3. Arcusfunktioner och speglingar
+ Anpassa lektionen
0
0
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 1
3.
Arcusfunktioner och speglingar
Den här lektionenen ger en djupgående förståelse för arcusfunktioner, inklusive arcsin, arccos och arctan. Den förklarar hur man kan använda dessa funktioner för att beräkna vinklar baserat på trigonometriska värden, vilket är en omvänd process till att använda trigonometriska funktioner för att räkna ut sinus-, cosinus- och tangensvärden för en given vinkel. Dessutom diskuteras hur man kan bestämma definitionsmängden för dessa funktioner och hur man kan använda dem för att lösa trigonometriska ekvationer. Lektionenen förklarar också hur man kan använda trigonometriska speglingssamband för att hitta ytterligare rötter till ekvationer inom olika intervall.
| | 8 sidor teori |
| | 18 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Arcusfunktioner och speglingar
Sida av 8
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Arcusfunktioner
- Trigonometriska ekvationer
- Fler speglingssamband
Rekommenderat att repetera innan du börjar med det här avsnittet:
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Arcusfunktioner
Om man känner till en vinkel kan man räkna ut sinus-, cosinus- och tangensvärdet för den.
Man kan också gå åt andra hållet och beräkna vinklar utifrån trigonometriska värden med arcusfunktionerna arcsin, arccos och arctan, som oftare skrivs som sin^(- 1), cos^(- 1) och tan^(- 1).
ccc sin & cos & tan ↓ & ↓ & ↓ arcsin & arccos & arctan
Dessa funktioner kan ses som motsatser till de trigonometriska funktionerna. T.ex. är
sin 45^(∘) = 1/sqrt(2) och sin^(-1)(1/sqrt(2)) = 45^(∘).
Viktigt att tänka på
Om man tittar på standardvinklarna ser man att flera vinklar kan ha samma sinusvärde. Till exempel är både
sin 45^(∘) = 1/sqrt(2) och sin 135^(∘) = 1/sqrt(2).
Därför kan man fråga sig varför arcsin(1/sqrt(2)) ger 45^(∘) och inte 135^(∘).
Anledningen är att varje invärde till en arcusfunktion bara ska ge ett bestämt utvärde. Därför har man valt ett särskilt intervall för varje arcusfunktion.
Detta intervall är funktionens värdemängd.
| Funktion | Värdemängd (grader) | Värdemängd (radianer) |
|---|---|---|
| sin^(-1) | -90^(∘)≤ v≤90^(∘) | -π/2≤ v≤π/2 |
| cos^(-1) | 0^(∘)≤ v≤180^(∘) | 0≤ v≤π |
| tan^(-1) | -90^(∘) < v < 90^(∘) | -π/2 < v < π/2 |
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Bestäm vinklarna i triangeln
Bestäm alla vinklar i triangeln ABC. Svara i radianer och avrunda till 3 decimaler.
{"type":"text","form":{"type":"extrema","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"valueTypes":["Vinkel A","Vinkel B","Vinkel C"],"point":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":[{"type":0,"text":["1,133"]},{"type":1,"text":["0,437"]},{"type":2,"text":["1,571"]}]}}
Ledtråd
Vad är måttet i radianer av en rät vinkel? Hur kan du använda sinus och cosinus i en rätvinklig triangel för att hitta de andra vinklarna?
Lösning
Vinkeln C är markerad som en rät vinkel så den måste vara 90^(∘), vilket motsvarar
90 * π/180 = π/2 ≈ 1,571rad.
Eftersom ABC är en rätvinklig triangel kan vi använda definitionerna av de trigonometriska funktionerna för att beräkna sinus-, cosinus- eller tangensvärdet för vinklarna A och B. Vi kan t.ex. bestämma cosinusvärdet för A.
cos(A)=Närliggande katet/Hypotenusa = 36/85
När vi nu vet cosinusvärdet kan vi bestämma vinkeln A genom att använda arccos. Se till att räknaren är inställd på radianer så att vinkeln får rätt enhet.
90 * π/180 = π/2 ≈ 1,571rad.
