body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Dashboard

Kurs 3b Visa detaljer

3. Primitiva funktioner med villkor

Klar med uppgifterna

Fortsätt till nästa lektion

Lektion

Uppgifter

Tester

eKurser /

( Ma 3b , Ma 3c ) /

Kapitel 5

Primitiva funktioner med villkor

Lektionen diskuterar begreppet primitiva funktioner med villkor, ett ämne inom matematiken relaterat till integraler. Den förklarar vad villkor betyder för primitiva funktioner och hur ett oändligt antal primitiva funktioner kan existera för en given funktion. Innehållet inkluderar också metoder för att bestämma en specifik primitiv funktion med ett givet villkor, med hjälp av en konstant. Olika övningar och lösningar finns tillgängliga för att hjälpa till att förstå hur man bestämmer primitiva funktioner som uppfyller specifika kriterier. Plattformen erbjuder en omfattande inlärningsupplevelse för olika matematiska begrepp.

Visa mer

	4 sidor teori
	15 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Sida av 4

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Bestämma primitiv funktion med villkor

Rekommenderat att repetera innan du börjar med det här avsnittet:

Förklaring

Vad innebär villkor för primitiva funktioner?

När man pratar om alla primitiva funktioner till en funktion f, t.ex. f(x)=2x-4, menar man alla funktioner med derivatan f. En sådan primitiv funktion brukar skrivas med en godtycklig konstant C, t.ex. F(x)=x^2-4x+C. Det finns alltså oändligt många sådana funktioner eftersom det finns oändligt många möjliga värden på C. Graferna till några av dessa funktioner visas i figuren.

Ibland vill man bestämma en specifik primitiv funktion med ett visst värde på C, men då måste man veta något mer om F(x). Detta kallas ett villkor, och innebär att man känner till en punkt som den primitiva funktionen går igenom. Exempelvis kan F(x) gå igenom (0,1) och villkoret skrivs då F(0)=1.

Detta villkor uppfylls bara av en primitiv funktion till f(x), i det här fallet F(x)=x^2-4x+1. Man kan se det som att villkoret "plockar ut" ett F(x) ur mängden av alla primitiva funktioner. Ibland är villkoret givet och ibland kan det utläsas ur sammanhanget, t.ex. i form av ett startvärde.

Metod

Bestämma primitiv funktion med villkor

När man bestämmer alla primitiva funktioner F(x) till en funktion f(x) lägger man till en okänd konstant C. Med ett villkor kan man bestämma en specifik primitiv funktion, t.ex. den som uppfyller f(x)=18x^2-5 om F(2) = 10.

Bestäm alla primitiva funktioner

Man börjar med att bestämma alla primitiva funktioner.

f(x)=18x^2-5

AntiderivativeAll

Bestäm alla primitiva funktioner

F(x)=D^(-1)(18x^2)-D^(-1)(5)+C

AntideriveMonom

D^(- 1) (x^n) = x^(n + 1)/n + 1

F(x)=18x^3/3-D^(-1)(5)+C

AntideriveConst

D^(- 1)(a) = ax

F(x)=18x^3/3-5x+C

SimpQuot

Förenkla kvot

F(x)=6x^3-5x+C

Sätt in x och F från villkoret och bestäm C

Nu sätter man in informationen från villkoret för att bestämma den specifika primitiva funktion som uppfyller det. I det här fallet vet man att F(2)=10, dvs. att funktionsvärdet är lika med 10 när x=2.

F(x)=6x^3-5x+C

Substitute

x= 2

F( 2)=6* 2^3-5* 2+C

Substitute

F(2)= 10

10=6*2^3-5*2+C

CalcPow

Beräkna potens

10=6*8-5*2+C

Multiply

Multiplicera faktorer

10=48-10+C

SimpTerms

Förenkla termerna

10=38+C

SubEqn

VL-38=HL-38

-28=C

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

C=-28

Bestäm den specifika primitiva funktionen

Slutligen ersätter man C med det värde man har beräknat. I det här fallet är alltså den sökta primitiva funktionen F(x)=6x^3-5x-28.

Exempel

Bestäm primitiv funktion med villkor

F(x) är en primitiv funktion till f(x)=5e^(2x)+e^x. Bestäm F(x) om dess graf skär y-axeln i 4.

Ledtråd

Bestäm den allmänna primitiva funktionen till f(x). Värdera den vid x=0 och sätt den lika med 4 för att skriva en ekvation för C.

Lösning

Vi ska bestämma en specifik primitiv funktion till f(x) och börjar därför med att bestämma alla primitiva funktioner.

f(x)=5e^(2x)+e^x

AntiderivativeAll

Bestäm alla primitiva funktioner

F(x)=D^(-1)(5e^(2x))+D^(-1)(e^x)+C

AntideriveEInitialCo

D^(- 1)(ae^(kx)) = ae^(kx)/k

F(x)=5e^(2x)/2+D^(-1)(e^x)+C

AntideriveE

D^(- 1)(e^x)=e^x

F(x)=5e^(2x)/2+e^x+C

WriteDec

Skriv i decimalform

F(x)=2,5e^(2x)+e^x+C

Eftersom grafen till F(x) skär y-axeln där y=4 gäller villkoret F(0)=4. Vi använder det för att bestämma C.

