3. Primitiva funktioner med villkor
+ Anpassa lektionen
0
0
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 5
3.
Primitiva funktioner med villkor
Lektionen diskuterar begreppet primitiva funktioner med villkor, ett ämne inom matematiken relaterat till integraler. Den förklarar vad villkor betyder för primitiva funktioner och hur ett oändligt antal primitiva funktioner kan existera för en given funktion. Innehållet inkluderar också metoder för att bestämma en specifik primitiv funktion med ett givet villkor, med hjälp av en konstant. Olika övningar och lösningar finns tillgängliga för att hjälpa till att förstå hur man bestämmer primitiva funktioner som uppfyller specifika kriterier. Plattformen erbjuder en omfattande inlärningsupplevelse för olika matematiska begrepp.
Visa mindre Visa mer expand_more| | 4 sidor teori |
| | 15 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Primitiva funktioner med villkor
Sida av 4
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Bestämma primitiv funktion med villkor
Rekommenderat att repetera innan du börjar med det här avsnittet:
Dela
Rapportera fel
Översätt
Förklaring
Vad innebär villkor för primitiva funktioner?
När man pratar om alla primitiva funktioner till en funktion f, t.ex. f(x)=2x-4, menar man alla funktioner med derivatan f. En sådan primitiv funktion brukar skrivas med en godtycklig konstant C, t.ex. F(x)=x^2-4x+C. Det finns alltså oändligt många sådana funktioner eftersom det finns oändligt många möjliga värden på C. Graferna till några av dessa funktioner visas i figuren.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Metod
Bestämma primitiv funktion med villkor
När man bestämmer alla primitiva funktioner F(x) till en funktion f(x) lägger man till en okänd konstant C. Med ett villkor kan man bestämma en specifik primitiv funktion, t.ex. den som uppfyller f(x)=18x^2-5 om F(2) = 10.
1
Bestäm alla primitiva funktioner
expand_more Man börjar med att bestämma alla primitiva funktioner.
f(x)=18x^2-5
AntiderivativeAll
Bestäm alla primitiva funktioner
F(x)=D^(-1)(18x^2)-D^(-1)(5)+C
AntideriveMonom
D^(- 1) (x^n) = x^(n + 1)/n + 1
F(x)=18x^3/3-D^(-1)(5)+C
AntideriveConst
D^(- 1)(a) = ax
F(x)=18x^3/3-5x+C
SimpQuot
Förenkla kvot
F(x)=6x^3-5x+C
2
Sätt in x och F från villkoret och bestäm C
expand_more Nu sätter man in informationen från villkoret för att bestämma den specifika primitiva funktion som uppfyller det. I det här fallet vet man att F(2)=10, dvs. att funktionsvärdet är lika med 10 när x=2.
F(x)=6x^3-5x+C
Substitute
x= 2
F( 2)=6* 2^3-5* 2+C
Substitute
F(2)= 10
10=6*2^3-5*2+C
CalcPow
Beräkna potens
10=6*8-5*2+C
Multiply
Multiplicera faktorer
10=48-10+C
SimpTerms
Förenkla termerna
10=38+C
SubEqn
VL-38=HL-38
-28=C
RearrangeEqn
Omarrangera ekvation
C=-28
3
Bestäm den specifika primitiva funktionen
expand_more Slutligen ersätter man C med det värde man har beräknat. I det här fallet är alltså den sökta primitiva funktionen
F(x)=6x^3-5x-28.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Bestäm primitiv funktion med villkor
F(x) är en primitiv funktion till f(x)=5e^(2x)+e^x. Bestäm F(x) om dess graf skär y-axeln i 4.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"f(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["2.5e^{2x}+e^x+0.5","\\frac{5}{2}e^{2x}+e^2+\\frac{1}{2}"]}}
Ledtråd
Bestäm den allmänna primitiva funktionen till f(x). Värdera den vid x=0 och sätt den lika med 4 för att skriva en ekvation för C.
Lösning
Vi ska bestämma en specifik primitiv funktion till f(x) och börjar därför med att bestämma alla primitiva funktioner.
f(x)=5e^(2x)+e^x
AntiderivativeAll
Bestäm alla primitiva funktioner
F(x)=D^(-1)(5e^(2x))+D^(-1)(e^x)+C
AntideriveEInitialCo
D^(- 1)(ae^(kx)) = ae^(kx)/k
F(x)=5e^(2x)/2+D^(-1)(e^x)+C
AntideriveE
D^(- 1)(e^x)=e^x
F(x)=5e^(2x)/2+e^x+C
WriteDec
Skriv i decimalform
F(x)=2,5e^(2x)+e^x+C
Eftersom grafen till F(x) skär y-axeln där y=4 gäller villkoret F(0)=4. Vi använder det för att bestämma C.
F(x)=2,5e^(2x)+e^x+C
Substitute
x= 0
F( 0)=2,5e^(2* 0)+e^0+C
Substitute
F(0)= 4
4=2,5e^0+e^0+C
ExponentZero
a^0=1
4=2,5+1+C
SimpTerms
Förenkla termerna
4=3,5+C
SubEqn
VL-3,5=HL-3,5
0,5=C
RearrangeEqn
Omarrangera ekvation
C=0,5
Den primitiva funktionen är alltså F(x)=2,5e^(2x)+e^x+0,5.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Primitiva funktioner med villkor
Uppgift 2.1
Under natten till julafton ökar temperaturen enligt t(x) = 0,5x + 2 grader per timme, där x är antalet timmar efter midnatt. Vad var temperaturen vid midnatt om den klockan 4 på morgonen var 3 ^(∘)C?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"^(∘)C","answer":{"text":["-9"]}}
security
report
code
security
report
code
Eftersom t(x) beskriver hur temperaturen förändras kommer dess primitiva funktion att beskriva temperaturen. Vi börjar därför med att bestämma de primitiva funktionerna till t(x).
