Primitiva funktioner med villkor

Förklaring

Vad innebär villkor för primitiva funktioner?

När man pratar om alla primitiva funktioner till en funktion $f,$ t.ex. $f(x)=2x-4,$ menar man alla funktioner med derivatan $f.$ En sådan primitiv funktion brukar skrivas med en godtycklig konstant $C,$ t.ex. $F(x)=x^2-4x+C.$ Det finns alltså oändligt många sådana funktioner eftersom det finns oändligt många möjliga värden på $C.$ Graferna till några av dessa funktioner visas i figuren.

Ibland vill man bestämma en specifik primitiv funktion med ett visst värde på $C,$ men då måste man veta något mer om $F(x).$ Detta kallas ett villkor, och innebär att man känner till en punkt som den primitiva funktionen går igenom. Exempelvis kan $F(x)$ gå igenom $(0,1)$ och villkoret skrivs då $F(0)=1.$

Detta villkor uppfylls bara av en primitiv funktion till

f(x),

i det här fallet

F(x)=x^2-4x+1.

Man kan se det som att villkoret "plockar ut" ett

F(x)

ur mängden av alla primitiva funktioner. Ibland är villkoret givet och ibland kan det utläsas ur sammanhanget, t.ex. i form av ett startvärde.

Metod

Bestämma primitiv funktion med villkor

När man bestämmer alla primitiva funktioner

F(x)

till en funktion

f(x)

lägger man till en okänd konstant

C.

Med ett villkor kan man bestämma en specifik primitiv funktion, t.ex. den som uppfyller

f(x)=18x^2-5 \quad \text{om} \quad F(2) = 10.

1

Bestäm alla primitiva funktioner

Man börjar med att bestämma alla primitiva funktioner.

f(x)=18x^2-5

AntiderivativeAllBestäm alla primitiva funktioner

F(x)=D^{\text{-}1}\left(18x^2\right)-D^{\text{-}1}\left(5\right)+C

AntideriveMonom

D^{\text{-}1}\left(x^n\right) = \dfrac{x^{n + 1}}{n + 1}

F(x)=\dfrac{18x^3}{3}-D^{\text{-}1}\left(5\right)+C

AntideriveConst

D ^{\text{-}1}(a) = ax

F(x)=\dfrac{18x^3}{3}-5x+C

SimpQuotFörenkla kvot

F(x)=6x^3-5x+C

2

Sätt in

x

och

F

från villkoret och bestäm

C

Nu sätter man in informationen från villkoret för att bestämma den specifika primitiva funktion som uppfyller det. I det här fallet vet man att $F(2)=10,$ dvs. att funktionsvärdet är lika med $10$ när $x=2.$

F(x)=6x^3-5x+C

Substitute

x={\color{#0000FF}{2}}

F({\color{#0000FF}{2}})=6\cdot{\color{#0000FF}{2}}^3-5\cdot{\color{#0000FF}{2}}+C

Substitute

F(2)={\color{#0000FF}{10}}

{\color{#0000FF}{10}}=6\cdot2^3-5\cdot2+C

CalcPowBeräkna potens

10=6\cdot8-5\cdot2+C

MultiplyMultiplicera faktorer

10=48-10+C

SimpTermsFörenkla termer

10=38+C

SubEqn

\text{VL}-38=\text{HL}-38

\text{-}28=C

RearrangeEqnOmarrangera ekvation

C=\text{-}28

3

Bestäm den specifika primitiva funktionen

Slutligen ersätter man $C$ med det värde man har beräknat. I det här fallet är alltså den sökta primitiva funktionen $F(x)=6x^3-5x-28.$

Bestäm primitiv funktion med villkor

fullscreen

Uppgift

$F(x)$ är en primitiv funktion till $f(x)=5e^{2x}+e^x.$ Bestäm $F(x)$ om dess graf skär $y$ -axeln i $4.$

Visa Lösning

Lösning

Vi ska bestämma en specifik primitiv funktion till $f(x)$ och börjar därför med att bestämma alla primitiva funktioner.

f(x)=5e^{2x}+e^x

AntiderivativeAllBestäm alla primitiva funktioner

F(x)=D^{\text{-}1}\left(5e^{2x}\right)+D^{\text{-}1}\left(e^x\right)+C

AntideriveEInitialCo

D^{\text{-}1}\left(ae^{kx}\right) = \dfrac{ae^{kx}}{k}

F(x)=\dfrac{5e^{2x}}{2}+D^{\text{-}1}\left(e^x\right)+C

AntideriveE

D ^{\text{-}1}\left(e^x\right)=e^x

F(x)=\dfrac{5e^{2x}}{2}+e^x+C

WriteDecSkriv i decimalform

F(x)=2.5e^{2x}+e^x+C

Eftersom grafen till $F(x)$ skär $y$ -axeln där $y=4$ gäller villkoret $F(0)=4.$ Vi använder det för att bestämma $C.$

F(x)=2.5e^{2x}+e^x+C

Substitute

x={\color{#0000FF}{0}}

F({\color{#0000FF}{0}})=2.5e^{2\cdot{\color{#0000FF}{0}}}+e^{\color{#0000FF}{0}}+C

Substitute

F(0)={\color{#0000FF}{4}}

{\color{#0000FF}{4}}=2.5e^0+e^0+C

ExponentZero

a^0=1

4=2.5+1+C

SimpTermsFörenkla termer

4=3.5+C

SubEqn

\text{VL}-3.5=\text{HL}-3.5

0.5=C

RearrangeEqnOmarrangera ekvation

C=0.5

Den primitiva funktionen är alltså $F(x)=2.5e^{2x}+e^x+0.5.$