3. Primitiva funktioner med villkor
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 5
3.
Primitiva funktioner med villkor
Lektionen diskuterar begreppet primitiva funktioner med villkor, ett ämne inom matematiken relaterat till integraler. Den förklarar vad villkor betyder för primitiva funktioner och hur ett oändligt antal primitiva funktioner kan existera för en given funktion. Innehållet inkluderar också metoder för att bestämma en specifik primitiv funktion med ett givet villkor, med hjälp av en konstant. Olika övningar och lösningar finns tillgängliga för att hjälpa till att förstå hur man bestämmer primitiva funktioner som uppfyller specifika kriterier. Plattformen erbjuder en omfattande inlärningsupplevelse för olika matematiska begrepp.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 3 sidor teori |
| | 15 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Primitiva funktioner med villkor
Sida av 3
Förklaring
Vad innebär villkor för primitiva funktioner?
När man pratar om alla primitiva funktioner till en funktion f, t.ex. f(x)=2x−4, menar man alla funktioner med derivatan f. En sådan primitiv funktion brukar skrivas med en godtycklig konstant C, t.ex. 
Ibland vill man bestämma en specifik primitiv funktion med ett visst värde på C, men då måste man veta något mer om F(x). Detta kallas ett villkor, och innebär att man känner till en punkt som den primitiva funktionen går igenom. Exempelvis kan F(x) gå igenom (0,1) och villkoret skrivs då
F(x)=x2−4x+C.
Det finns alltså oändligt många sådana funktioner eftersom det finns oändligt många möjliga värden på C. Graferna till några av dessa funktioner visas i figuren. F(0)=1.
Detta villkor uppfylls bara av en primitiv funktion till f(x), i det här fallet F(x)=x2−4x+1. Man kan se det som att villkoret "plockar ut" ett F(x) ur mängden av alla primitiva funktioner. Ibland är villkoret givet och ibland kan det utläsas ur sammanhanget, t.ex. i form av ett startvärde.Metod
Bestämma primitiv funktion med villkor
När man bestämmer alla primitiva funktioner F(x) till en funktion f(x) lägger man till en okänd konstant C. Med ett villkor kan man bestämma en specifik primitiv funktion, t.ex. den som uppfyller
f(x)=18x2−5omF(2)=10.
1
Bestäm alla primitiva funktioner
expand_more Man börjar med att bestämma alla primitiva funktioner.
f(x)=18x2−5
AntiderivativeAll
Bestäm alla primitiva funktioner
F(x)=D−1(18x2)−D−1(5)+C
AntideriveMonom
D-1(xn)=n+1xn+1
F(x)=318x3−D−1(5)+C
AntideriveConst
D-1(a)=ax
F(x)=318x3−5x+C
SimpQuot
Förenkla kvot
F(x)=6x3−5x+C
2
Sätt in x och F från villkoret och bestäm C
expand_more Nu sätter man in informationen från villkoret för att bestämma den specifika primitiva funktion som uppfyller det. I det här fallet vet man att F(2)=10, dvs. att funktionsvärdet är lika med 10 när x=2.
F(x)=6x3−5x+C
Substitute
x=2
F(2)=6⋅23−5⋅2+C
Substitute
F(2)=10
10=6⋅23−5⋅2+C
CalcPow
Beräkna potens
10=6⋅8−5⋅2+C
Multiply
Multiplicera faktorer
10=48−10+C
SimpTerms
Förenkla termer
10=38+C
SubEqn
VL−38=HL−38
−28=C
RearrangeEqn
Omarrangera ekvation
C=−28
3
Bestäm den specifika primitiva funktionen
expand_more Slutligen ersätter man C med det värde man har beräknat. I det här fallet är alltså den sökta primitiva funktionen
F(x)=6x3−5x−28.
Exempel
Bestäm primitiv funktion med villkor
F(x) är en primitiv funktion till
f(x)=5e2x+ex.
Bestäm F(x) om dess graf skär y-axeln i 4. Visa Lösning expand_more
Vi ska bestämma en specifik primitiv funktion till f(x) och börjar därför med att bestämma alla primitiva funktioner.
f(x)=5e2x+ex
AntiderivativeAll
Bestäm alla primitiva funktioner
F(x)=D−1(5e2x)+D−1(ex)+C
AntideriveEInitialCo
D-1(aekx)=kaekx
F(x)=25e2x+D−1(ex)+C
AntideriveE
D-1(ex)=ex
F(x)=25e2x+ex+C
WriteDec
Skriv i decimalform
F(x)=2.5e2x+ex+C
Eftersom grafen till F(x) skär y-axeln där y=4 gäller villkoret F(0)=4. Vi använder det för att bestämma C.
