3. Arcusfunktioner och speglingar
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 1
3.
Arcusfunktioner och speglingar
Den här lektionenen ger en djupgående förståelse för arcusfunktioner, inklusive arcsin, arccos och arctan. Den förklarar hur man kan använda dessa funktioner för att beräkna vinklar baserat på trigonometriska värden, vilket är en omvänd process till att använda trigonometriska funktioner för att räkna ut sinus-, cosinus- och tangensvärden för en given vinkel. Dessutom diskuteras hur man kan bestämma definitionsmängden för dessa funktioner och hur man kan använda dem för att lösa trigonometriska ekvationer. Lektionenen förklarar också hur man kan använda trigonometriska speglingssamband för att hitta ytterligare rötter till ekvationer inom olika intervall.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 5 sidor teori |
| | 12 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Arcusfunktioner och speglingar
Sida av 5
Regel
Arcusfunktioner
Om man känner till en vinkel kan man räkna ut sinus-, cosinus- och tangensvärdet för den. Men man kan också gå åt andra hållet och beräkna vinklar baserat på trigonometriska värden. Det gör man med arcusfunktionerna (arcsin, arccos och arctan), vilka kan ses som motsatser till de trigonometriska funktionerna. T.ex. är
sin(45∘)=21ocharcsin(21)=45∘.
Om man tittar på standardvinklarna ser man dock att det finns flera vinklar som ger sinusvärdet 21. Exempelvis kan man se att både sin(45∘) och sin(135∘) är 21. Så varför får man inte tillbaka 135∘ om man beräknar arcsin för 21? Jo, för att man har valt att varje invärde till en arcusfunktion ska ge en specifik vinkel inom ett visst intervall så att resultatet blir entydigt. Dessa intervall är funktionernas värdemängder. | Funktion | Värdemängd (grader) | Värdemängd (radianer) |
|---|---|---|
| arcsin | −90∘≤v≤90∘ | −2π≤v≤2π |
| arccos | 0∘≤v≤180∘ | 0≤v≤π |
| arctan | −90∘<v<90∘ | −2π<v<2π |
Exempel
Bestäm vinklarna i triangeln
Bestäm alla vinklar i triangeln ABC. Svara i radianer och avrunda till 3 decimaler.
Visa Lösning expand_more
Vinkeln C är markerad som en rät vinkel så den måste vara 90∘, vilket motsvarar
90⋅180π=2π≈1.571 rad.
Eftersom ABC är en rätvinklig triangel kan vi använda definitionerna av de trigonometriska funktionerna för att beräkna sinus-, cosinus- eller tangensvärdet för vinklarna A och B. Vi kan t.ex. bestämma cosinusvärdet för A.
cos(A)=HypotenusaNa¨rliggande katet=8536
När vi nu vet cosinusvärdet kan vi bestämma vinkeln A genom att använda arccos. Se till att räknaren är inställd på radianer så att vinkeln får rätt enhet.
Nu skulle vi kunna göra på samma sätt för att bestämma den sista vinkeln, B, men det går lika bra att använda att vinkelsumman i en triangel är 180∘, alltså π radianer. Vi subtraherar de redan bestämda vinklarna från π, och behåller då deras exakta värden för att undvika avrundningsfel. Med hjälp av räknaren får vi att den sista vinkeln är π−2π−arccos(8536)≈0.438 rad.
Nu har vi bestämt alla tre vinklar i triangeln.
Metod
Trigonometriska ekvationer
Trigonometriska ekvationer är ekvationer där den obekanta variabeln finns i argumentet till en trigonometrisk funktion, t.ex.
Till exempel kan man använda det övre sambandet för att bestämma en till rot till ekvationen sin(x)=21 på intervallet 0∘≤x≤360∘. Då får man även roten
sin(x)=21.
Ekvationens rötter är samtliga värden som gör att likheten är uppfylld. Ibland får man dock ett intervall som ekvationen ska lösas på och då är det bara vissa av dessa värden som ska anges. Om intervallet motsvarar värdemängden för den arcusfunktion som behövs för att lösa ekvationen finns bara en rot: den vinkel som ges av arcusfunktionen. Om ekvationen ovan ska lösas på intervallet −90∘≤x≤90∘ kommer alltså den enda roten vara x=arcsin(21)=45∘.
För att hitta ytterligare rötter på andra intervall kan man använda trigonometriska speglingssamband. sin(v)=sin(180∘−v)
cos(v)=cos(−v)
x=180∘−45∘=135∘.
Med enhetscirkeln kan man se att dessa två rötter faktiskt motsvarar samma trigonometriska värde. Exempel
Lös den trigonometriska ekvationen på intervallet
Lös ekvationen cos(v)=0.5 på intervallet −180∘≤v≤180∘. Svara i grader.