Eftersom ABC är en rätvinklig triangel kan vi använda definitionerna av de trigonometriska funktionerna för att beräkna sinus-, cosinus- eller tangensvärdet för vinklarna A och B. Vi kan t.ex. bestämma cosinusvärdet för A.
cos(A)=Närliggande katet/Hypotenusa = 36/85
När vi nu vet cosinusvärdet kan vi bestämma vinkeln A genom att använda arccos. Se till att räknaren är inställd på radianer så att vinkeln får rätt enhet.
cos^(-1)(36/85) =
UseCalc
Slå in på räknare
= 1,133458... ≈
RoundDec
Avrunda till 31tiondelar 32hundradelar 33tusendelar 34tiotusendelar 35hundratusendelar 36miljontedelar 37hundramiljontedelar 38miljardtedelar
≈ 1,133
Nu skulle vi kunna göra på samma sätt för att bestämma den sista vinkeln, B, men det går lika bra att använda att vinkelsumman i en triangel är 180^(∘), alltså π radianer. Vi subtraherar de redan bestämda vinklarna från π, och behåller då deras exakta värden för att undvika avrundningsfel. Med hjälp av räknaren får vi att den sista vinkeln är
π - π/2 - cos^(-1)(36/85) ≈ 0,437rad.
Nu har vi bestämt alla tre vinklar i triangeln.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Koncept
Trigonometriska ekvationer
Trigonometriska ekvationer är ekvationer där den obekanta variabeln finns i argumentet till en trigonometrisk funktion, t.ex.
sin x =1/sqrt(2).
Ekvationens rötter är samtliga värden som gör att likheten är uppfylld.
Ibland får man dock ett intervall som ekvationen ska lösas på och då är det bara vissa av dessa värden som ska anges.
Att lösa trigonometriska ekvationer i ett intervall
Om intervallet motsvarar värdemängden för den arcusfunktion som behövs för att lösa ekvationen finns bara en rot: den vinkel som ges av arcusfunktionen.
Om ekvationen ovan ska lösas på intervallet -90^(∘)≤ x≤90^(∘) kommer alltså den enda roten vara
x=sin^(-1)(1/sqrt(2))=45^(∘).
För att hitta ytterligare rötter på andra intervall kan man använda trigonometriska speglingssamband.
sin v =sin(180^(∘)-v)
cos v =cos(- v)
Till exempel kan man använda det övre sambandet för att bestämma en till rot till ekvationen sin x =1/sqrt(2) på intervallet 0^(∘)≤ x≤360^(∘). Då får man även roten
x=180^(∘)-45^(∘)=135^(∘).
Med enhetscirkeln kan man se att dessa två rötter faktiskt motsvarar samma trigonometriska värde.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Lös den trigonometriska ekvationen på intervallet
Lös ekvationen cos v = 0,5 på intervallet -180^(∘) ≤ v ≤ 180^(∘). Svara i grader.
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"v"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":"^(∘)","answer":{"texts":["60","-60"]}}
Ledtråd
Använd enhetscirkeln för att avgöra hur många lösningar ekvationen har.
Lösning
Vi ska bestämma de vinklar på intervallet -180^(∘) ≤ v ≤ 180^(∘) som svarar mot cosinusvärdet 0,5. Med hjälp av enhetscirkeln kan vi se att det finns två sådana vinklar.
![Fil:Arcusfunktioner och speglingar Kurs 4 Discussion Lös den trigonometriska ekvationen på intervallet 0601.svg]()
Vinkeln v_1 kan bestämmas med arccos, som ger en vinkel på intervallet 0^(∘) ≤ v ≤ 180^(∘). Vi använder räknaren för att utföra beräkningen cos^(-1)0,5. För att få svaret i rätt enhet ser vi till att ha räknaren inställd på grader.
Fil:Arcusfunktioner och speglingar Kurs 4 Discussion Lös den trigonometriska ekvationen på intervallet 0601.svg
Vinkeln v_1 är alltså 60^(∘).
Nu kan vi använda sambandet
cos v =cos(- v)
för att bestämma v_2. Sambandet säger att vinklarna v och - v har samma cosinusvärde, så vinkel v_2 måste vara -60^(∘).
Ekvationen cos v = 0,5 har alltså rötterna v=60^(∘) och v=-60^(∘) på intervallet -180^(∘) ≤ v ≤ 180^(∘).
Dela
Rapportera fel
Översätt
Utforska
Symmetri hos punkterna på enhetscirkeln
Betrakta punkterna P, Q, R och S i enhetscirkeln. Dra en av punkterna och undersök sambandet mellan punkterna.
- Vilka punkter är symmetriska med avseende på x-axeln, och vilka med avseende på y-axeln?
- Vilka samband bildas när x- och y-koordinaterna uttrycks med hjälp av trigonometriska funktioner?
