{{ 'ml-label-choose-chapter' | message }} {{ courseTrack.signature }} {{ 'ml-label-choose-course' | message }}

Integraler

Välj kurs
( Matte 3b , Matte 3c )
Integraler
Primitiva funktioner med villkor

Primitiva funktioner med villkor

{{ 'ml-heading-theory' | message }}
Förklaring

Vad innebär villkor för primitiva funktioner?

När man pratar om alla primitiva funktioner till en funktion f,f, t.ex. f(x)=2x−4,f(x)=2x-4, menar man alla funktioner med derivatan f.f. En sådan primitiv funktion brukar skrivas med en godtycklig konstant C,C, t.ex. F(x)=x2−4x+C. F(x)=x^2-4x+C. Det finns alltså oändligt många sådana funktioner eftersom det finns oändligt många möjliga värden på C.C. Graferna till några av dessa funktioner visas i figuren.

Ibland vill man bestämma en specifik primitiv funktion med ett visst värde på C,C, men då måste man veta något mer om F(x).F(x). Detta kallas ett villkor, och innebär att man känner till en punkt som den primitiva funktionen går igenom. Exempelvis kan F(x)F(x) gå igenom (0,1)(0,1) och villkoret skrivs då F(0)=1. F(0)=1.

Detta villkor uppfylls bara av en primitiv funktion till f(x),f(x), i det här fallet F(x)=x2−4x+1.F(x)=x^2-4x+1. Man kan se det som att villkoret "plockar ut" ett F(x)F(x) ur mängden av alla primitiva funktioner. Ibland är villkoret givet och ibland kan det utläsas ur sammanhanget, t.ex. i form av ett startvärde.
Metod

Bestämma primitiv funktion med villkor

När man bestämmer alla primitiva funktioner F(x)F(x) till en funktion f(x)f(x) lägger man till en okänd konstant C.C. Med ett villkor kan man bestämma en specifik primitiv funktion, t.ex. den som uppfyller f(x)=18x2−5omF(2)=10. f(x)=18x^2-5 \quad \text{om} \quad F(2) = 10.

1

Bestäm alla primitiva funktioner

Man börjar med att bestämma alla primitiva funktioner.

f(x)=18x2−5f(x)=18x^2-5
Bestäm alla primitiva funktioner
F(x)=D-1(18x2)−D-1(5)+CF(x)=D^{\text{-}1}\left(18x^2\right)-D^{\text{-}1}\left(5\right)+C
D-1(xn)=xn+1n+1D^{\text{-}1}\left(x^n\right) = \dfrac{x^{n + 1}}{n + 1}
F(x)=18x33−D-1(5)+CF(x)=\dfrac{18x^3}{3}-D^{\text{-}1}\left(5\right)+C
D-1(a)=axD ^{\text{-}1}(a) = ax
F(x)=18x33−5x+CF(x)=\dfrac{18x^3}{3}-5x+C
Förenkla kvot
F(x)=6x3−5x+CF(x)=6x^3-5x+C

2

Sätt in xx och FF från villkoret och bestäm CC

Nu sätter man in informationen från villkoret för att bestämma den specifika primitiva funktion som uppfyller det. I det här fallet vet man att F(2)=10,F(2)=10, dvs. att funktionsvärdet är lika med 1010 när x=2.x=2.

F(x)=6x3−5x+CF(x)=6x^3-5x+C
x=2x={\color{#0000FF}{2}}
F(2)=6⋅23−5⋅2+CF({\color{#0000FF}{2}})=6\cdot{\color{#0000FF}{2}}^3-5\cdot{\color{#0000FF}{2}}+C
F(2)=10F(2)={\color{#0000FF}{10}}
10=6⋅23−5⋅2+C{\color{#0000FF}{10}}=6\cdot2^3-5\cdot2+C
Beräkna potens
10=6⋅8−5⋅2+C10=6\cdot8-5\cdot2+C
Multiplicera faktorer
10=48−10+C10=48-10+C
Förenkla termer
10=38+C10=38+C
VL−38=HL−38\text{VL}-38=\text{HL}-38
-28=C\text{-}28=C
Omarrangera ekvation
C=-28C=\text{-}28


3

Bestäm den specifika primitiva funktionen

Slutligen ersätter man CC med det värde man har beräknat. I det här fallet är alltså den sökta primitiva funktionen F(x)=6x3−5x−28. F(x)=6x^3-5x-28.