Visa Lösning expand_more
Vi ska bestämma de vinklar på intervallet −180∘≤v≤180∘ som svarar mot cosinusvärdet 0.5. Med hjälp av enhetscirkeln kan vi se att det finns två sådana vinklar.
Vinkeln v1 kan bestämmas med arccos, som ger en vinkel på intervallet 0∘≤v≤180∘. Vi använder räknaren för att utföra beräkningen arccos(0.5). För att få svaret i rätt enhet ser vi till att ha räknaren inställd på grader.
Vinkeln v1 är alltså 60∘.
cos(v)=cos(−v)
för att bestämma v2. Sambandet säger att vinklarna v och −v har samma cosinusvärde, så vinkel v2 måste vara −60∘. 
Ekvationen cos(v)=0.5 har alltså rötterna v=60∘ och v=−60∘ på intervallet −180∘≤v≤180∘.
Regel
Fler speglingssamband
Det finns fler speglingssamband än de som används vid ekvationslösning. Bland annat följande två, som kan vara användbara vid förenklingar och omskrivningar av trigonometriska uttryck.
sin(−v)=−sin(v)
cos(v)=−cos(180−v)
Arcusfunktioner och speglingar
För vilka vinklar v gäller att
sin(v)=sin(5v),
givet att −180∘≤5v≤180∘.
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"v"},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["30","-30","0"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi söker en vinkel v som ger samma sinusvärde som för 5v. I en enhetscirkel motsvarar sinusvärdena y-koordinater, så vi söker de vinklar v som har samma y-värde som för 5v. Vi kan rita upp en enhetscirkel för att se hur en lösning skulle kunna se ut.
Här ser vi att punkterna är speglade i y-axeln, vilket innebär att vinkeln mellan den negativa x-axeln och den vänstra punkten också kommer att vara v.
Ett halvt varv, 180^(∘), i enhetscirkeln motsvarar alltså 5v + v.
En vinkel som uppfyller sin(v) = sin(5v) är alltså v = 30^(∘). Vi kontrollerar även att vinkeln 5v = 5*30^(∘) = 150^(∘) ligger mellan -180^(∘) och 180^(∘), vilket den gör. Vi hittar ytterligare en lösning om vi istället drar linjen vid ett negativt y-värde.
De här vinklarna är lika stora som de vi hittade tidigare, förutom att de är negativa. Den andra lösningen är alltså v = - 30^(∘). Än så länge har vi tittat på när v och 5v är olika vinklar. Men finns det något fall där är samma, dvs. när v=5v? Om vinklarna är samma får de ju också samma sinusvärde. Det finns enbart en lösning till den ekvationen: v=0^(∘). Totalt finns alltså tre lösningar: v = 30^(∘), v = -30^(∘) och v = 0^(∘).
security
report
code
Tignar påstår att ekvationen sin(x)=0.5 har tre lösningar på intervallet 0≤x≤25π. Stämmer det? Motivera.
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
Lösningar till ekvationen sin(x) = 0.5 kan man hitta genom att markera linjen y = 0.5 i enhetscirkeln och undersöka var linjen skär cirkeln.
Vi kan direkt se att det finns två lösningar, x_1 och x_2, på det första varvet. Men intervallet 0 ≤ x ≤ 5π2 utgör mer än ett varv. För att avgöra hur intervallet bör markeras i enhetscirkeln så delar vi in intervallet i de två delintervallen 0 ≤ x ≤ 2π och 2π ≤ x ≤ 5π/2. Det första intervallet motsvarar det första varvet i enhetscirkeln, medan det andra intervallet motsvarar delar av det andra varvet. Vi kan dra bort ett varv från det andra intervallet för att lättare se vad det motsvarar i enhetscirkeln. Vi får då 0 ≤ x ≤ π/2. Intervallet 0 ≤ x ≤ 5π2 motsvarar alltså ett helt varv och sedan vinkeln π2. Vi markerar detta i enhetscirkeln.
Vi kan nu se att punkten till höger i enhetscirkeln ingår två gånger i intervallet, vilket innebär att den punkten motsvarar två olika lösningar. Den första lösningen är x_1, som är markerad i föregående bild. Den andra lösningen blir x_1 + 2π, alltså samma lösning fast ett varv senare. Påståendet att ekvationen har tre lösningar inom det givna intervallet stämmer därför.
Den som inte nöjer sig utan att bestämma lösningarna bör påminna sig själv om de trigonometriska standardvinklarna. Vi ser då att lösningarna x_1 och x_2 är π6 respektive 5π6 eftersom de är vinklarna som ger sinusvärdet 0.5. Vi kan nu beräkna den sista lösningen x_3.
security
report
code
Arcusfunktioner och speglingar
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll