Expandera meny menu_open Minimera Gå till startsidan home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu
{{ courseTrack.displayTitle }} {{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
search Använd offline Verktyg apps
Digitala verktyg Grafräknare Geometri 3D Grafritare Geogebra Classic Mathleaks Kalkylator Kodfönster
Kurs & Bok Jämför mattebok Studieläge Avsluta studieläge Skriv ut kurs
Handledning Videohandledningar Formelsamling

Videohandledningar

Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

play_circle_outline
Studera med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

play_circle_outline
Verktyg för elever & lärare

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

play_circle_outline

Formelsamling

Formelsamlingar för mattekurser looks_one

Kurs 1

looks_two

Kurs 2

looks_3

Kurs 3

looks_4

Kurs 4

looks_5

Kurs 5

Logga in account_circle menu_open

Primitiva funktioner med villkor

Förklaring

Vad innebär villkor för primitiva funktioner?

När man pratar om alla primitiva funktioner till en funktion f,f, t.ex. f(x)=2x4,f(x)=2x-4, menar man alla funktioner med derivatan f.f. En sådan primitiv funktion brukar skrivas med en godtycklig konstant C,C, t.ex. F(x)=x24x+C. F(x)=x^2-4x+C. Det finns alltså oändligt många sådana funktioner eftersom det finns oändligt många möjliga värden på C.C. Graferna till några av dessa funktioner visas i figuren.

Ibland vill man bestämma en specifik primitiv funktion med ett visst värde på C,C, men då måste man veta något mer om F(x).F(x). Detta kallas ett villkor, och innebär att man känner till en punkt som den primitiva funktionen går igenom. Exempelvis kan F(x)F(x) gå igenom (0,1)(0,1) och villkoret skrivs då F(0)=1. F(0)=1.

Detta villkor uppfylls bara av en primitiv funktion till f(x),f(x), i det här fallet F(x)=x24x+1.F(x)=x^2-4x+1. Man kan se det som att villkoret "plockar ut" ett F(x)F(x) ur mängden av alla primitiva funktioner. Ibland är villkoret givet och ibland kan det utläsas ur sammanhanget, t.ex. i form av ett startvärde.
Metod

Bestämma primitiv funktion med villkor

När man bestämmer alla primitiva funktioner F(x)F(x) till en funktion f(x)f(x) lägger man till en okänd konstant C.C. Med ett villkor kan man bestämma en specifik primitiv funktion, t.ex. den som uppfyller f(x)=18x25omF(2)=10. f(x)=18x^2-5 \quad \text{om} \quad F(2) = 10.

1

Bestäm alla primitiva funktioner

Man börjar med att bestämma alla primitiva funktioner.

f(x)=18x25f(x)=18x^2-5
F(x)=D-1(18x2)D-1(5)+CF(x)=D^{\text{-}1}\left(18x^2\right)-D^{\text{-}1}\left(5\right)+C
F(x)=18x33D-1(5)+CF(x)=\dfrac{18x^3}{3}-D^{\text{-}1}\left(5\right)+C
F(x)=18x335x+CF(x)=\dfrac{18x^3}{3}-5x+C
F(x)=6x35x+CF(x)=6x^3-5x+C

2

Sätt in xx och FF från villkoret och bestäm CC

Nu sätter man in informationen från villkoret för att bestämma den specifika primitiva funktion som uppfyller det. I det här fallet vet man att F(2)=10,F(2)=10, dvs. att funktionsvärdet är lika med 1010 när x=2.x=2.

F(x)=6x35x+CF(x)=6x^3-5x+C
F(2)=62352+CF({\color{#0000FF}{2}})=6\cdot{\color{#0000FF}{2}}^3-5\cdot{\color{#0000FF}{2}}+C
10=62352+C{\color{#0000FF}{10}}=6\cdot2^3-5\cdot2+C
10=6852+C10=6\cdot8-5\cdot2+C
10=4810+C10=48-10+C
10=38+C10=38+C
-28=C\text{-}28=C
C=-28C=\text{-}28


3

Bestäm den specifika primitiva funktionen

Slutligen ersätter man CC med det värde man har beräknat. I det här fallet är alltså den sökta primitiva funktionen F(x)=6x35x28. F(x)=6x^3-5x-28.

Uppgift


F(x)F(x) är en primitiv funktion till f(x)=5e2x+ex. f(x)=5e^{2x}+e^x. Bestäm F(x)F(x) om dess graf skär yy-axeln i 4.4.

Lösning

Vi ska bestämma en specifik primitiv funktion till f(x)f(x) och börjar därför med att bestämma alla primitiva funktioner.

f(x)=5e2x+exf(x)=5e^{2x}+e^x
F(x)=D-1(5e2x)+D-1(ex)+CF(x)=D^{\text{-}1}\left(5e^{2x}\right)+D^{\text{-}1}\left(e^x\right)+C
F(x)=5e2x2+D-1(ex)+CF(x)=\dfrac{5e^{2x}}{2}+D^{\text{-}1}\left(e^x\right)+C
F(x)=5e2x2+ex+CF(x)=\dfrac{5e^{2x}}{2}+e^x+C
F(x)=2.5e2x+ex+CF(x)=2.5e^{2x}+e^x+C

Eftersom grafen till F(x)F(x) skär yy-axeln där y=4y=4 gäller villkoret F(0)=4.F(0)=4. Vi använder det för att bestämma C.C.

F(x)=2.5e2x+ex+CF(x)=2.5e^{2x}+e^x+C
F(0)=2.5e20+e0+CF({\color{#0000FF}{0}})=2.5e^{2\cdot{\color{#0000FF}{0}}}+e^{\color{#0000FF}{0}}+C
4=2.5e0+e0+C{\color{#0000FF}{4}}=2.5e^0+e^0+C
4=2.5+1+C4=2.5+1+C
4=3.5+C4=3.5+C
0.5=C0.5=C
C=0.5C=0.5

Den primitiva funktionen är alltså F(x)=2.5e2x+ex+0.5. F(x)=2.5e^{2x}+e^x+0.5.

info Visa lösning Visa lösning
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward