Primitiva funktioner med villkor

Eftersom t(x) beskriver hur temperaturen förändras kommer dess primitiva funktion att beskriva temperaturen. Vi börjar därför med att bestämma de primitiva funktionerna till t(x).

För att bestämma C använder vi att temperaturen var 3 ^(∘)C kl. 4. Detta är 4 timmar efter midnatt, vilket ger oss villkoret T(4)=3.

Konstanten C är -9 vilket betyder att temperaturen beskrivs av T(x)=0.25x^2 + 2x-9. För att beräkna temperaturen vid midnatt sätter vi in x=0.

Temperaturen vid midnatt var alltså -9 ^(∘)C.

Mängden bål i skålen anges av funktionen B(t), dvs. en primitiva funktion till b(t). Eftersom vi söker en specifik primitiv funktion bestämmer vi först alla primitiva funktioner.

Funktionen B(t) beskriver alltså mängden bål i skålen efter t minuter. Innan vi kan beräkna mängden bål efter 1.5 minuter bestämmer vi konstanten C. Det finns 4.25 liter efter 1 minut vilket betyder att B(1)=4.25. Vi sätter in detta villkor i vår primitiva funktion för att bestämma C.

Funktionen är alltså B(t)= t^3+2t^2+t+0.25. Genom att sätta in t=1.5 kan vi beräkna hur mycket bål det finns i skålen efter denna tid.

Efter 1.5 minuter kan gästerna ta för sig av ca 9.6 liter bål.

Vi börjar med att bestämma alla primitiva funktioner till f(x) och g(x).

Nu gör vi på samma sätt för g(x). Observera att vi bör välja en annan beteckning för konstanten än C, eftersom den är upptagen.

Nu har vi ett villkor för att bestämma sambandet mellan C och E. Vi vet att graferna till F(x) och G(x) skär varandra i x=1, dvs. de har samma funktionsvärde där. Det innebär att då x=1 är F(x)=G(x), dvs. - x^2 + 9x + C=0.25x^3-3.25x^2+12.75x+E. Genom att sätta in x=1 i ekvationen kan vi lösa ut C och se hur den förhåller sig till E.

Konstanten till F(x) är alltså 1.75 större än konstanten till G(x).

Vi kan börja med att bestämma funktionsuttrycket för f(x) genom att bestämma den räta linjens ekvation. Grafen skär y-axeln i 4 och minskar med 1/2 för varje steg i x-led.

Alltså är f(x)=-0.5x+4. Vi kan nu bestämma alla primitiva funktioner F(x) till f(x).

Den specifika primitiva funktionen i figuren kan vi nu bestämma genom att avläsa någon punkt som F(x) går igenom. Vi får då ett villkor som vi kan använda för att bestämma C. Vi kan t.ex. välja punkten (4,-1).

Det ger oss villkoret F(4)=-1. Vi sätter nu in detta i funktionen för att bestämma C.

Den specifika primitiva funktionen vars graf visas i figuren är alltså F(x)=-0.25x^2+4x-13.

Vi börjar med att bestämma alla primitiva funktioner till f(x) och h(x). Först bestämmer vi F(x), som innehåller en okänd konstant vi väljer att kalla C_1.

Vi bestämmer sedan G(x), som också innehåller en okänd konstant. Den kallar vi C_2.

Vi har inga villkor för F(x) eller G(x), så vi kan inte bestämma konstanterna C_1 och C_2. Vi har dock ett villkor för H(x), som är den funktionen som vi faktiskt söker. Vi sätter därför in funktionsuttrycken för F(x) och G(x) i definitionen av H(x).

Subtraherar man konstanten C_2 från konstanten C_1 får man en ny konstant som vi kan kalla E. Den definieras alltså som E = C_1 - C_2. Sätter vi in detta i H(x) får vi H(x) = x^6/2 - 2x + 2e^(-2x) + E. Den nya konstanten kan vi bestämma med hjälp av villkoret vi fick i uppgiften, H(0) = 10.

Vi vet fortfarande inte vad de två konstanterna C_1 och C_2 är, men det behöver vi inte heller veta. Det vi är ute efter är ju H(x), och för att bestämma den behöver man bara E, och den konstanten har vi nu. Vi sätter in E = 8 i funktionsuttrycket för H(x). H(x) = x^6/2 - 2x - 2e^(-2x) + 8