F(x)=2.5e2x+ex+C
Substitute
x=0
F(0)=2.5e2⋅0+e0+C
Substitute
F(0)=4
4=2.5e0+e0+C
ExponentZero
a0=1
4=2.5+1+C
SimpTerms
Förenkla termer
4=3.5+C
SubEqn
VL−3.5=HL−3.5
0.5=C
RearrangeEqn
Omarrangera ekvation
C=0.5
F(x)=2.5e2x+ex+0.5.
Primitiva funktioner med villkor
Övningar
Funktionen f(x) har endast en stationär punkt. I denna punkt skär funktionens graf x-axeln. Bestäm f(x) om dess andraderivata är f′′(x)=2x+6.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:1em;vertical-align:-0.25em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.10764em;\">f<\/span><span class=\"mopen\">(<\/span><span class=\"mord mathdefault\">x<\/span><span class=\"mclose\">)<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{x^3}{3}+3x^2+9x+9"]}}
security
report
code
security
report
code
Det vi har fått är andraderivatan till f(x). Funktionen alltså har deriverats två gånger och för att få tillbaka den måste man bestämma den primitiva funktionen först till f''(x) och sedan till f'(x).
Funktionsuttryck för f'(x)
Vi börjar med att bestämma alla primitiva funktioner till f''(x).
Vi känner inte till någon punkt som derivatan går igenom, så vi kan inte bestämma konstanten C direkt. Vi vet dock att funktionen f(x) endast har en stationär punkt. Stationära punkter finns där derivatan har sina nollställen, så vi undersöker vilka lösningar som går att hitta till ekvationen f'(x) = 0.
För att det endast ska finnas ett x som löser ekvationen måste diskriminanten vara 0, och för att det ska ske måste C=9. Sätter vi in det i f'(x) får vi funktionsuttrycket för derivatan: f'(x) = x^2 + 6x + 9.
Villkor för f(x)
Fortsätter vi lösningen av ekvationen x=-3±sqrt(9 - C) för att hitta den stationära punktens x-koordinat får vi x = -3 ± sqrt(9 - 9) = -3. Från uppgiften vet vi också att grafen till funktionen skär x-axeln i den stationära punkten, så den måste ha y-värdet 0. Den stationära punkten har alltså koordinaterna (-3, 0) vilket ger oss villkoret f(-3)=0.
Funktionsuttryck för f(x)
Nu kan vi fortsätta med att bestämma den primitiva funktionen till f'(x), vilket ger oss vår sökta funktion f(x).
Den nya konstanten E kan vi bestämma med hjälp av villkoret f(-3)=0. Vi sätter in detta i f(x) och löser den ekvation vi får.
Nu behöver vi bara sätta in E = 9 i funktionsuttrycket för att bestämma f(x). Då får vi
f(x) = x^3/3 + 3x^2 + 9x + 9.
security
report
code
För funktionen f(x)=3x3−7x gäller att
(F(2))2=9,
där F(x) är en primitiv funktion till f(x). Bestäm F(x).
security
report
code
security
report
code
Villkoret ser inte ut som det brukar göra, men vi börjar med att bestämma alla primitiva funktioner till f(x).
Hur kan vi bestämma C med hjälp av (F(2))^2=9? Vi tar roten ur båda led: (F(2))^2=9 ⇔ F(2)=±3. Detta betyder att om man sätter in x=2 i den primitiva funktionen ska funktionsvärdet bli 3 eller -3. Vi bestämmer F(2) innan vi använder villkoret.
Nu använder vi att F(2)=±3.
Det finns alltså två möjliga värden på C vilket ger två primitiva funktioner: F(x)=3x^4/4-7x^2/2-1 och F(x)=3x^4/4-7x^2/2+5.
security
report
code
En bil som kör på motorvägen har konstant acceleration a m/s2. Stämmer det att sträckan som bilen färdats på motorvägen kan beskrivas med funktionsuttrycket
s(t)=2at2+v0t+s0,
där v0 och s0 är bilens hastighet och sträcka vid t=0?
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
Acceleration beskriver hur bilens hastighet förändras och hastighet beskriver hur bilens sträcka förändras. Detta betyder att
- Acceleration är hastighetens derivata och
- Hastighet är sträckans derivata.
Vi vet att accelerationen är konstant a vilket betyder att vi kan formulera ekvationen v'(t)=a. För att hitta hastigheten bestämmer vi alla primitiva funktioner till v'(t).
Konstanten C är hastigheten vid t=0, dvs. v_0, vilket vi kan visa genom att sätta in t=0 i funktionen.
Hastigheten kan alltså beskrivas med funktionen v(t)=at+v_0. Nu bestämmer vi alla primitiva funktioner till v(t). Kom ihåg att eftersom hastigheten är sträckans derivata kan den primitiva funktionen till v(t) uttryckas s(t).
Konstanten C är sträckan vid t=0, dvs. s_0. Detta kan också visas genom att sätta in t=0 i sträckafunktionen.
Nu ser vi att sträckan kan beskrivas med funktionen s(t)=at^2/2+v_0t+s_0.
security
report
code
Primitiva funktioner med villkor
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll