Uppgift 1143 Sida 19

Övning ger färdighet

Vinkeln $2 x$ och vinkeln $7 0^{\circ}$ har samma sinusvärde. För att det ska gälla måste $2 x$ och $7 0^{\circ}$ vara antingen

samma vinkel, eller
varandras spegelvinklar (speglat i $y -$ axeln)

Spegelvinkeln ges som vanligt av

18 0^{\circ} - v,

så att vinkeln

v

och dess spegling tillsammans bildar ett halvt varv på enhetscirkeln.

sin (2 x) = sin (7 0^{\circ})

$sin (v) = sin (v - n \cdot 36 0^{\circ})$

sin (2 x - n \cdot 36 0^{\circ}) = sin (7 0^{\circ})

ArcSinEqn

$arcsin (VL) = arcsin (HL)$

{2 x_{1} - n \cdot 36 0^{\circ} = 7 0^{\circ} 2 x_{2} - n \cdot 36 0^{\circ} = 18 0^{\circ} - 7 0^{\circ} (I) (II)

$(I), (II):$ $VL + n \cdot 36 0^{\circ} = HL + n \cdot 36 0^{\circ}$

{2 x_{1} = 7 0^{\circ} + n \cdot 36 0^{\circ} 2 x_{2} = 18 0^{\circ} - 7 0^{\circ} + n \cdot 36 0^{\circ}

SubTerm

$(II):$ Subtrahera term

{2 x_{1} = 7 0^{\circ} + n \cdot 36 0^{\circ} 2 x_{2} = 11 0^{\circ} + n \cdot 36 0^{\circ}

$(I), (II):$ $VL / 2 = HL / 2$

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ x_{1} = \frac{7 0 ^{\circ} + n \cdot 3 6 0 ^{\circ}}{2} x_{2} = \frac{1 1 0 ^{\circ} + n \cdot 3 6 0 ^{\circ}}{2}

$(I), (II):$ Dela upp bråk

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ x_{1} = \frac{7 0 ^{\circ}}{2} + \frac{n \cdot 3 6 0 ^{\circ}}{2} x_{2} = \frac{1 1 0 ^{\circ}}{2} + \frac{n \cdot 3 6 0 ^{\circ}}{2}

$(I), (II):$ Beräkna kvot

{x_{1} = 3 5^{\circ} + n \cdot 18 0^{\circ} x_{2} = 5 5^{\circ} + n \cdot 18 0^{\circ}

Vinklarna

3 5^{\circ}

och

5 5^{\circ}

är alltså sådana vinklar som när de dubbleras får samma sinusvärde som vinkeln

7 0^{\circ} .

En koordinatplan med enhetscirkeln, 35-gradersvinkeln, 55-gradersvinkeln, 70-gradersvinkeln och 110-gradersvinkeln.

Vi gör som i deluppgift A. Antingen är vinklarna

x

och

3 x

samma, eller så är de varandras spegelbilder.

sin (x) = sin (3 x)

$sin (v) = sin (v + n \cdot 36 0^{\circ})$

sin (x + n \cdot 36 0^{\circ}) = sin (3 x)

ArcSinEqn

$arcsin (VL) = arcsin (HL)$

{x_{1} + n \cdot 36 0^{\circ} = 3 x_{1} x_{2} + n \cdot 36 0^{\circ} = 18 0^{\circ} - 3 x_{2} (I) (II)

$(I), (II):$ $VL - n \cdot 36 0^{\circ} = HL - n \cdot 36 0^{\circ}$

{x_{1} = 3 x_{1} - n \cdot 36 0^{\circ} x_{2} = 18 0^{\circ} - 3 x_{2} - n \cdot 36 0^{\circ}

AddEqn

$(II):$ $VL + 3 x_{2} = HL + 3 x_{2}$

{x_{1} = 3 x_{1} - n \cdot 36 0^{\circ} 4 x_{2} = 18 0^{\circ} - n \cdot 36 0^{\circ}

DivEqn

$(II):$ $VL / 4 = HL / 4$

⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ x_{1} = 3 x_{1} - n \cdot 36 0^{\circ} x_{2} = \frac{1 8 0 ^{\circ} - n \cdot 3 6 0 ^{\circ}}{4}

WriteDiffFrac

$(II):$ Dela upp bråk

⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ x_{1} = 3 x_{1} - n \cdot 36 0^{\circ} x_{2} = \frac{1 8 0 ^{\circ}}{4} - \frac{n \cdot 3 6 0 ^{\circ}}{4}

CalcQuot

$(II):$ Beräkna kvot

{x_{1} = 3 x_{1} - n \cdot 36 0^{\circ} x_{2} = 4 5^{\circ} - n \cdot 9 0^{\circ}

Substitute

$(II):$ $n = - n$

{x_{1} = 3 x_{1} - n \cdot 36 0^{\circ} x_{2} = 4 5^{\circ} + n \cdot 9 0^{\circ}

SubEqn

$(I):$ $VL - 3 x_{1} = HL - 3 x_{1}$

{- 2 x_{1} = - n \cdot 36 0^{\circ} x_{2} = 4 5^{\circ} + n \cdot 9 0^{\circ}

DivEqn

$(I):$ $VL / (- 2) = HL / (- 2)$

⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ x_{1} = \frac{- n \cdot 3 6 0 ^{\circ}}{- 2} x_{2} = 4 5^{\circ} + n \cdot 9 0^{\circ}

DivNegNeg

$(I):$ $\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}$

⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ x_{1} = \frac{n \cdot 3 6 0 ^{\circ}}{2} x_{2} = 4 5^{\circ} + n \cdot 9 0^{\circ}

CalcQuot

$(I):$ Beräkna kvot

{x_{1} = n \cdot 18 0^{\circ} x_{2} = 4 5^{\circ} + n \cdot 9 0^{\circ}

Lösningsmängden

x_{1}

säger oss att vinkeln

x

har samma sinusvärde som dess trippel,

3 x,

x

är en halvvarvsmultipel. Detta kan inses med enhetscirkeln, där vi ser att sinusvärdet är noll när vinkeln är

18 0^{\circ},

eller

2 \cdot 18 0^{\circ} = 36 0^{\circ},

eller

3 \cdot 18 0^{\circ} = 54 0^{\circ} \dots

osv.

En koordinatplan med enhetscirkeln, 180-gradersvinkeln och 360-gradersvinkeln.

En halvvarvsmultipel pekar alltså alltid antingen på punkten längst till vänster, eller den längst till höger på enhetscirkeln. Båda dessa ligger på $x -$ axeln, där sinusvärdet är noll! Den andra lösningsmängden, $x_{2},$ säger att vinkeln också kan vara $4 5^{\circ}$ (plus valfritt antal $90 -$ perioder) för att trippeln ska ha samma sinusvärde. Vi visar detta för vinkeln $4 5^{\circ}$ och $3 \cdot 4 5^{\circ} = 13 5^{\circ} .$