För att bestämma C använder vi att temperaturen var 3 ^(∘)C kl. 4. Detta är 4 timmar efter midnatt, vilket ger oss villkoret T(4)=3.
Konstanten C är -9 vilket betyder att temperaturen beskrivs av T(x)=0,25x^2 + 2x-9. För att beräkna temperaturen vid midnatt sätter vi in x=0.
Temperaturen vid midnatt var alltså -9 ^(∘)C.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Sinita ska fylla på bål ur en stor dunk i en skål på sin sons studentmottagning. Funktionen B(t) anger mängden bål i skålen i liter. Hastigheten som bålen hälls upp med i liter/min beskrivs av funktionen b(t)= 3t^2+4t+1. Efter 1 minut finns det 4,25 liter bål i skålen. Hur mycket finns däri efter 1,5 minuter? Avrunda till en decimal.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"Cirka","formTextAfter":"liter","answer":{"text":["9,6"]}}
security
report
code
security
report
code
Mängden bål i skålen anges av funktionen B(t), dvs. en primitiva funktion till b(t). Eftersom vi söker en specifik primitiv funktion bestämmer vi först alla primitiva funktioner.
Funktionen B(t) beskriver alltså mängden bål i skålen efter t minuter. Innan vi kan beräkna mängden bål efter 1,5 minuter bestämmer vi konstanten C. Det finns 4,25 liter efter 1 minut vilket betyder att B(1)=4,25. Vi sätter in detta villkor i vår primitiva funktion för att bestämma C.
Funktionen är alltså B(t)= t^3+2t^2+t+0,25. Genom att sätta in t=1,5 kan vi beräkna hur mycket bål det finns i skålen efter denna tid.
Efter 1,5 minuter kan gästerna ta för sig av ca 9,6 liter bål.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
F(x) och G(x) är primitiva funktioner till f(x)=-2x+9 och g(x)= 0,75 x^2 - 6,5 x + 12,75. Man vet att graferna till de primitiva funktionerna skär varandra där x=1. Hur mycket större är konstanten till F(x) än konstanten till G(x)?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":["1,75"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att bestämma alla primitiva funktioner till f(x) och g(x).
Nu gör vi på samma sätt för g(x). Observera att vi bör välja en annan beteckning för konstanten än C, eftersom den är upptagen.
Nu har vi ett villkor för att bestämma sambandet mellan C och E. Vi vet att graferna till F(x) och G(x) skär varandra i x=1, dvs. de har samma funktionsvärde där. Det innebär att då x=1 är F(x)=G(x), dvs. - x^2 + 9x + C=0,25x^3-3,25x^2+12,75x+E. Genom att sätta in x=1 i ekvationen kan vi lösa ut C och se hur den förhåller sig till E.
Konstanten till F(x) är alltså 1,75 större än konstanten till G(x).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
I figuren visas den linjära funktionen f(x) och en av dess primitiva funktioner F(x).
Bestäm F(x).
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"F(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-0,25x^2+4x-13"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi kan börja med att bestämma funktionsuttrycket för f(x) genom att bestämma den räta linjens ekvation. Grafen skär y-axeln i 4 och minskar med 1/2 för varje steg i x-led.
Alltså är f(x)=-0,5x+4. Vi kan nu bestämma alla primitiva funktioner F(x) till f(x).
Den specifika primitiva funktionen i figuren kan vi nu bestämma genom att avläsa någon punkt som F(x) går igenom. Vi får då ett villkor som vi kan använda för att bestämma C. Vi kan t.ex. välja punkten (4,-1).
Det ger oss villkoret F(4)=-1. Vi sätter nu in detta i funktionen för att bestämma C.
Den specifika primitiva funktionen vars graf visas i figuren är alltså F(x)=-0,25x^2+4x-13.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Man känner till två funktioner f(x) = 3x^5 - 2 och g(x) = 4e^(-2x). Med hjälp av deras primitiva funktioner F(x) och G(x) har man definierat funktionen H(x) = F(x) - G(x). Bestäm H(x) om man vet att H(0) = 10.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"H(x)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{x^6}{2} - 2x + 2e^{-2x} + 8"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att bestämma alla primitiva funktioner till f(x) och h(x). Först bestämmer vi F(x), som innehåller en okänd konstant vi väljer att kalla C_1.
Vi bestämmer sedan G(x), som också innehåller en okänd konstant. Den kallar vi C_2.
Vi har inga villkor för F(x) eller G(x), så vi kan inte bestämma konstanterna C_1 och C_2. Vi har dock ett villkor för H(x), som är den funktionen som vi faktiskt söker. Vi sätter därför in funktionsuttrycken för F(x) och G(x) i definitionen av H(x).
Subtraherar man konstanten C_2 från konstanten C_1 får man en ny konstant som vi kan kalla E. Den definieras alltså som E = C_1 - C_2. Sätter vi in detta i H(x) får vi H(x) = x^6/2 - 2x + 2e^(-2x) + E. Den nya konstanten kan vi bestämma med hjälp av villkoret vi fick i uppgiften, H(0) = 10.
Vi vet fortfarande inte vad de två konstanterna C_1 och C_2 är, men det behöver vi inte heller veta. Det vi är ute efter är ju H(x), och för att bestämma den behöver man bara E, och den konstanten har vi nu. Vi sätter in E = 8 i funktionsuttrycket för H(x). H(x) = x^6/2 - 2x - 2e^(-2x) + 8
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Primitiva funktioner med villkor
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll