Primitiva funktioner med villkor

Förklaring

Vad innebär villkor för primitiva funktioner?

När man pratar om alla primitiva funktioner till en funktion $f,$ t.ex. $f (x) = 2 x - 4,$ menar man alla funktioner med derivatan $f .$ En sådan primitiv funktion brukar skrivas med en godtycklig konstant $C,$ t.ex. $F (x) = x^{2} - 4 x + C .$ Det finns alltså oändligt många sådana funktioner eftersom det finns oändligt många möjliga värden på $C .$ Graferna till några av dessa funktioner visas i figuren.

Ibland vill man bestämma en specifik primitiv funktion med ett visst värde på $C,$ men då måste man veta något mer om $F (x) .$ Detta kallas ett villkor, och innebär att man känner till en punkt som den primitiva funktionen går igenom. Exempelvis kan $F (x)$ gå igenom $(0, 1)$ och villkoret skrivs då $F (0) = 1 .$

Detta villkor uppfylls bara av en primitiv funktion till

f (x),

i det här fallet

F (x) = x^{2} - 4 x + 1 .

Man kan se det som att villkoret "plockar ut" ett

F (x)

ur mängden av alla primitiva funktioner. Ibland är villkoret givet och ibland kan det utläsas ur sammanhanget, t.ex. i form av ett startvärde.

Metod

Bestämma primitiv funktion med villkor

När man bestämmer alla primitiva funktioner

F (x)

till en funktion

f (x)

lägger man till en okänd konstant

C .

Med ett villkor kan man bestämma en specifik primitiv funktion, t.ex. den som uppfyller

f (x) = 18 x^{2} - 5 om F (2) = 10 .

1

Bestäm alla primitiva funktioner

Man börjar med att bestämma alla primitiva funktioner.

f (x) = 18 x^{2} - 5

AntiderivativeAll

Bestäm alla primitiva funktioner

F (x) = D^{- 1} (18 x^{2}) - D^{- 1} (5) + C

AntideriveMonom

$D^{- 1} (x^{n}) = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1}$

F (x) = \frac{1 8 x ^{3}}{3} - D^{- 1} (5) + C

AntideriveConst

$D^{- 1} (a) = a x$

F (x) = \frac{1 8 x ^{3}}{3} - 5 x + C

SimpQuot

Förenkla kvot

F (x) = 6 x^{3} - 5 x + C

2

Sätt in

x

och

F

från villkoret och bestäm

C

Nu sätter man in informationen från villkoret för att bestämma den specifika primitiva funktion som uppfyller det. I det här fallet vet man att $F (2) = 10,$ dvs. att funktionsvärdet är lika med $10$ när $x = 2 .$