Uppgift


F(x)F(x) är en primitiv funktion till f(x)=5e2x+ex. f(x)=5e^{2x}+e^x. Bestäm F(x)F(x) om dess graf skär yy-axeln i 4.4.

Lösning

Vi ska bestämma en specifik primitiv funktion till f(x)f(x) och börjar därför med att bestämma alla primitiva funktioner.

f(x)=5e2x+exf(x)=5e^{2x}+e^x
Bestäm alla primitiva funktioner
F(x)=D-1(5e2x)+D-1(ex)+CF(x)=D^{\text{-}1}\left(5e^{2x}\right)+D^{\text{-}1}\left(e^x\right)+C
D-1(aekx)=aekxkD^{\text{-}1}\left(ae^{kx}\right) = \dfrac{ae^{kx}}{k}
F(x)=5e2x2+D-1(ex)+CF(x)=\dfrac{5e^{2x}}{2}+D^{\text{-}1}\left(e^x\right)+C
D-1(ex)=exD ^{\text{-}1}\left(e^x\right)=e^x
F(x)=5e2x2+ex+CF(x)=\dfrac{5e^{2x}}{2}+e^x+C
Skriv i decimalform
F(x)=2.5e2x+ex+CF(x)=2.5e^{2x}+e^x+C

Eftersom grafen till F(x)F(x) skär yy-axeln där y=4y=4 gäller villkoret F(0)=4.F(0)=4. Vi använder det för att bestämma C.C.

F(x)=2.5e2x+ex+CF(x)=2.5e^{2x}+e^x+C
x=0x={\color{#0000FF}{0}}
F(0)=2.5e2⋅0+e0+CF({\color{#0000FF}{0}})=2.5e^{2\cdot{\color{#0000FF}{0}}}+e^{\color{#0000FF}{0}}+C
F(0)=4F(0)={\color{#0000FF}{4}}
4=2.5e0+e0+C{\color{#0000FF}{4}}=2.5e^0+e^0+C
a0=1a^0=1
4=2.5+1+C4=2.5+1+C
Förenkla termer
4=3.5+C4=3.5+C
VL−3.5=HL−3.5\text{VL}-3.5=\text{HL}-3.5
0.5=C0.5=C
Omarrangera ekvation
C=0.5C=0.5

Den primitiva funktionen är alltså F(x)=2.5e2x+ex+0.5. F(x)=2.5e^{2x}+e^x+0.5.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För funktionen f(x)=6x2−4x+7,f(x)=6x^2-4x+7,

a
bestäm samtliga primitiva funktioner.
b
bestäm den primitiva funktionen som uppfyller F(1)=4.F(1)=4.
1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm den primitiva funktion till f(x)=12x2+8x+11f(x) = 12x^2 + 8x + 11 som uppfyller följande villkor.

a
F(0)=5F(0) = 5
b
F(2)=-6F(2) = \text{-}6
c
F(-1)=3F(\text{-}1) = 3
1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För den primitiva funktionen till g(x)g(x) gäller villkoret G(2)=1.G(2) = 1. Bestäm denna primitiva funktion för följande funktionsuttryck.