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Fler speglingssamband
Symmetri i enhetscirkeln kan ge oss några viktiga samband.
Genom att jämföra koordinaterna för punkterna Q, R och S med koordinaterna för punkten P, kan flera samband mellan trigonometriska värden hittas.
sin(180^(∘)-v) = sin v
cos(180^(∘)-v) = -cos v
Både x- och y-koordinaterna för punkterna P och R är motsatta.
sin(180^(∘)+v) = -sin v
cos(180^(∘)+v) = -cos v
x-koordinaterna för punkterna P och S är lika och deras y-koordinater är motsatta.
sin(- v) = -sin v
cos(- v) = cos v
Dessa samband kan sammanfattas enligt följande.
sin(180^(∘)-v)=sinv
sin(180^(∘)+v)=-sinv
sin(- v) = -sinv
cos(180^(∘)-v)=-cosv
cos(180^(∘)+v)=-cosv
cos(- v) = cosv
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Bestäm punkterna med symmetri i enhetscirkeln
a
Använd att sin45^(∘)=sqrt(2)/2 för att bestämma det exakta värdet av sin(-45^(∘)).
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"sin(-45^(∘))=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}"]}}
b
Använd att sin30^(∘)=1/2 för att bestämma det exakta värdet av sin150^(∘).
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"sin150^(∘)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\dfrac{1}{2}","0,5"]}}
c
Använd att cos30^(∘)=sqrt(3)/2 för att bestämma det exakta värdet av cos210^(∘).
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":[]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"cos210^(∘)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}"]}}
Ledtråd
a
I vilken kvadrant ligger en vinkel på -45^(∘)? Hur relaterar den till 45^(∘)?
b
I vilken kvadrant ligger en vinkel på 150^(∘)? Hur relaterar den till 30^(∘)?
c
I vilken kvadrant ligger en vinkel på 210^(∘)? Hur relaterar den till 30^(∘)?
Lösning
a
Vi börjar med att skissa vinklarna 45^(∘) och -45^(∘) i koordinatplanet med hjälp av enhetscirkeln.
Observera att y-koordinaten för dessa vinklar har motsatta tecken. Eftersom sinusvärdet för 45^(∘) motsvarar dess y-koordinat, är sinus för -45^(∘) det negativa värdet av sinus för 45^(∘), det vill säga,
sin(-45^(∘)) = - sin45^(∘)= -sqrt(2)/2.
b
Börja med att skissa vinkeln 30^(∘), som ligger i första kvadranten. För att skissa vinkeln 150^(∘), observera att den kan skrivas som
150^(∘) = 180^(∘)-30^(∘),
vilket gör att vi kan rita den symmetriskt i andra kvadranten.
y-koordinaten för båda vinklarna är densamma, vilket innebär att sin150^(∘)=sin30^(∘).
sin150^(∘) =
Rewrite
Skriv 150^(∘) som 180^(∘)-30^(∘)
= sin(180^(∘)-30^(∘)) =
SinDiffToSin
sin(180^(∘)-v)=sin(v)
=sin30^(∘)=
Sin
\ifnumequal{30}{0}{\sin\left(0^{\, \circ}\right)=0}{}\ifnumequal{30}{30}{\sin\left(30^{\, \circ}\right)=\dfrac{1}{2}}{}\ifnumequal{30}{45}{\sin\left(45^{\, \circ}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{}\ifnumequal{30}{60}{\sin\left(60^{\, \circ}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{}\ifnumequal{30}{90}{\sin\left(90^{\, \circ}\right)=1}{}\ifnumequal{30}{120}{\sin\left(120^{\, \circ}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{}\ifnumequal{30}{135}{\sin\left(135^{\, \circ}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{}\ifnumequal{30}{150}{\sin\left(150^{\, \circ}\right)=\dfrac{1}{2}}{}\ifnumequal{30}{180}{\sin\left(180^{\, \circ}\right)=0}{}\ifnumequal{30}{210}{\sin\left(210^{\, \circ}\right)=- \dfrac 1 2}{}\ifnumequal{30}{225}{\sin\left(225^{\, \circ}\right)=- \dfrac 1 {\sqrt 2}}{}\ifnumequal{30}{240}{\sin\left(240^{\, \circ}\right)=- \dfrac {\sqrt 3}2}{}\ifnumequal{30}{270}{\sin\left(270^{\, \circ}\right)=-1}{}\ifnumequal{30}{300}{\sin\left(300^{\, \circ}\right)=-\dfrac {\sqrt 3}2}{}\ifnumequal{30}{315}{\sin\left(315^{\, \circ}\right)=- \dfrac 1 {\sqrt 2}}{}\ifnumequal{30}{330}{\sin\left(330^{\, \circ}\right)=- \dfrac 1 2}{}\ifnumequal{30}{360}{\sin\left(360^{\, \circ}\right)=0}{}
=1/2
c
För att skissa vinkeln 210^(∘) observera att vi kan skriva den som
210^(∘) = 180^(∘) + 30 ^(∘).