F(x)=2,5e^(2x)+e^x+C

Substitute

x= 0

F( 0)=2,5e^(2* 0)+e^0+C

Substitute

F(0)= 4

4=2,5e^0+e^0+C

ExponentZero

a^0=1

4=2,5+1+C

SimpTerms

Förenkla termerna

4=3,5+C

SubEqn

VL-3,5=HL-3,5

0,5=C

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

C=0,5

Den primitiva funktionen är alltså F(x)=2,5e^(2x)+e^x+0,5.

Nivå 1

Nivå 2

Nivå 3

Primitiva funktioner med villkor

Uppgift 3.1

Funktionen f(x) har endast en stationär punkt. I denna punkt skär funktionens graf x-axeln. Bestäm f(x) om dess andraderivata är f''(x) = 2x + 6.

Det vi har fått är andraderivatan till f(x). Funktionen alltså har deriverats två gånger och för att få tillbaka den måste man bestämma den primitiva funktionen först till f''(x) och sedan till f'(x).

Funktionsuttryck för f'(x)

Vi börjar med att bestämma alla primitiva funktioner till f''(x).

Vi känner inte till någon punkt som derivatan går igenom, så vi kan inte bestämma konstanten C direkt. Vi vet dock att funktionen f(x) endast har en stationär punkt. Stationära punkter finns där derivatan har sina nollställen, så vi undersöker vilka lösningar som går att hitta till ekvationen f'(x) = 0.

För att det endast ska finnas ett x som löser ekvationen måste diskriminanten vara 0, och för att det ska ske måste C=9. Sätter vi in det i f'(x) får vi funktionsuttrycket för derivatan: f'(x) = x^2 + 6x + 9.

Villkor för f(x)

Fortsätter vi lösningen av ekvationen x=-3±sqrt(9 - C) för att hitta den stationära punktens x-koordinat får vi x = -3 ± sqrt(9 - 9) = -3. Från uppgiften vet vi också att grafen till funktionen skär x-axeln i den stationära punkten, så den måste ha y-värdet 0. Den stationära punkten har alltså koordinaterna (-3, 0) vilket ger oss villkoret f(-3)=0.

Funktionsuttryck för f(x)

Nu kan vi fortsätta med att bestämma den primitiva funktionen till f'(x), vilket ger oss vår sökta funktion f(x).

Den nya konstanten E kan vi bestämma med hjälp av villkoret f(-3)=0. Vi sätter in detta i f(x) och löser den ekvation vi får.

Nu behöver vi bara sätta in E = 9 i funktionsuttrycket för att bestämma f(x). Då får vi f(x) = x^3/3 + 3x^2 + 9x + 9.

För funktionen f(x)=3x^3-7x gäller att (F(2))^2=9, där F(x) är en primitiv funktion till f(x). Bestäm F(x).

Villkoret ser inte ut som det brukar göra, men vi börjar med att bestämma alla primitiva funktioner till f(x).

Hur kan vi bestämma C med hjälp av (F(2))^2=9? Vi tar roten ur båda led: (F(2))^2=9 ⇔ F(2)=±3. Detta betyder att om man sätter in x=2 i den primitiva funktionen ska funktionsvärdet bli 3 eller -3. Vi bestämmer F(2) innan vi använder villkoret.

Nu använder vi att F(2)=±3.

Det finns alltså två möjliga värden på C vilket ger två primitiva funktioner: F(x)=3x^4/4-7x^2/2-1 och F(x)=3x^4/4-7x^2/2+5.

En bil som kör på motorvägen har konstant acceleration a m/s^2. Stämmer det att sträckan som bilen färdats på motorvägen kan beskrivas med funktionsuttrycket s(t)=at^2/2+v_0t+ s_0, där v_0 och s_0 är bilens hastighet och sträcka vid t=0?

Acceleration beskriver hur bilens hastighet förändras och hastighet beskriver hur bilens sträcka förändras. Detta betyder att

Acceleration är hastighetens derivata och
Hastighet är sträckans derivata.

Vi vet att accelerationen är konstant a vilket betyder att vi kan formulera ekvationen v'(t)=a. För att hitta hastigheten bestämmer vi alla primitiva funktioner till v'(t).

Konstanten C är hastigheten vid t=0, dvs. v_0, vilket vi kan visa genom att sätta in t=0 i funktionen.

Hastigheten kan alltså beskrivas med funktionen v(t)=at+v_0. Nu bestämmer vi alla primitiva funktioner till v(t). Kom ihåg att eftersom hastigheten är sträckans derivata kan den primitiva funktionen till v(t) uttryckas s(t).

Konstanten C är sträckan vid t=0, dvs. s_0. Detta kan också visas genom att sätta in t=0 i sträckafunktionen.

Nu ser vi att sträckan kan beskrivas med funktionen s(t)=at^2/2+v_0t+s_0.

Primitiva funktioner med villkor

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Redigera lektion

≥

■2

■▢

e▢

÷■1

=

√▢

▢√

∫▢▢

−

≤

log

log▢

()

∣

sin

cos

tan