a
g(x)=9x2g(x) = 9x^2
b
g(x)=1−12x3−10xg(x) = 1 - 12x^3 - 10x
c
g(x)=16x7+15x2g(x) = 16x^7 + 15x^2
1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a
Bestäm den primitiva funktion till g(x)=2e2x−6x+9g(x)=2e^{2x}-6x+9 som uppfyller villkoret G(0)=16.G(0)=16.
b
Bestäm den primitiva funktion till h(x)=x3+x2+x+1h(x)=x^3+x^2+x+1 som uppfyller villkoret H(-1)=-712.H(\text{-}1)=\text{-}\frac{7}{12}.
1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Maria ska bestämma den primitiva funktion till f(x)=4x+7f(x) = 4x + 7 som uppfyller villkoret F(-1)=-5.F(\text{-} 1) = \text{-} 5. Hon får F(x)=2x2+7x.F(x) = 2x^2 + 7x. Moa påstår dock att Maria har fel och att hon måste komma ihåg konstanten, så svaret ska egentligen vara F(x)=2x2+7x−5.F(x) = 2x^2 + 7x - 5. Våld utbryter och blodsutgjutelse sker. Vem har rätt? Varför?

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För f(x)=14x+3,f(x)=14x+3, visa att F(3)−F(2)=38F(3)-F(2)=38 oavsett värde på konstanten C.C.

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För funktionen k(w)k(w) vet man att derivatan är k′(w)=24w2−26w+3k'(w)=24w^2-26w+3 samt att k(-2)=-129.k(\text{-}2)=\text{-}129. Bestäm k(w).k(w).

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Under natten till julafton ökar temperaturen enligt t(x)=0.5x+2t(x) = 0.5x + 2 grader per timme, där xx är antalet timmar efter midnatt. Vad var temperaturen vid midnatt om den klockan 44 på morgonen var 3∘3\,^\circC?

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Sinita ska fylla på bål ur en stor dunk i en skål på sin sons studentmottagning. Funktionen B(t)B(t) anger mängden bål i skålen i liter. Hastigheten som bålen hälls upp med i liter/min beskrivs av funktionen b(t)=3t2+4t+1. b(t)= 3t^2+4t+1. Efter 11 minut finns det 4.254.25 liter bål i skålen. Hur mycket finns däri efter 1.51.5 minuter? Avrunda till en decimal.

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

F(x)F(x) och G(x)G(x) är primitiva funktioner till f(x)=-2x+9f(x)=\text{-}2x+9 och g(x)=0.75x2−6.5x+12.75.g(x)= 0.75 x^2 - 6.5 x + 12.75. Man vet att graferna till de primitiva funktionerna skär varandra där x=1.x=1. Visa att konstanten till F(x)F(x) är 1.751.75 större än konstanten till G(x).G(x).

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I figuren visas den linjära funktionen f(x)f(x) och en av dess primitiva funktioner F(x).F(x).

Bestäm F(x).F(x).

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Man känner till två funktioner f(x)=3x5−2ochg(x)=4e-2x. f(x) = 3x^5 - 2 \quad \text{och} \quad g(x) = 4e^{\text{-}2x}. Med hjälp av deras primitiva funktioner F(x)F(x) och G(x)G(x) har man definierat funktionen H(x)=F(x)−G(x). H(x) = F(x) - G(x). Bestäm H(x)H(x) om man vet att H(0)=10.H(0) = 10.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Funktionen f(x)f(x) har endast en stationär punkt. I denna punkt skär funktionens graf xx-axeln. Bestäm f(x)f(x) om dess andraderivata är f′′(x)=2x+6.f''(x) = 2x + 6.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För funktionen f(x)=3x3−7xf(x)=3x^3-7x gäller att (F(2))2=9, \left(F(2)\right)^2=9, där F(x)F(x) är en primitiv funktion till f(x).f(x). Bestäm F(x).F(x).

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En bil som kör på motorvägen har konstant acceleration a m/s2.a \text{ m/s}^2. Visa att sträckan som bilen färdats på motorvägen kan beskrivas med funktionsuttrycket s(t)=at22+v0t+s0 s(t)=\dfrac{at^2}{2}+v_0t+ s_0 där v0v_0 och s0s_0 är bilens hastighet och sträcka vid t=0.t=0.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace {{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}