Detta gör att vi kan rita den symmetriskt i tredje kvadranten.
Observera att x-koordinaten för dessa vinklar har motsatta tecken.
cos210^(∘) =
Rewrite
Skriv 210^(∘) som 180^(∘)+30^(∘)
= cos(180^(∘)+30^(∘)) =
CosAddHalfPeriodToNegCos
cos(v+180^(∘)) = - cos(v)
= -cos30^(∘) =
Cos
\ifnumequal{30}{0}{\cos\left(0^{\, \circ}\right)=1}{}\ifnumequal{30}{30}{\cos\left(30^{\, \circ}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{}\ifnumequal{30}{45}{\cos\left(45^{\, \circ}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{}\ifnumequal{30}{60}{\cos\left(60^{\, \circ}\right)=\dfrac{1}{2}}{}\ifnumequal{30}{90}{\cos\left(90^{\, \circ}\right)=0}{}\ifnumequal{30}{120}{\cos\left(120^{\, \circ}\right)=- \dfrac{1}{2}}{}\ifnumequal{30}{135}{\cos\left(135^{\, \circ}\right)=- \dfrac{1}{\sqrt{2}}}{}\ifnumequal{30}{150}{\cos\left(150^{\, \circ}\right)=- \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{}\ifnumequal{30}{180}{\cos\left(180^{\, \circ}\right)=- 1}{}\ifnumequal{30}{210}{\cos\left(210^{\, \circ}\right)=- \dfrac{\sqrt 3}2}{}\ifnumequal{30}{225}{\cos\left(225^{\, \circ}\right)=- \dfrac 1 {\sqrt 2}}{}\ifnumequal{30}{240}{\cos\left(240^{\, \circ}\right)=- \dfrac {1}2}{}\ifnumequal{30}{270}{\cos\left(270^{\, \circ}\right)=0}{}\ifnumequal{30}{300}{\cos\left(300^{\, \circ}\right)=\dfrac{1}2}{}\ifnumequal{30}{315}{\cos\left(315^{\, \circ}\right)=\dfrac 1 {\sqrt 2}}{}\ifnumequal{30}{330}{\cos\left(330^{\, \circ}\right)=\dfrac{\sqrt 3}2}{}\ifnumequal{30}{360}{\cos\left(360^{\, \circ}\right)=1}{}
= - sqrt(3)/2
Dela
Rapportera fel
Översätt
Arcusfunktioner och speglingar
Uppgift 3.1
För vilka vinklar v gäller att sin v = sin 5v, givet att -180^(∘) ≤ 5v ≤ 180^(∘).
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"v"},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["30","-30","0"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi söker en vinkel v som ger samma sinusvärde som för 5v. I en enhetscirkel motsvarar sinusvärdena y-koordinater, så vi söker de vinklar v som har samma y-värde som för 5v. Vi kan rita upp en enhetscirkel för att se hur en lösning skulle kunna se ut.
Här ser vi att punkterna är speglade i y-axeln, vilket innebär att vinkeln mellan den negativa x-axeln och den vänstra punkten också kommer att vara v.
Ett halvt varv, 180^(∘), i enhetscirkeln motsvarar alltså 5v + v.
En vinkel som uppfyller sin v = sin 5v är alltså v = 30^(∘). Vi kontrollerar även att vinkeln 5v = 5 * 30^(∘) = 150^(∘) ligger mellan -180^(∘) och 180^(∘), vilket den gör. Vi hittar ytterligare en lösning om vi istället drar linjen vid ett negativt y-värde.
De här vinklarna är lika stora som de vi hittade tidigare, förutom att de är negativa. Den andra lösningen är alltså v = - 30^(∘). Än så länge har vi tittat på när v och 5v är olika vinklar. Men finns det något fall där är samma, dvs. när v=5v? Om vinklarna är samma får de ju också samma sinusvärde. Det finns enbart en lösning till den ekvationen: v=0^(∘). Totalt finns alltså tre lösningar: v = 30^(∘), v = -30^(∘) och v = 0^(∘).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Tignar påstår att ekvationen sin x = 0,5 har tre lösningar på intervallet 0 ≤ x ≤ 5π/2. Stämmer det? Motivera.
