoten .a /a. måste vi förstå att vad som helst dividerat på sig självt blir ett.
Med de vanliga prioriteringsreglerna får vi alltså 3a-1.
security
report
code
Gäller det att
(a+b)⋅(c+d)=a⋅c+a⋅d+b⋅c+b⋅d?
Använd figuren.
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
Längden av sidorna i rektangeln är a+b och c+d. Arean kan beskrivas genom att multiplicera längden och bredden.
Area kan alltså beräknas med (a+b)*(c+d). Eftersom denna rektangel är indelad i fyra mindre rektanglar måste dess area även vara summan av areorna för de mindre rektanglarna.
Summan av de färgade fälten
Nu uttrycker vi arean för varje färgade bit för sig och summerar sedan dessa. Vi kan börja med den gröna biten som har bredden a och längden c och alltså får arean a* c.
På liknande sätt kan vi uttrycka arean av den röda biten som a* d.
Slutligen uttrycker vi det blå och det grå området som b* c och b* d.
Alla färgade bitar tillsammans får då den totala arean a* c+a* d+b* c+b* d.
Slutsats
Nu har vi två uttryck som beskriver samma area. De måste därför vara lika dvs. (a+b)*(c+d) = a* c+a* d+b* c+b* d.
security
report
code
Prioriteringsregler och avrundning
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll