Primitiva funktioner med villkor: Lär dig om antiderivata och hur villkoren bestämmer lösningen

Förklaring

Vad innebär villkor för primitiva funktioner?

När man pratar om alla primitiva funktioner till en funktion

f,

t.ex.

f (x) = 2 x - 4,

menar man alla funktioner med derivatan

f .

En sådan primitiv funktion brukar skrivas med en godtycklig konstant

C,

t.ex.

F (x) = x^{2} - 4 x + C .

Det finns alltså oändligt många sådana funktioner eftersom det finns oändligt många möjliga värden på

C .

Graferna till några av dessa funktioner visas i figuren.

Ibland vill man bestämma en specifik primitiv funktion med ett visst värde på

C,

men då måste man veta något mer om

F (x) .

Detta kallas ett villkor, och innebär att man känner till en punkt som den primitiva funktionen går igenom. Exempelvis kan

F (x)

gå igenom

(0, 1)

och villkoret skrivs då

F (0) = 1 .

Detta villkor uppfylls bara av en primitiv funktion till

f (x),

i det här fallet

F (x) = x^{2} - 4 x + 1 .

Man kan se det som att villkoret "plockar ut" ett

F (x)

ur mängden av alla primitiva funktioner. Ibland är villkoret givet och ibland kan det utläsas ur sammanhanget, t.ex. i form av ett startvärde.

Metod

Bestämma primitiv funktion med villkor

När man bestämmer alla primitiva funktioner

F (x)

till en funktion

f (x)

lägger man till en okänd konstant

C .

Med ett villkor kan man bestämma en specifik primitiv funktion, t.ex. den som uppfyller

f (x) = 18 x^{2} - 5 om F (2) = 10 .

Bestäm alla primitiva funktioner

Man börjar med att bestämma alla primitiva funktioner.

f (x) = 18 x^{2} - 5

AntiderivativeAll

Bestäm alla primitiva funktioner

F (x) = D^{- 1} (18 x^{2}) - D^{- 1} (5) + C

AntideriveMonom

$D^{- 1} (x^{n}) = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$

F (x) = \frac{1 8 x ^{3}}{3} - D^{- 1} (5) + C

AntideriveConst

$D^{- 1} (a) = a x$

F (x) = \frac{1 8 x ^{3}}{3} - 5 x + C

SimpQuot

Förenkla kvot

F (x) = 6 x^{3} - 5 x + C

Sätt in

x

och

F

från villkoret och bestäm

C

Nu sätter man in informationen från villkoret för att bestämma den specifika primitiva funktion som uppfyller det. I det här fallet vet man att $F (2) = 10,$ dvs. att funktionsvärdet är lika med $10$ när $x = 2 .$

F (x) = 6 x^{3} - 5 x + C

Substitute

$x = 2$

F (2) = 6 \cdot 2^{3} - 5 \cdot 2 + C

Substitute

$F (2) = 10$

10 = 6 \cdot 2^{3} - 5 \cdot 2 + C

CalcPow

Beräkna potens

10 = 6 \cdot 8 - 5 \cdot 2 + C

Multiply

Multiplicera faktorer

10 = 48 - 10 + C

SimpTerms

Förenkla termer

10 = 38 + C

SubEqn

$VL - 38 = HL - 38$

- 28 = C

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

C = - 28

Bestäm den specifika primitiva funktionen

Slutligen ersätter man

C

med det värde man har beräknat. I det här fallet är alltså den sökta primitiva funktionen

F (x) = 6 x^{3} - 5 x - 28 .

Bestäm primitiv funktion med villkor

fullscreen

F (x)

är en primitiv funktion till

f (x) = 5 e^{2 x} + e^{x} .

Bestäm

F (x)

om dess graf skär

y

-axeln i

4 .

Visa Lösning

Vi ska bestämma en specifik primitiv funktion till $f (x)$ och börjar därför med att bestämma alla primitiva funktioner.

f (x) = 5 e^{2 x} + e^{x}

AntiderivativeAll

Bestäm alla primitiva funktioner

F (x) = D^{- 1} (5 e^{2 x}) + D^{- 1} (e^{x}) + C

AntideriveEInitialCo

$D^{- 1} (a e^{k x}) = \frac{a e ^{k x}}{k}$

F (x) = \frac{5 e ^{2 x}}{2} + D^{- 1} (e^{x}) + C

AntideriveE

$D^{- 1} (e^{x}) = e^{x}$

F (x) = \frac{5 e ^{2 x}}{2} + e^{x} + C

WriteDec

Skriv i decimalform

F (x) = 2.5 e^{2 x} + e^{x} + C

Eftersom grafen till $F (x)$ skär $y$ -axeln där $y = 4$ gäller villkoret $F (0) = 4 .$ Vi använder det för att bestämma $C .$

F (x) = 2.5 e^{2 x} + e^{x} + C

Substitute

$x = 0$

F (0) = 2.5 e^{2 \cdot 0} + e^{0} + C

Substitute

$F (0) = 4$

4 = 2.5 e^{0} + e^{0} + C

ExponentZero

$a^{0} = 1$

4 = 2.5 + 1 + C

SimpTerms

Förenkla termer

4 = 3.5 + C

SubEqn

$VL - 3.5 = HL - 3.5$

0.5 = C

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

C = 0.5

Den primitiva funktionen är alltså

F (x) = 2.5 e^{2 x} + e^{x} + 0.5 .

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Exempel

Bestäm primitiv funktion med villkor