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
Lösningar till ekvationen sin x = 0,5 kan man hitta genom att markera linjen y = 0,5 i enhetscirkeln och undersöka var linjen skär cirkeln.
Vi kan direkt se att det finns två lösningar, x_1 och x_2, på det första varvet. Men intervallet 0 ≤ x ≤ 5π/2 utgör mer än ett varv. För att avgöra hur intervallet bör markeras i enhetscirkeln så delar vi in intervallet i de två delintervallen 0 ≤ x ≤ 2π och 2π ≤ x ≤ 5π/2. Det första intervallet motsvarar det första varvet i enhetscirkeln, medan det andra intervallet motsvarar delar av det andra varvet. Vi kan dra bort ett varv från det andra intervallet för att lättare se vad det motsvarar i enhetscirkeln. Vi får då 0 ≤ x ≤ π/2. Intervallet 0 ≤ x ≤ 5π/2 motsvarar alltså ett helt varv och sedan vinkeln π/2. Vi markerar detta i enhetscirkeln.
Vi kan nu se att punkten till höger i enhetscirkeln ingår två gånger i intervallet, vilket innebär att den punkten motsvarar två olika lösningar. Den första lösningen är x_1, som är markerad i föregående bild. Den andra lösningen blir x_1 + 2π, alltså samma lösning fast ett varv senare. Påståendet att ekvationen har tre lösningar inom det givna intervallet stämmer därför.
Den som inte nöjer sig utan att bestämma lösningarna bör påminna sig själv om de trigonometriska standardvinklarna. Vi ser då att lösningarna x_1 och x_2 är π/6 respektive 5π/6 eftersom de är vinklarna som ger sinusvärdet 0,5. Vi kan nu beräkna den sista lösningen x_3.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Är cos^(-1)x alltid lika med 1/cos x?
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":1}
security
report
code
security
report
code
För att avgöra om cos^(- 1)x alltid är lika med 1/cosx kan vi undersöka några värden. Så fort vi hittar något x där de båda uttrycken inte är lika, kan vi dra slutsatsen att svaret är nej. Låt oss prova x=0,5 med vår räknare inställd på grader.
Vi ska nu undersöka 1/cos0,5.
Vi hittade ett fall där cos^(-1)x är annorlunda än 1/cosx, vilket betyder att dessa uttryck inte alltid är lika. Faktum är att 1/cosx är den reciproka funktionen till cosinusfunktionen, medan cos^(-1)x är inversen till cosinusfunktionen. Dessa är inte samma.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Förklara hur definitionsmängden för y = sin^(-1)x hänger ihop med värdemängden för y=sinx.
security
report
code
security
report
code
Vi ombeds att förklara hur definitionsmängden för y=sin^(-1)x hänger ihop med värdemängden för y=sinx. För att göra det, låt oss börja med att betrakta grafen för y=sinx.
Som vi kan se är definitionsmängden för sinusfunktionen alla reella tal och värdemängden är -1 ≤ x ≤ 1. I detta fall representerar dock dess invers inte en funktion eftersom det finns många x-värden som motsvarar samma y-värde. Därför kommer vi att begränsa definitionsmängden för sinusfunktionen så att varje x-värde motsvarar exakt ett y-värde. rc & y = sinx [0.75em] definitionsmängden: & - π/2 ≤ x ≤ π/2 [0.75em] värdemängden: & -1 ≤ y ≤ 1 Nu när vi har begränsat definitionsmängden för sinusfunktionen kan vi beteckna den med en stor bokstav som y=sinx. Nu kan vi vara säkra på att sinus invers y=sin^(-1)x är en funktion. Därför kan vi beskriva definitionsmängden för y=sin^(-1)x som värdemängden för y=sinx och värdemängden för y=sin^(-1)x som definitionsmängden för y=sinx omvänt. rc & y = sin^(-1)x [0.75em] definitionsmängden: & -1 ≤ x ≤ 1 [0.75em] värdemängden: & -π/2 ≤ y ≤ π/2 Därför kan vi dra slutsatsen att definitionsmängden för y=sin^(-1)x är densamma som värdemängden för y=sinx.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Arcusfunktioner och speglingar
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll