Primitiva funktioner med villkor

Förklaring

Vad innebär villkor för primitiva funktioner?

När man pratar om alla primitiva funktioner till en funktion $f,$ t.ex. $f (x) = 2 x - 4,$ menar man alla funktioner med derivatan $f .$ En sådan primitiv funktion brukar skrivas med en godtycklig konstant $C,$ t.ex. $F (x) = x^{2} - 4 x + C .$ Det finns alltså oändligt många sådana funktioner eftersom det finns oändligt många möjliga värden på $C .$ Graferna till några av dessa funktioner visas i figuren.

Ibland vill man bestämma en specifik primitiv funktion med ett visst värde på $C,$ men då måste man veta något mer om $F (x) .$ Detta kallas ett villkor, och innebär att man känner till en punkt som den primitiva funktionen går igenom. Exempelvis kan $F (x)$ gå igenom $(0, 1)$ och villkoret skrivs då $F (0) = 1 .$

Detta villkor uppfylls bara av en primitiv funktion till

f (x),

i det här fallet

F (x) = x^{2} - 4 x + 1 .

Man kan se det som att villkoret "plockar ut" ett

F (x)

ur mängden av alla primitiva funktioner. Ibland är villkoret givet och ibland kan det utläsas ur sammanhanget, t.ex. i form av ett startvärde.

Metod

Bestämma primitiv funktion med villkor

När man bestämmer alla primitiva funktioner

F (x)

till en funktion

f (x)

lägger man till en okänd konstant

C .

Med ett villkor kan man bestämma en specifik primitiv funktion, t.ex. den som uppfyller

f (x) = 18 x^{2} - 5 om F (2) = 10 .

1

Bestäm alla primitiva funktioner

Man börjar med att bestämma alla primitiva funktioner.

f (x) = 18 x^{2} - 5

AntiderivativeAllBestäm alla primitiva funktioner

F (x) = D^{- 1} (18 x^{2}) - D^{- 1} (5) + C

AntideriveMonom

D^{- 1} (x^{n}) = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1}

F (x) = \frac{1 8 x ^{3}}{3} - D^{- 1} (5) + C

AntideriveConst

D^{- 1} (a) = a x

F (x) = \frac{1 8 x ^{3}}{3} - 5 x + C

SimpQuotFörenkla kvot

F (x) = 6 x^{3} - 5 x + C

2

Sätt in

x

och

F

från villkoret och bestäm

C

Nu sätter man in informationen från villkoret för att bestämma den specifika primitiva funktion som uppfyller det. I det här fallet vet man att $F (2) = 10,$ dvs. att funktionsvärdet är lika med $10$ när $x = 2 .$

F (x) = 6 x^{3} - 5 x + C

Substitute

x = 2

F (2) = 6 \cdot 2^{3} - 5 \cdot 2 + C

Substitute

F (2) = 10

10 = 6 \cdot 2^{3} - 5 \cdot 2 + C

CalcPowBeräkna potens

10 = 6 \cdot 8 - 5 \cdot 2 + C

MultiplyMultiplicera faktorer

10 = 48 - 10 + C

SimpTermsFörenkla termer

10 = 38 + C

SubEqn

VL - 38 = HL - 38

- 28 = C

RearrangeEqnOmarrangera ekvation

C = - 28

3

Bestäm den specifika primitiva funktionen

Slutligen ersätter man $C$ med det värde man har beräknat. I det här fallet är alltså den sökta primitiva funktionen $F (x) = 6 x^{3} - 5 x - 28 .$

Bestäm primitiv funktion med villkor

fullscreen

Uppgift

$F (x)$ är en primitiv funktion till $f (x) = 5 e^{2 x} + e^{x} .$ Bestäm $F (x)$ om dess graf skär $y$ -axeln i $4 .$

Visa Lösning

Lösning

Vi ska bestämma en specifik primitiv funktion till $f (x)$ och börjar därför med att bestämma alla primitiva funktioner.

f (x) = 5 e^{2 x} + e^{x}

AntiderivativeAllBestäm alla primitiva funktioner

F (x) = D^{- 1} (5 e^{2 x}) + D^{- 1} (e^{x}) + C

AntideriveEInitialCo

D^{- 1} (a e^{k x}) = \frac{a e ^{k x}}{k}

F (x) = \frac{5 e ^{2 x}}{2} + D^{- 1} (e^{x}) + C

AntideriveE

D^{- 1} (e^{x}) = e^{x}

F (x) = \frac{5 e ^{2 x}}{2} + e^{x} + C

WriteDecSkriv i decimalform

F (x) = 2.5 e^{2 x} + e^{x} + C

Eftersom grafen till $F (x)$ skär $y$ -axeln där $y = 4$ gäller villkoret $F (0) = 4 .$ Vi använder det för att bestämma $C .$

F (x) = 2.5 e^{2 x} + e^{x} + C

Substitute

x = 0

F (0) = 2.5 e^{2 \cdot 0} + e^{0} + C

Substitute

F (0) = 4

4 = 2.5 e^{0} + e^{0} + C

ExponentZero

a^{0} = 1

4 = 2.5 + 1 + C

SimpTermsFörenkla termer

4 = 3.5 + C

SubEqn

VL - 3.5 = HL - 3.5

0.5 = C

RearrangeEqnOmarrangera ekvation

C = 0.5

Den primitiva funktionen är alltså $F (x) = 2.5 e^{2 x} + e^{x} + 0.5 .$