{{ option.label }} add
menu_book {{ printedBook.name}}
arrow_left {{ state.menu.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
arrow_left {{ state.menu.current.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
Mathleaks
Använd offline
Expandera meny menu_open
Integraler

Primitiva funktioner med villkor

{{ 'ml-article-collection-answers-hints-solutions' | message }}
tune
{{ topic.label }}
{{tool}}
{{ result.displayTitle }}
{{ result.subject.displayTitle }}
navigate_next

Kanaler

Direktmeddelanden

Förklaring

Vad innebär villkor för primitiva funktioner?

När man pratar om alla primitiva funktioner till en funktion f, t.ex. f(x)=2x4, menar man alla funktioner med derivatan f. En sådan primitiv funktion brukar skrivas med en godtycklig konstant C, t.ex.
F(x)=x24x+C.
Det finns alltså oändligt många sådana funktioner eftersom det finns oändligt många möjliga värden på C. Graferna till några av dessa funktioner visas i figuren.
Ibland vill man bestämma en specifik primitiv funktion med ett visst värde på C, men då måste man veta något mer om F(x). Detta kallas ett villkor, och innebär att man känner till en punkt som den primitiva funktionen går igenom. Exempelvis kan F(x) gå igenom (0,1) och villkoret skrivs då
F(0)=1.
Detta villkor uppfylls bara av en primitiv funktion till f(x), i det här fallet F(x)=x24x+1. Man kan se det som att villkoret "plockar ut" ett F(x) ur mängden av alla primitiva funktioner. Ibland är villkoret givet och ibland kan det utläsas ur sammanhanget, t.ex. i form av ett startvärde.

Metod

Bestämma primitiv funktion med villkor

När man bestämmer alla primitiva funktioner F(x) till en funktion f(x) lägger man till en okänd konstant C. Med ett villkor kan man bestämma en specifik primitiv funktion, t.ex. den som uppfyller
1
Bestäm alla primitiva funktioner
expand_more

Man börjar med att bestämma alla primitiva funktioner.

f(x)=18x25
F(x)=6x35x+C
2
Sätt in x och F från villkoret och bestäm C
expand_more

Nu sätter man in informationen från villkoret för att bestämma den specifika primitiva funktion som uppfyller det. I det här fallet vet man att F(2)=10, dvs. att funktionsvärdet är lika med 10 när x=2.

F(x)=6x35x+C
F(2)=62352+C
10=62352+C
10=6852+C
10=4810+C
10=38+C
-28=C
C=-28


3
Bestäm den specifika primitiva funktionen
expand_more
Slutligen ersätter man C med det värde man har beräknat. I det här fallet är alltså den sökta primitiva funktionen
F(x)=6x35x28.

Exempel

Bestäm primitiv funktion med villkor

fullscreen

F(x) är en primitiv funktion till
Bestäm F(x) om dess graf skär y-axeln i 4.
Visa Lösning expand_more

Vi ska bestämma en specifik primitiv funktion till f(x) och börjar därför med att bestämma alla primitiva funktioner.

Eftersom grafen till F(x) skär y-axeln där y=4 gäller villkoret F(0)=4. Vi använder det för att bestämma C.

4=2.5e0+e0+C
4=2.5+1+C
4=3.5+C
0.5=C
C=0.5
Den primitiva funktionen är alltså
arrow_left
arrow_right
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward
arrow_left arrow_right
close
Community